山西省朔州市马营中学高二数学文期末试题含解析

山西省朔州市马营中学高二数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若过点(3,1)总可以作两条直线和圆相切，则的取值范围是(  ) (0，2)        (1，2)    (2，+∞)    (0，1)∪(2，+∞) 参考答案： D 略 2. 已知集合，，则A∩B=（    ） A. {－1,0} B. {0} C. {－1} D. 参考答案： C 分析：检验集合中元素是否为集合中的元素，即可得到结果. 详解：因为成立，所以属于集合，属于集合，又因为不成立，不成立，所以不属于集合，不属于集合，综上可得，故选C. 点睛：本题主要考查集合与元素的关系以及集合交集的定义，意在考查对基本概念的掌握，属于简单题. 3. 设x∈R，则“x=1”是“复数z=（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数”的（　　） 　 A．充分不必要条件 B． 必要不充分条件 　 C．充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 参考答案： A 略 4. 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，sinC+sin（A﹣B）=3sin2B．若，则=（　　） A． B．3 C．或3 D．3或 参考答案： C 【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦． 【专题】计算题；解三角形． 【分析】根据三角形内角和定理与诱导公式，可得sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，代入题中等式并利用三角恒等变换化简，整理得cosB（sinA﹣3sinB）=0，可得cosB=0或sinA=3sinB．再由正弦定理与直角三角形中三角函数的定义加以计算，可得的值． 【解答】解：∵A+B=π﹣C， ∴sinC=sin（π﹣C）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB， 又∵sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB， ∴sinC+sin（A﹣B）=3sin2B，即（sinAcosB+cosAsinB）+（sinAcosB﹣cosAsinB）=6sinBcosB， 化简得2sinAcosB=6sinBcosB，即cosB（sinA﹣3sinB）=0 解之得cosB=0或sinA=3sinB． ①若cosB=0，结合B为三角形的内角，可得B=， ∵，∴A==， 因此sinA=sin=，由三角函数的定义得sinA==； ②若sinA=3sinB，由正弦定理得a=3b，所以=3． 综上所述，的值为或3． 故选：C 【点评】本题给出三角形角的三角函数关系式，求边之间的比值．着重考查了三角形内角和定理与诱导公式、三角恒等变换、三角函数的定义和正余弦定理等知识，属于中档题． 5. 先后抛掷红、蓝两枚骰子，事件A：红骰子出现3点，事件B：蓝骰子出现的点数为奇数，则 A.       B.        C.       D. 参考答案： A 6. 命题“?x∈R，x2+1＞0”的否定是(     ) A．?x∈R，x2+1≤0 B．?x∈R，x2+1＜0 C．?x0∈R，x02+1＜0 D．?x0∈R，x02+1≤0 参考答案： D 【考点】命题的否定． 【专题】计算题；简易逻辑． 【分析】本题中的命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，由规则写出否定命题即可． 【解答】解：∵命题“?x∈R，x2+1＞0” ∴命题“?x∈R，x2+1＞0”的否定是“?x0∈R，x02+1≤0” 故选：D． 【点评】本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解全称命题否定的书写方法，其规则是全称命题的否定是特称命题，书写时注意量词的变化． 7. 如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，正确的个数为（    ）． （1） （2）截面 （3） （4）异面直线PM与BD所成的角为45° A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案： C ∵， ∴面， 又∵平面平面， ∴， ∴截面．②正确； 同理可得， 故．①正确， 又，， ∴异面直线与所成的角为，故④正确． 根据已知条件无法得到、长度之间的关系，故③错误． 故选． 8. 已知等差数列{an}满足，则等于（    ） A. 18 B. 30 C. 36 D. 45 参考答案： C 【分析】 先根据已知求出，再利用等差中项求出的值. 【详解】由题得，， 所以， 故选：C. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质和等差中项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 9. 为了了解某校高三400名学生的数学学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方图如图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格率与优秀人数分别是（　　） A．60%，60 B．60%，80 C．80%，80 D．80%，60 参考答案： C 【分析】利用频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组据求出频率；再利用频数等于频率乘以样本容量求出优秀人数． 【解答】解：由频率分布直方图得，及格率为1﹣（0.005+0.015）×10=1﹣0.2=0.8=80% 优秀的频率=（0.01+0.01）×10=0.2，优秀的人数=0.2×400=80 故选C． 【点评】本题考查频率分布直方图中的频率公式：频率=纵坐标×组据；频数的公式：频数=频率×样本容量． 10. 已知等差数列中，，，则（     ） A.15       B.30      C.31      D.64 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11.  已知的展开式中x的系数为19，求的展开式中的系数的最小值．． 参考答案： 解： ． 由题意，． 项的系数为． ，根据二次函数知识，当或10时，上式有最小值，也就是当，或，时，项的系数取得最小值，最小值为81． 12. 某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数是：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4，则他命中环数的方差是____________ 参考答案： 略 13. 《中国诗词大会》节目组决定把《将进酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有____种.（用数字作答） 参考答案： 36 【分析】 根据题意，分2步分析：①将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列，②再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里（最后一个空不排），由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步分析： ①将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定两首诗词进行全排列，共有种排法， ②再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里（最后一个空不排），有种排法， 则后六场的排法有=36（种）， 故答案为：36． 【点睛】（1）本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)排列组合常见解法有：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法. 14. 已知圆 x2+(y-1)2=1外一点P(－2,0), 过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是_____ 参考答案： 15. 已知函数若，a，b，c，d是互不相同的正数，且，则abcd的取值范围是_____． 参考答案： (24,25) 【分析】 画出函数的图象，运用对数函数的图象，结合对数运算性质，可得，由二次函数的性质可得，运用基本不等式和二次函数的性质，即可得到所求范围． 【详解】先画出函数的图象，如图所示： 因为互不相同，不妨设，且， 而，即有，可得，则， 由，且，可得， 且， 当时，，此时，但此时b，c相等， 故的范围为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用函数图象分析解决问题的能力，以及对数函数图象的特点，注意体会数形结合思想在本题中的运用． 16. 已知点是直线被椭圆所截得的线段的中点，则直线的斜率是____________. 参考答案： 略 17. 曲线，所围成的封闭图形的面积为            . 参考答案： 试题分析：曲线，的交点为，所求封闭图形面积为. 考点：曲边梯形面积. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c。角A、B、C成等差数列，边a、b、c成等比数列。      （1）求角B的大小。      （2）判断三角形ABC的形状。 参考答案： 解：（1）由题可知：角A、B、C成等差数列，故可设A=B﹣d，C=B+d 则A+B+C=(B﹣d)+B+(B+d)=, 故B=………………………………………………………………………………6 （2）法一、角的关系转化为边的关系。 边a、b、c成等比数列，则    ① 由（1）可知：B=，结合余弦定理得： =。 则有 结合①式得即 所以， 又B=。 所以三角形ABC为正三角形。 法二、边的关系转化为角的关系。 边a、b、c成等比数列，则 结合正弦定理可知： 由（1）可知：B= 则有 又B+C=，所以 即 故 可得：，由辅助角公式可得：。 又,故。 结合可得：，即。 又B=。 所以三角形ABC为正三角形。………………………………………………………12 19. 在极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣cosθ=0，点．以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．斜率为﹣1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点． （Ⅰ）求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程； （Ⅱ）求点M到A，B两点的距离之积． 参考答案： 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可得出曲线C的直角坐标方程；直线l的倾斜角为，故直线l的参数方程为（t为参数0． （Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的方程可得，可得点M到A，B两点的距离之积|MA|?|MB|=|t1||t2|=|t1?t2|． 【解答】解：（Ⅰ）x=ρcosθ，y=ρsinθ， 由ρsin2θ﹣cosθ=0得ρ2sin2θ=ρcosθ． ∴y2=x即为曲线C的直角坐标方程； 点M的直角坐标为（0，1）， 直线l的倾斜角为，故直线l的参数方程为（t为参数）即（t为参数）． （Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的方程得，即， ， 设A、B对应的参数分别为t1、t2，则， 又直线l经过点M，故由t的几何意义得 点M到A，B两点的距离之积|MA|?|MB|=|t1||t2|=|t1?t2|=2． 20. 设f(x)=xln x–ax2+(2a–1)x，aR. （Ⅰ）令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间； （Ⅱ）已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围. 参考答案： （Ⅰ）当时，函数单调递增区间为，当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为； （Ⅱ） 试题分析：（Ⅰ）先求出，然后讨论当时，当时的两种情况即得. （Ⅱ）分以下情况讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，综合即得. 试题解析：（Ⅰ）由 可得， 则， 当时， 时，，函数单调递增； 当时， 时，，函数单调递增， 时，，函数单调递减. 所以当时，单调递增区间为； 当时，