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山东省潍坊市诸城密州学村2022-2023学年高一数学文联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数的定义域为,且为奇函数,当时,,则的所有根之和等于( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 12
参考答案:
A
【分析】
由题可知函数的图像关于对称,求出时函数的解析式,然后由韦达定理求解。
【详解】因为为奇函数,所以图像关于对称,
所以函数的图像关于对称,即
当时,,
所以当时,
当时,可得
当时,可得
所以的所有根之和为
故选A
【点睛】本题考查函数的奇偶性以及求函数的解析式,解题的关键是得出函数的图像关于对称,属于一般题。
2. 已知 则 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
3. 在锐角中,若,则的范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
4. 函数f(x)=|log3x|在区间[a,b]上的值域为[0,1],则b-a的最小值为( )
A.2 B. C. D.1
参考答案:
B
5. 在边长为1的正三角形ABC中,,E是CA的中点,则= ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
6. 设x0是方程lnx+x=4的解,则x0属于区间( )
A.(3,4) B.(2,3) C.(1,2) D.(0,1)
参考答案:
B
【考点】函数零点的判定定理.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】设f(x)=lnx+x﹣4,则由题意可得x0是函数f(x)的零点,再由f(2)f(3)<0 得到x0所在的区间.
【解答】解:设f(x)=lnx+x﹣4,由于x0是方程lnx+x=4的解,则x0是函数f(x)的零点.
再由f(2)=ln2﹣2<0,f(3)=ln3﹣1>0,f(2)f(3)<0,
可得x0属于区间(2,3),
故选B.
【点评】本题考查零点与方程的根的关系,以及函数零点判定定理的应用,属于基础题.
7. 函数 =,的最小正周期为
A. B. C. D.
参考答案:
C
8. a=log2,b=()0.2,c=2,则( )
A.b<a<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<b<c
参考答案:
D
【考点】对数值大小的比较.
【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用.
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出.
【解答】解:∵a=log2<0,0<b=()0.2<1,c=2>1,
∴c>b>a,
故选:D.
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
9. 已知函数:①y=2x;②y=log2x;③y=x﹣1;④y=.则下列函数图象(在第一象限部分)从左到右依次与函数序号的正确对应顺序是( )
A.②①③④ B.②③①④ C.④①③② D.④③①②
参考答案:
D
【考点】对数函数的图象与性质;指数函数的图象与性质.
【分析】本题考查的是幂函数、指数函数以及对数函数的图象和性质问题.在解答时可以逐一对比函数图象与解析式,利用函数的性质特别是单调性即可获得此问题的解答.
【解答】解:第一个图象过点(0,0),与④对应;
第二个图象为反比例函数图象,表达式为,③y=x﹣1恰好符合,∴第二个图象对应③;
第三个图象为指数函数图象,表达式为y=ax,且a>1,①y=2x恰好符合,∴第三个图象对应①;
第四个图象为对数函数图象,表达式为y=logax,且a>1,②y=log2x恰好符合,∴第四个图象对应②.
∴四个函数图象与函数序号的对应顺序为④③①②.
故选D.
10. 如图所示的程序框图,若输出的S=41,则判断框内应填入的条件是( )
A.k>3? B.k>4? C.k>5? D.k>6?
参考答案:
B
【考点】EF:程序框图.
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加并输入S的值,条件框内的语句是决定是否结束循环,模拟执行程序即可得到答案.
【解答】解:程序在运行过程中各变量值变化如下表:
K S 是否继续循环
循环前 1 0
第一圈 2 2 是
第二圈 3 7 是
第三圈 4 18 是
第四圈 5 41 否
故退出循环的条件应为k>4?
故答案选:B.
【点评】算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程序填空也是重要的考试题型,这种题考试的重点有:①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程图的含义而导致错误.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数(a,b,c,d∈R),其图象如图所示,则a:b:c:d= .
参考答案:
1:(﹣6):5:(﹣8)
【考点】函数的图象.
【分析】根据图象可先判断出分母的分解式,然后利用特殊点再求出分子即可.
【解答】解:由图象可知x≠1,5
∴分母上必定可分解为k(x﹣1)x﹣5)
∵在x=3时有y=2
∴d=﹣8k
∴a:b:c:d=1:(﹣6):5:(﹣8),
故答案为1:(﹣6):5:(﹣8).
12. ks5u
指数函数是减函数,则实数的取值范围是 。
参考答案:
13. 若函数在上为减函数,则实数m的取值范围为
参考答案:
14. 三个数 , , ,则a、b、c的大小关系是________.
参考答案:
c>a>b
15. 已知是奇函数,且,若,则_________.
参考答案:
略
16. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论:
①AC⊥BD;
②△ACD是等边三角形;
③AB与平面BCD成60°的角;
④AB与CD所成的角是60°.
其中正确结论的序号是________.
参考答案:
①②④
17. 一束光线从点A(-1,1)出发经x轴反射到圆C:的最短路程是 .
参考答案:
4
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设,,,∥,试求满足
的的坐标(O为坐标原点)。
参考答案:
设,由题意得:
略
19. 已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中n=1,2,3,…
(1)证明数列{lg(1+an)}是等比数列;
(2)设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an),求Tn及数列{an}的通项;
(3)记,求数列{bn}的前n项Sn,并证明.
参考答案:
解:(Ⅰ)由已知an+1=an2+2an,
∴an+1+1=(an+1)2∵a1=2
∴an+1>1,两边取对数得lg(1+an+1)=2lg(1+an),
即
∴{lg(1+an)}是公比为2的等比数列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知lg(1+an)=2n﹣1?lg(1+a1)=
∴∴
∴Tn=(1+a1)(1+a2)(1+an)===
(Ⅲ)∵an+1=an2+2an∴an+1=an(an+2)
∴
∴
又
∴
∴Sn=b1+b2++bn==
∵
∴
又
∴.
略
20. 设函数f(x)=|x﹣a|+5x.
(1)当a=﹣1时,求不等式f(x)≤5x+3的解集;
(2)若x≥﹣1时有f(x)≥0,求a的取值范围.
参考答案:
【考点】7E:其他不等式的解法.
【分析】(1)当a=﹣1时,|x+1|+5x≤5x+3,从而解得;
(2)当x≥0时,f(x)=|x﹣a|+5x≥0恒成立,从而转化为故只需使当﹣1≤x<0时,f(x)=|x﹣a|+5x≥0,从而化简可得(4x+a)(6x﹣a)≤0,从而分类讨论解得.
【解答】解:(1)当a=﹣1时,|x+1|+5x≤5x+3,
故|x+1|≤3,
故﹣4≤x≤2,
故不等式f(x)≤5x+3的解集为[﹣4,2];
(2)当x≥0时,f(x)=|x﹣a|+5x≥0恒成立,
故只需使当﹣1≤x<0时,f(x)=|x﹣a|+5x≥0,
即|x﹣a|≥﹣5x,
即(x﹣a)2≥25x2,
即(x﹣a﹣5x)(x﹣a+5x)≥0,
即(4x+a)(6x﹣a)≤0,
当a=0时,解4x×6x≤0得x=0,不成立;
当a>0时,解(4x+a)(6x﹣a)≤0得,
﹣≤x≤,
故只需使﹣≤﹣1,
解得,a≥4;
当a<0时,解(4x+a)(6x﹣a)≤0得,
≤x≤﹣,
故只需使≤﹣1,
解得,a≤﹣6;
综上所述,a的取值范围为a≥4或a≤﹣6.
21. 如图所示,四边形OAPB中,,设,的面积为S.
(1)用表示OA和OB;
(2)求面积S的最大值.
参考答案:
(1),;,(2)
【分析】
(1)在△AOP中,由正弦定理得,△BOP中,由正弦定理得,用表示AP和BP,由条件可得,由正弦定理可得OA和OB;(2)用OA,OB表示出△AOB面积S,令t=sinα+cosα,构造关于t的函数,求出最值.
【详解】(1)在中,由正弦定理得.
在中,由正弦定理得.
因为,所以,
则,.
因为四边形内角和为,可得,
在中,由正弦定理得,
即,
所以,
在中,由正弦定理得即,
则,
所以,
(2)的面积
设,.
则.
当时,即时,有最大值.
所以三角形面积的最大值为.
【点睛】本题考查正弦定理和面积公式的应用,考查换元法求最值问题,考查转化思想和计算能力,属中档题.
22. (12分)(2010秋?淄博校级期中)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知=(cos,sin),=(cos,sin),且满足|+|=.
(1)求角A的大小;
(2)若||+||=||,试判断△ABC的形状.
参考答案:
考点: 三角形的形状判断;向量的模;同角三角函数基本关系的运用.
专题: 计算题.
分析: (1)由得整理可得cosA=结合0<A<π可求A=.
(2)由已知可得b+c=a结合正弦定理可得,sinB+sinC=sinA,从而有sinB+sin(﹣B)=×,
sin(B+)=.由0<B<可得<B+<,结合正弦函数的性质可求B,进一步可求C,判断三角形的形状
解答: 解:(1)由得
即1+1+2(coscos+sinsin)=3,
∴cosA=,∵0<A<π,∴A=.
(2)∵||+||=||,
∴b+c=a,
由正弦定理可得,sinB+sinC=sinA,
∴sinB+sin(﹣B)=×,
即sinB+cosB=,
∴sin(B+)=.
∵0<B<,∴<B+<,
∴B+=或,故B=或.
当B=时,C=;当B=时,C=.
故△ABC是直角三角形.
点评: 本题主要考查了向量的向量的模的求解,向量数量积的运算,和角的三角函数及正弦定理的应用,由特殊角的三角函数值求解角等知识的综合运用,属于综合试题.
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