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福建省漳州市古农中学高一数学文测试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数f（x）=－x2－2x+3在[-5，2]上的最小值和最大值分别为（ ）
A．-12，-5 B．-12，4 C．-13，4 D．-10，6
参考答案：
B
略
2. 设是两个单位向量，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
D
3. 己知函数定义在R上的周期为4的奇函数，且当0≤x≤2时，，函数，则方程的解的个数为( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
参考答案：
C
【分析】
首先根据题中所给的条件，画出函数在区间上的图象，利用对称性画出区间上的图象，利用函数的周期画出函数在区间上的图象，之后在同一坐标系中画出的图象，利用两图象交点的个数求得结果.
【详解】因为函数定义在R上的周期为4的奇函数，
且当0≤x≤2时，，
所以画出函数的图象，在同一坐标系中画出的图象，如图所示：
观察图象可知两个函数图象有8个交点，其中右边3个交点，左边5个交点，所以方程有8个解，
故选C.
【点睛】该题考查的是有关方程解的个数问题，在解题的过程中，将方程解 个数转化为函数图象交点的个数，涉及到的知识点有奇函数图象的对称性，函数的周期性，属于中档题目.
4. 已知函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
5. （5分）若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（）
A． 若α∥β，l?α，n?β，则l∥n B． 若α⊥β，l?α，则l⊥β
C． 若l⊥n，m⊥n，则l∥m D． 若l⊥α，l∥β，则α⊥β
参考答案：
D
考点： 空间中直线与平面之间的位置关系．
分析： 对于A，考虑空间两直线的位置关系和面面平行的性质定理；
对于B，考虑线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理；
对于C，考虑空间两条直线的位置关系及平行公理；
对于D，考虑面面垂直的判定定理．
解答： 选项A中，l除平行n外，还有异面的位置关系，则A不正确．
选项B中，l与β的位置关系有相交、平行、在β内三种，则B不正确．
选项C中，l与m的位置关系还有相交和异面，故C不正确．
选项D中，由l∥β，设经过l的平面与β相交，交线为c，则l∥c，又l⊥α，故c⊥α，又c?β，所以α⊥β，正确．
故选D．
点评： 本题考查空间直线位置关系问题及判定，及面面垂直、平行的判定与性质，要综合判定定理与性质定理解决问题．
6. 若函数是函数的反函数，且，则=（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
A
7. 设分别表示函数的最大值和最小值，则( )
A． B． C． D．
参考答案：
B8.
参考答案：
D
9. 设是定义在上的一个函数，则函数在上一定是（ ）
A. 奇函数 B. 偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数
参考答案：
A
10. 生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上。”这就是著名的欧拉线定理，在△ABC中，O，H，G分别是外心、垂心和重心，D为BC边的中点，下列四个结论：（1）；（2）；（3）；（4）正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C. 3 D．4
参考答案：
D
中，分别是外心、垂心和重心，，
画出图形，如图所示；
对于（1），根据欧拉线定理得，选项（1）正确；
对于（2），根据三角形的重心性质得，选项（2）正确；
对于（3），
选项（3）正确；
对于（4），过点作，垂足为，则
的面积为
同理
选项（4）正确．
故选D．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 计算___________.
参考答案：
解析：
12. 已知，使成立的x的取值范围是________．
参考答案：
[－2,2]
【分析】
根据分段函数的解析式做出函数的图象，使成立的的取值范围就是函数在虚线及以上的部分中的取值范围，再分别求解和，可得的取值范围.
【详解】函数图象如下图所示：
虚线表示，函数在虚线及以上的部分中的取值范围即为不等式的解集，
由图可知，的取值范围就是点横坐标与点横坐标之间的范围。
中令，得，即为点横坐标。
中令，得或，所以点横坐标为，
所以不等式的解集为.
故填：.
【点睛】本题考查根据分段函数的解析式求解不等式的问题，关键在于做出图像求解出满足不等式的范围端点值，属于基础题.
13. 函数的定义域为__________．
参考答案：
14. 等腰的顶角，，以为圆心，1为半径作圆，为该圆的一条直径，则的最大值为 ．
参考答案：
15. 使函数取得最小值的x的集合是 ．
参考答案：
{x|x=4kπ+2π，k∈Z}
【考点】余弦函数的图象．
【分析】由条件根据余弦函数的图象特征，余弦函数的最小值，求得x的集合．
【解答】解：使函数取得最小值时， =2kπ+π，x=4kπ+2π，k∈Z，
故x的集合是为{x|x=4kπ+2π，k∈Z}，
故答案为：{x|x=4kπ+2π，k∈Z}．
16. 已知，且，，则x=__________.
参考答案：
【分析】
根据指数和对数运算，化简求得的值.
【详解】依题意，且，，
所以，
由于，且，
所以.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查指数和对数运算，属于基础题.
17. 已知集合A={﹣1，0，1}，集合B满足A∪B={﹣1，0，1}，则集合B有 个．
参考答案：
8
【考点】并集及其运算．
【专题】集合思想；数学模型法；集合．
【分析】集合A={﹣1，0，1}，集合B满足A∪B={﹣1，0，1}，故集合B是集合A的子集，根据集合A中元素的个数，能够求出集合B的个数．
【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1}，集合B满足A∪B={﹣1，0，1}，
∴集合B是集合A的子集，
∵集合A有3个元素，
∴集合A有23=8个子集．
故集合B有8个．
故答案为：8．
【点评】本题考查集合的并集及其运算，是基础题．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P
（1）求的值；
（2）求tan2及sin4
参考答案：
（1）；（2），
【分析】
（1）根据三角函数定义得到，，，化简得到原式等于，计算得到答案.
（2），，代入数据得到答案.
【详解】（1）终边经过点P，故，，.
.
（2），
.
【点睛】本题考查了三角函数值的定义，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.
19. （本小题满分12分）
已知向量，．
（1）求证：为直角；
（2）若，求的边的长度的取值范围．
参考答案：
（1）证明：因为
0， …………4分
所以，即． …………5分
所以是直角三角形． …………6分
（2）解：，
因为是直角三角形，且，
所以 …………9分
又因为，，
所以．
所以，长度的取值范围是． …………12分
20. （本小题满分12分）已知函数。（Ⅰ）求的最小正周期和单调增区间：
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值。
19、
参考答案：
（1）,单调增区间是：[ ]（）
（2）。
略
21. 已知向量，，
（1）若，求向量、的夹角；
（2）若，求函数的最值以及相应的x的取值.
参考答案：
解:（1），
所以
又，所以
（2）
.又，
所以
所以，的最小值为，
，的最小值为1.
22. 已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x﹣x2．
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）问是否存在这样的正数a，b使得当x∈[a，b]时，函数g（x）=f（x）的值域为[，]，若存在，求出所有a，b的值，若不存在，说明理由．
参考答案：
【考点】函数奇偶性的性质；函数的值域．
【专题】分类讨论；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】（1）令x＜0，则﹣x＞0，由当x＞0时，f（x）=2x﹣x2，可得f（﹣x）的表达式，进而根据f（x）为奇函数，f（x）=﹣f（﹣x），可得答案；
（Ⅱ）分0＜a＜b≤1，0＜a＜1＜b和1≤a＜b三种情况分别讨论，a，b的取值情况，最后综合讨论结果可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）设x＜0，则﹣x＞0，
由f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[2（﹣x）﹣（﹣x）2]=2x+x2，
当x=0时，f（x）=0，
故f（x）=；
（2）分下述三种情况：
①0＜a＜b≤1，那么＞1，而当x≥0，f（x）的最大值为1，
故此时不可能使g（x）=f（x），
②若0＜a＜1＜b，此时若g（x）=f（x），
则g（x）的最大值为g（1）=f（1）=1，得a=1，这与0＜a＜1＜b矛盾；
③若1≤a＜b，因为x≥1时，f（x）是减函数，则f（x）=2x﹣x2，
于是有?，
考虑到1≤a＜b，
解得a=1，b=
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数解析式的求解及常方法，二次函数的性质，其中利用奇函数的性质，求出函数的解析式，并分析其性质是解答本题的关键．
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