广西壮族自治区柳州市地区中学2022年高三数学文测试题含解析

广西壮族自治区柳州市地区中学2022年高三数学文测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为 A． B． C． D． 参考答案： B 2. 若，则的值为(     ) A． B．﹣ C． D． 参考答案： A 【考点】两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数． 【专题】计算题． 【分析】首先利用诱导公式得出=cos[﹣（﹣α）]=sin（﹣α），进而求出结果． 【解答】解：=cos[﹣（﹣α）]=sin（﹣α）=， 故选A． 【点评】本题考查了三角函数的诱导公式，观察已知角与所求角的关系是解题的关键，属于基础题． 3. 设复数，，若，则 (   ) A． B． C．  D． 参考答案： B 【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算 解析： 因为,所以，故选B. 【思路点拨】先利用两个复数代数形式的乘法法则求出，由于它为实数，可得，由此求得x的值．   4. 有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中小明必须站在正中间，并且小李、小张两位同学要站在一起， 则不同的站法有 (A) 192种      (B) 120种 (C) 96种         (D) 48种 参考答案： 【知识点】排列、组合及简单计数问题．J2 J1 A  解析：不妨令小李、小张在小明左侧，先排小李、小张两人，有A22种站法，再取一人站左侧有C41×A22种站法，余下三人站右侧，有A33种站法 考虑到小李、小张在右侧的站法，故总的站法总数是2×A22×C41×A22×A33=192 故选：A． 【思路点拨】由于小明必须站正中间，故先安排小明，两边一边三人，不妨令小李、小张在小明左边，求出此种情况下的站法，再乘以2即可得到所有的站法总数，计数时要先安排小李、小张两人，再安排小明左边的第三人，最后余下三人，在小明右侧是一个全排列． 5. 已知函数f（x）=sin （2x+），其中为实数，若f（x）≤对x∈R恒成立，且，则f（x）的单调递增区间是        A．                      B．        C．                     D． 参考答案： 6. 为了得到函数的图象，可以把函数的图象适当平移， 这个平移是（    ） A．沿轴向右平移个单位   B．沿轴向右平移个单位 C．沿轴向左平移个单位   D．沿轴向左平移个单位 参考答案： D 7. 已知函数y＝2x的反函数是y＝f－1(x)，则函数y＝f－1(1－x)的图象是图中的(　　) 参考答案： C 8. 执行如图所示的程序框图,输出的S值为 A．2          B．4          C．8  D．16 参考答案： C 略 9. 已知某几何体的三视图（单位：dm）如图所示，则该几何体的体积是 A．dm3           B．dm3 C．1dm3 D．dm3 参考答案： D 10. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是棱AB的中点，F是侧面AA1D1D内一点，若EF∥平面BB1D1D，则EF长度的范围为（    ） A． B． C． D． 参考答案： C 取的中点，的中点，连结，，， 则，，∴平面平面， ∴当在线段上时，始终与平面平行， 故的最小值为，最大值为． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. ，若表示集合中元素的个数，则__▲  ，则__▲  ． 参考答案： ；． 12. 已知，且，求的最小值.某同学做如下解答：   因为 ，所以┄①，┄②，   ①②得 ，所以 的最小值为24。 判断该同学解答是否正确，若不正确，请在以下空格内填写正确的最小值；若正确，请在以下空格内填写取得最小值时、的值___________. 参考答案： 25 略 13. 已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a+b与向量ka-b垂直，则k=_____________． 参考答案： 1   略 14. 如果随机变量，且，则________． 参考答案： 略 15. 若函数在上为减函数，则实数a的取值范围是        ． 参考答案： 16. 在面积为2的中，分别是的中点，点在直线上，则的最小值是      参考答案： 【知识点】解三角形；平面向量数量积的运算 C8,F3 【答案解析】 解析：解：∵E、F是AB、AC的中点，∴EF到BC的距离=点A到BC的距离的一半， ∴△ABC的面积=2△PBC的面积，而△ABC的面积=2，∴△PBC的面积=1， 又△PBC的面积=PB×PCsin∠BPC，∴PB×PC=． ∴=PB×PCcos∠BPC=． 由余弦定理，有：BC2=BP2+CP2﹣2BP×CPcos∠BPC． 显然，BP、CP都是正数，∴BP2+CP2≥2BP×CP，∴BC2≥2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC． ∴≥PB×PCcos∠BPC+2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC= 令y=，则y′= 令y′=0，则cos∠BPC=，此时函数在（0，）上单调增，在（，1）上单调减 ∴cos∠BPC=时，取得最大值为 ∴的最小值是 故答案为： 【思路点拨】根据△ABC的面积为2，可得△PBC的面积=1，从而可得PB×PC=，故=PB×PCcos∠BPC=，由余弦定理，有：BC2=BP2+CP2﹣2BP×CPcos∠BPC，进而可得BC2≥2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC． 从而≥，利用导数，可得最大值为，从而可得的最小值． 17. 将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移个单位，得到的图像对应的解析式是       ． 参考答案： 函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得y＝，将所得的图像向左平移个单位得． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （2017?白山二模）已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为x=﹣1，直线l与抛物线相交于不同的A，B两点． （1）求抛物线的标准方程； （2）如果直线l过抛物线的焦点，求的值； （3）如果，直线l是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由． 参考答案： 【考点】直线与抛物线的位置关系． 【分析】（1）由抛物线的准线方程可知：，p=2．即可求得抛物线方程； （2）设l：my=x﹣1，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得的值； （3）设直线l方程，my=x+n，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得n的值，可知直线l过定点． 【解答】解：（1）已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为x=﹣1， 所以，p=2． ∴抛物线的标准方程为y2=4x． （2）设l：my=x﹣1，与y2=4x联立，得y2﹣4my﹣4=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4， ∴． （3）解：假设直线l过定点，设l：my=x+n， ，得y2﹣4my+4n=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2=4m，y1y2=4n． 由，解得n=﹣2， ∴l：my=x﹣2过定点（2，0）． 【点评】本题考查抛物线的简单几何性质，考查直线与抛物线的位置关系，韦达定理及向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题． 19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，，，G是PB的中点，是等边三角形，平面平面ABCD. （1）求证：CD⊥平面GAC； （2）求三棱锥D-GAC与三棱锥P-ABC的体积之比. 参考答案： （1）见详解；（2）1:1. 【分析】 (1)要证线面垂直，需在平面内找两条相交直线，证明它们与垂直. (2)分别考虑两个三棱锥的底面积和高的比，再求体积比. 【详解】（1）证明：取的中点为，连接，，，设交于，连接. ，， 四边形与四边形均为菱形. ，.. 等边三角形，为中点， . 平面平面且平面平面，平面且， 平面. 平面，. ，分别为，中点，. . 又，平面. （2）. 【点睛】本题考查空间线面垂直的证明，三棱锥体积的计算.要证线面垂直，需证线线垂直，而线线垂直可以通过平面中的勾股定理、等腰三角形的性质等来证明，也可以通过另外的线面垂直来证明.求三棱锥的体积经常需要进行等积转换，即变换三棱柱的底面. 20. （本小题满分13分）设函数（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；    （Ⅱ）若函数f(x)在x∈[－1，1]内没有极值点，求a的取值范围；    （Ⅲ）若对任意的a∈[3,6]，不等式在x∈[－2,2]上恒成立，求m的取值范围. 参考答案： 解：（Ⅰ）∵f′(x)=3x2+2ax－a2=3(x－)(x+a), 又a>0，∴当x<－a或x>时f′(x)>0； 当－a3.                              （8分） （Ⅲ）∵a∈[3,6]，∴由（Ⅰ）知∈[1，2]，－a≤－3 又x∈[－2,2] ∴f(x)max=max{f(－2),f(2)} 而f(2)－f(－2)=16－4a2<0 f(x)max=f(-2)= －8+4a+2a2+m （10分）    又∵f(x)≤1在[－2，2]上恒成立 ∴f(x)max≤1即－8+4a+2a2+m≤1 即m≤9－4a－2a2,在a∈[3，6]上恒成立 ∵9－4a－2a2的最小值为－87 ∴m≤－87.                        （13分） 21. 如图，正方形与等边三角形所在的平面互相垂直，分别是的中点. （1）证明：平面； （2）求锐二面角的余弦值. 参考答案： （1）证明：取中点,连结. 由题意可得, 因为平面,平面, 所以平面, 同理可证平面. 因为, 所以平面平面, 又平面, 所以平面. （2）解：取的中点,连接. 由题意可得两两垂直,以为坐标原点，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系. 令，则.[来源:学科网] 所以. 设平面的法向量 则 令，则 因为是平面的一个法向量 所以 所以锐二面角的余弦值为. 22. (本题满分12分)在公差不为的等差数列中，，且，，成等比数列. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前项和公式. 参考答案： （Ⅰ）设数列的公差为，又， 可得，， ．  由，，成等比数列得， 即， 整理得， 解得或． 由,可得． ， 所以．                …………………6分 （Ⅱ）由，，可得. 所以． 因为， 所以数列是首项为，公比为的等比数列．   所以的前项和公式为．………12分