江西省宜春市上高第四中学高三数学文测试题含解析

江西省宜春市上高第四中学高三数学文测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数的定义域为                      （ ） A． B．{x| x<-2或x>1}   C．  D． 参考答案： B 2. 已知f（x）=x（1+lnx），若k∈Z，且k（x﹣2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，则k的最大值为（　　） 　 A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 参考答案： B 考点： 函数恒成立问题．  专题： 综合题；导数的综合应用． 分析： f（x）=x（1+lnx），所以k（x﹣2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，即k＜对任意x＞2恒成立，求出右边函数的最小值，即可求k的最大值． 解答： 解：f（x）=x（1+lnx），所以k（x﹣2）＜f（x）对任意x＞2恒成立， 即k＜对任意x＞2恒成立． 令g（x）=，则g′（x）=， 令h（x）=x﹣2lnx﹣4（x＞2），则h′（x）=1﹣=， 所以函数h（x）在（2，+∞）上单调递增． 因为h（8）=4﹣2ln8＜0，h（9）=5﹣2ln9＞0， 所以方程h（x）=0在（2，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（8，9）． 当2＜x＜x0时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g'（x）＞0， 所以函数g（x）=在（2，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增． 又x0﹣2lnx0﹣4=0，所以2lnx0=x0﹣4，故1+lnx0=x0﹣1， 所以[g（x）]min=g（x0）===x0∈（4，4.5） 所以k＜[g（x）]min==x0∈（4，4.5）． 故整数k的最大值是4． 故选：B． 点评： 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查函数的最值，正确求导是关键． 3. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且，则的值为（    ） A. －1 B. 1 C. 0 D. 无法计算 参考答案： C 【分析】 因为是定义在上的奇函数，所以有，结合已知的等式，可以得到，由是定义在上的偶函数，可得，可得，最后求出的值. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以有， ，因为是定义在上的偶函数，所以，所以，因此 =0，故本题选C. 【点睛】本题考查了抽象函数的性质，结合奇偶函数的性质，根据所给的式子进行变换是解题的关键. 4. 设，在约束条件下，目标函数的最大值小于2，则的取值范围是（       ） A．       B．     C．        D． 参考答案： A 略 5. 如图，某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（   ） A. B. C. D. 3 参考答案： A 【分析】 首先根据三视图画出几何体的直观图，进一步利用几何体的体积公式求出结果． 【详解】解：根据几何体得三视图转换为几何体为： 故：V． 故选：A． 【点睛】本题考查知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题． 6. 若全集，，则（      ）  A．            B．           C．    D ． 参考答案： ，，选A． 7. 已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合： ①M={}； ②M={（x，y）|y=sinx+1}； ③M={（x，y）|y=log2x}； ④M={（x，y）|y=ex﹣2}． 其中是“垂直对点集”的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 参考答案： D 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】对于①利用渐近线互相垂直，判断其正误即可．对于②、③、④通过函数的定义域与函数的值域的范围，画出函数的图象，利用“垂直对点集”的定义，即可判断正误； 【解答】解：对于①y=是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90°，所以在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足好集合的定义；在另一支上对任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，所以不满足“垂直对点集”的定义，不是“垂直对点集”． 对于②M={（x，y）|y=sinx+1}，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如（0，1）、（π，0），满足“垂直对点集”的定义，所以M是“垂直对点集”；正确． 对于③M={（x，y）|y=log2x}，取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”． 对于④M={（x，y）|y=ex﹣2}，如下图红线的直角始终存在，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如取M（0，﹣1），则N（ln2，0），满足“垂直对点集”的定义，所以是“垂直对点集”；正确． 所以②④正确． 故选D． 8. 已知直线l：y=x+m与曲线有两个公共点，则实数m的取值范围是（      ） 　　A．（－2，2）     B．（－1，1）     C．       D． 参考答案： C 略 9. 不等式的解集为 （  ） A.      B.    C.    D. 参考答案： A 10. 经济林是指以生产果品、食用油料、饮料、工业原料和药材等为主要目的的林木，是我国五大林种之一，也是生态、经济和社会效益结合得最好的林种. 改革开放以来，我省林业蓬勃发展同时，我省经济林也得到快速的发展，经济林产业已成为我省林业的重要支柱产业之一，在改善生态环境、优化林业产业结构、帮助农民脱贫致富等方面发挥了积极的作用. 我市林业局为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如右），那么估计在这片经济林中，底部周长不小于110 cm林木所占百分比为   A．30%         B．60%         C．70%         D．93%   参考答案： 答案：A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如果实数x，y满足条件， 那么目标函数z＝2x－y的最小值为____________. 参考答案： —3 略 12. 已知，且，则  ▲  ． 参考答案： 略 13. 已知函数，，则f（x）的值域是　　． 参考答案： [﹣1，2] 【考点】正弦函数的定义域和值域． 【分析】根据x的取值范围，利用余弦函数的图象与性质，求出f（x）的最大、最小值，得值域． 【解答】解：函数， 时，x+∈[﹣，]， ∴cos（x+）∈[﹣，1]； ∴2cos（x+）∈[﹣1，2]， 即x=时，f（x）取得最小值﹣1， x=﹣时，f（x）取得最大值2， ∴f（x）的值域是[﹣1，2]． 故答案为：[﹣1，2]． 14. 已知可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和，若不等式对于恒成立，则实数的取值范围是________   参考答案： 15. 过平面区域内一点作圆的两条切线，切点分别为，记，则当最小时    ▲    ． 参考答案： 当离圆最远时最小，此时点坐标为：记， 则，计算得=   16. 已知等差数列{}的首项及公差均为正数，令（，n＜2012），当是数列{}的最大项时，k＝＿＿＿＿ 参考答案： 17. 经过原点且与函数（为自然对数的底数）的图象相切的直线方程为            参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分12分）为了解在校学生的安全知识普及情况，命制了一份有道题的问卷到各学校做问卷调查．某中学两个班各被随机抽取名学生接受问卷调查，班名学生得分为：，，，，；班5名学生得分为：，，，，． （Ⅰ）请你用所学知识，估计两个班中哪个班的问卷得分要稳定一些； （Ⅱ）如果把班名学生的得分看成一个总体，并用简单随机抽样方法从中抽取样本容量为的样本，求样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于的概率． 参考答案： 解：（Ⅰ）∵班的名学生的平均得分为÷， ………1分 方差；……2分 班的名学生的平均得分为÷，  ……………………3分 方差．   ……4分 ∴ ， ∴ 班的安全知识的问卷得分要稳定一些．             ………………6分 （Ⅱ）从班名同学中任选名同学的方法共有种，      …………………8分 其中样本和，和，和，和的平均数满足条件，…………………10分 故所求概率为．　　                      ……………………12分     略 19. (本小题满分12分） 已知抛物线y2=2px(p>0)上的点M(2,m)到其焦点F的距离为   . (I)求m，p的值； (Ⅱ)已知点A、B在抛物线C上且位于x轴的两侧，?=6(其中0为坐标原点），求 △ABO面积的最小值. 参考答案： (Ⅰ)由抛物线定义可得 ，解得， ∴ 所求抛物线方程为 ，                把M（ ，m）代入可解得 ，        ……………………4分 （Ⅱ）设，，则，． 由，得， 又，在该抛物线上且位于轴的两侧，故．……………………6分 ∵　， ∴　 ………8分 . ∴  面积的最小值为．                    ……………………12分 20. 已知函数(R，，，)图象如图，P是图象的最高点，Q为图象与轴的交点，O为原点．且，，． （Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）将函数图象向右平移1个单位后得到函数的图象，当时，求函数的最大值． 参考答案： 21. (本小题满分12分)已知数列的前项和，数列为等比数列，且满足，   （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和。 参考答案： （1）由已知，得                            ……1分 当≥2时， ……3分 所以 ……5分 由已知，， 设等比数列的公比为，由得，所以，                  ……7分 所以 ……8分 （2）设数列的前项和为， 则， ， 两式相减得 ……10分 ……11分     所以                 ……12分   22. 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是B1C1、BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1E=． （Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC； （Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣B1的平面角的正弦值． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定． 【分析】（1）先证AE⊥平面A1BC，再证A1D∥AE即可‘’ （2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可． 【解答】证明：（Ⅰ）∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是B1C1、BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC=2， ∴A1D∥AE，AE⊥BC，AE=BE=， ∵A1A=4，A1E=． ∴A1E2+AE2=，∴AE⊥A1E， ∵A1E∩BC=E，∴AE⊥平面A1BC， ∵A1D∥AE，∴A1D⊥平面A1BC． 解：（Ⅱ）如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z