江苏省镇江市西麓中学高三数学文月考试题含解析

江苏省镇江市西麓中学高三数学文月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若存在两个正实数x，y使得等式成立（其中，是以e为底的对数），则实数a的取值范围是（   ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 对进行变形，将求的取值范围转化为求的值域，利用导数即可得出实数的取值范围。 【详解】可化为 令 则， 函数在区间 上单调递增，在区间 上单调递减。 即 ，则 故选C 【点睛】求参数的范围可采用参数分离，再利用导数去得出函数的最值，从而得到参数的范围。 2. 已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的表面积为（　 　） A. 4π B. 16π C. 18π D. 36π 参考答案： B 【分析】 由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，并判断出位置关系，判断出几何体的外接球的球心位置，从而求出外接球的半径，代入求的表面积公式求解即可． 【详解】根据三视图可知几何体是一个三棱锥，如图：底面是一个直角三角形，，是的中点，平面， 且、，， ，， 几何体的外接球的球心是，则球的半径， 即几何体的外接球表面积， 故选：． 【点睛】本题考查三视图求几何体外接球的表面积，由三视图正确复原几何体、确定外接球球心的位置是解题的关键，考查空间想象能力． 3. （08年大连24中） 复数的虚部为                                                                                      （    ）        A．                    B．-                   C．                      D．－ 参考答案： 答案:D 4. 已知，符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则的取值范围是（   ） A.               B. C.              D. 参考答案： B 试题分析：解：由，得；①若，设，则当，，此时 当，此时，此时；当，此时，此时；当，此时，此时；当，此时，此时，作出函数图象，要使有且仅有三个零点，即函数有且仅有三个零点，则由图象可知； ②若，设，则当，，此时，此时；当，，此时，此时；当，，此时，此时；当，，此时，此时；当，，此时，此时；作出函数图象，要使有且仅有三个零点，即函数有且仅有三个零点，则由图象可知，所以的取值范围，故答案为B. 考点：函数的零点与方程的根关系. 5. 若，则（　　） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 令，则把条件和目标都转化为关于的式子，根据诱导公式和二倍角公式，进行化简，得到答案. 【详解】解：令，则 由，可得 故选：D． 【点睛】本题主要考查换元法、诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于简单题． 6. 在集合中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为，在区间[1，]和[2，4]分别各取一个数，记为m和n，则方程表示焦点在x轴上的椭圆的概率是 （   ） A．       B.         C.        D. 参考答案： B 7. 已知的值（　　） A． B．﹣ C．﹣ D． 参考答案： D 【考点】两角和与差的余弦函数． 【分析】利用诱导公式化简已知条件，结合同角三角函数基本关系式，求解即可． 【解答】解：由cos（α﹣9π）=﹣cosα=﹣，∴cosα=，∵α∈（π，2π），∴sinα=﹣= cos（）=﹣sinα=． 故选：D． 8. 设是双曲线的右焦点，双曲线两条渐近线分别为，过作直线的垂线，分别交于、两点，且向量与同向．若成等差数列，则双曲线离心率的大小为 A．2                                B．                         C．                          D． 参考答案： D 设=m?d，=m，=m+d，由勾股定理，得 (m?d)2+m2=(m+d)2．解得m=4d． 设∠AOF=，则cos2=．cos=，所以，离心率e =.选D. 9. 已知函数为R上的奇函数，且在[0,+∞)上为增函数，从区间(-5，5)上任取一个数x，则使不等式成立的概率为(    )． A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 利用奇函数的性质，可以解出不等式的解集，然后利用几何概型公式，进行求解. 【详解】因为函数为上的奇函数，所以，在上为增函数，由奇函数的性质可知，函数为上的增函数，所以 ，从区间(-5，5)上任取一个数，则使不等式成立的概率为，故本题选A. 【点睛】本题考查了几何概型、奇函数的性质.值得注意的是:当奇函数在时，没有定义，如果在单调递增，那么在整个定义域内，就不一定是增函数. 10. 已知全集，那么 (A)      (B)        (C)      (D) 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数，在区间内围成图形的面积为            参考答案： 略 12. 直角的三个顶点都在给定的抛物线上，且斜边和轴平行， 则斜边上的高的长度为   ▲   ．   参考答案： 13. 已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥P-ABC的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为______. 参考答案： 【分析】 记三棱锥的外接球的球心为O，半径为R，点P到平面的距离为h， 利用三棱锥的体积为求得，利用为球O的直径求得球心O到平面的距离等于，求得正的外接圆半径为，再利用截面圆的性质列方程即可得解。 【详解】依题意，记三棱锥P-ABC的外接球的球心为O，半径为R，点P到平面的距离为h， 则由得. 又为球O的直径，因此球心O到平面ABC的距离等于， 又正△ABC的外接圆半径为， 因此. 所以三棱锥P-ABC的外接球的表面积为. 【点睛】本题主要考查了方程思想及锥体体积公式，还考查了转化思想及利用正弦定理求三角形的外接圆半径，考查了截面圆的性质及球的表面积公式，考查计算能力及空间思维能力，属于难题。 14. 若函数在上是单调增函数，则实数的取值范围是____. 参考答案： 设，则，若，则函数递增，要使函数在上是单调增函数，则有递增，所以有，即，所以。若，则函数递减，要使函数在上是单调增函数，则有递减，所以有，即，解得。所以实数的取值范围是或。即。 15. 若，则=　　． 参考答案： 【考点】两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数． 【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，将已知等式代入计算即可求出值． 【解答】解：∵， ∴=cos[﹣（+α）]=sin（+α）=． 故答案为：． 16. 如图，已知点,点在曲线      上，若阴影部分面积与△面积相等时，则     ． 参考答案：       略 17. 将一枚骰子抛掷两次，记先后出现的点数分别为，则方程有实根的概率为        ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分10分）如图， 及其外接圆，过点作圆的切线交的延长线于，的角平分线分别交于点，若.试求. 参考答案： 由，得，由～可知. 19. （10分）（2015秋?克拉玛依校级月考）（1）求不等式的解集：|x﹣1|+|x+3|≥2． （2）不等式|x﹣1|+|x+3|＞a，对一切实数x都成立，求实数a的取值范围． 参考答案： 考点： 绝对值不等式的解法． 专题： 不等式． 分析： （1）条件利用绝对值的意义求得|x﹣1|+|x+3|的最小值为4，从而求出不等式的解集即可； （2）由条件利用绝对值的意义求得|x﹣1|+|x+3|的最小值为4，由此求得a的取值范围． 解答： 解：（1）∵|x﹣1|+|x+3|表示数轴上的x对应点到1对应点的距离加上它到﹣3对应点的距离， 故|x﹣1|+|x+3|的最小值为4，4＞2，成立， ∴不等式的解集是R； （2）|x﹣1|+|x+3|表示数轴上的x对应点到1对应点的距离加上它到﹣3对应点的距离， 故|x﹣1|+|x+3|的最小值为4， 再根据|x﹣1|+|x+3|＞a，可得4＞a， 即a＜4． 点评： 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题． 20. 已知数列{an}的首项a1=2，且an=2an﹣1﹣1（n∈N+，n≥2）． （1）求证：数列{an﹣1}为等比数列；并求数列{an}的通项公式； （2）求数列{n?an﹣n}的前n项和Sn． 参考答案： 【考点】数列的求和；等比数列的通项公式． 【分析】（1）由an=2an﹣1﹣1（n∈N+，n≥2），变形为：an﹣1=2（an﹣1﹣1）．利用等比数列的定义及其通项公式即可得出． （2）由（1）可得n?an﹣n=n?2n﹣1．再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出． 【解答】（1）证明：∵an=2an﹣1﹣1（n∈N+，n≥2），变形为：an﹣1=2（an﹣1﹣1）． 又a1﹣1=1，∴数列{an﹣1}为等比数列，首项为1，公比为2． ∴an﹣1=2n﹣1，可得an=2n﹣1+1． （2）解：数列n?an﹣n=n?2n﹣1． ∴数列{n?an﹣n}的前n项和Sn=1+2×2+3×22+…+n?2n﹣1， ∴2Sn=2+2×22+3×23+…+（n﹣1）?2n﹣1+n?2n， ∴﹣Sn=1+2+22+…+2n﹣1﹣n?2n=﹣n?2n=（1﹣n）?2n﹣1， 解得Sn=（n﹣1）?2n+1． 21. （本大题10分） 已知函数． （I）当时，解不等式； （II）若存在，使得成立，求实数的取值范围． 参考答案： （I）；     （II）．   略 22. (12分)已知向量，，其中O为坐标原点． (1)若且,求向量与的夹角； (2)当实数变化时,求的最大值． 参考答案： 解：(1) ，故． (2) ， 故当时，原式的最大值为， 当时，原式的最大值为． 略