河南省郑州市第十三中学高一数学文期末试卷含解析

河南省郑州市第十三中学高一数学文期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在平面直角坐标系中，如果不同的两点A（a，b），B（﹣a，b）同时在函数y=f（x）的图象上，则称（A，B）是函数y=f（x）的一组关于y轴的对称点（（A，B）与（B，A）视为同一组），在此定义下函数f（x）= （e=2.71828…，为自然数的底数）图象上关于y轴的对称点组数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 参考答案： C 【考点】分段函数的应用． 【分析】根据定义，可知函数f（x）关于y轴的对称点的组数，就是图象交点的个数． 【解答】解：由题意，在同一坐标系内，作出y=e﹣x，x≤0， y=|lnx|（x＞0）的图象， 根据定义，可知函数f（x）=关于y轴的对称点的组数，就是图象交点的个数，所以关于y轴的对称点的组数为2个， 故选：C 【点评】本题主要考查函数的交点问题，利用定义先求出函数关于y轴对称的函数，是解决本题的关键． 　 2. 二次函数y=ax 2+bx与指数函数y=（）x的图象只可能是（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】指数函数的图象与性质；二次函数的图象． 【分析】根据二次函数的对称轴首先排除B、D选项，再根据a﹣b的值的正负，结合二次函数和指数函数的性质逐个检验即可得出答案． 【解答】解：根据指数函数可知a，b同号且不相等 则二次函数y=ax2+bx的对称轴＜0可排除B与D 选项C，a﹣b＞0，a＜0，∴＞1，则指数函数单调递增，故C 不正确 故选：A 3. 已知集合A={1，2，3}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则集合B的子集的个数为（　　） A．4 B．7 C．8 D．16 参考答案： C 【考点】子集与真子集． 【分析】先求出B={（1，1），（1，2），（2，1）}，由此能求出B的子集个数． 【解答】解：∵集合A={1，2，3}，平面内以（x，y）为坐标的点集合B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}， ∴B={（1，1），（1，2），（2，1）}， ∴B的子集个数为：23=8个． 故选：C． 4. 过点M（﹣2，m）、N（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为（　　） A．1 B．4 C．1或3 D．1或4 参考答案： A 【考点】直线的斜率． 【分析】根据斜率k=，直接求出m 的值． 【解答】解：过点M（﹣2，m）、N（m，4）的直线的斜率等于1，所以k===1 解得m=1 故选A 5. 已知向量，若向量满足，则 （    ） A．   B．   C．   D． 参考答案： D 6. 图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±3，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为 (　　) A．－3，－，，3      B．3，，－，－3 C．－，－3,3，  D．3，，－3，－ 参考答案： B 略 7. 已知幂函数的图像过点，则＝（   ）    A．             B．1                 C．                D．2   参考答案： A 8. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x，若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是(     ) A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣2，1）C．（﹣1，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） 参考答案： B 考点：奇偶性与单调性的综合． 专题：计算题；函数的性质及应用． 分析：由题意可先判断出f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1在（0，+∞）上单调递增，根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，从而可比较2﹣a2与a的大小，解不等式可求a的范围 解答：解：∵f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1在（0，+∞）上单调递增 又∵f（x）是定义在R上的奇函数 根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增 ∴f（x）在R上单调递增 ∵f（2﹣a2）＞f（a） ∴2﹣a2＞a 解不等式可得，﹣2＜a＜1 故选B 点评：本题主要考查了奇函数在对称区间上的单调性相同（偶函数对称区间上的单调性相反）的性质的应用，一元二次不等式的求解，属于基础试题 9. 下列结论正确的是（    ） 　  A. A       B.    C.     D. 参考答案： C 略 10. =（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算． 【分析】先把根指数化为分数指数，再根据指数幂的运算性质计算即可． 【解答】解：依题意，可知a≥0，所以=． 故选：A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 定义域为R，且对任意都有，若则=_ 参考答案： 12. 已知正方体的棱长为a，Ｅ是棱的 中点，Ｆ是棱的中点，则异面直线ＥＦ与ＡＣ所成的角的 大小是　　Δ　　. 参考答案：   (或填） 略 13. 下列各数 中最小的数是__________. 参考答案： 14. 为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C（单位：mg/L）随时间t（单位：h）的变化关系为，则经过_______h后池水中药品的浓度达到最大. 参考答案： 2 C＝＝5 当且仅当且t＞0，即t＝2时取等号 考点：基本不等式，实际应用 15. 等差数列{an}的公差为d，其前n项和为Sn，当首项和d变化时，是一个定值，则使Sn为定值的n的最小值为_____▲______． 参考答案： 13 根据等差数列的性质可知 ，所以得到是定值，从而得到为定值，故答案是13.   16. 口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中有45个红球；从中摸出1个球，若摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为____________． 参考答案： 0.32 略 17. （5分）如图所示一个几何体的三视图，则该几何体的体积为           参考答案： 考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，计算出底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案． 解答： 由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥， 棱锥的底面面积S=×2×2=2， 棱锥的高h=2， 故棱锥的体积V==， 故答案为：． 点评： 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (12分)△ABC中，A(0，1)，AB边上的高CD所在直线的方程为x＋2y－4＝0，AC边上的中线BE所在直线的方程为2x＋y－3＝0. (1) 求直线AB的方程； (2) 求直线BC的方程； (3) 求△BDE的面积． 参考答案： (1)直线AB的斜率为2， ∴AB边所在的直线方程为，…………４分 (2)  由 得 即直线AB与AC边中线BE的交点为B(，2) 设C(m，n)， 则由已知条件得　解得; ,    ∴C(2，1) ∴所以BC边所在的直线方程为；……………………8分 (3) ∵E是AC的中点,     ∴E(1，1)   ∴E到AB的距离为：d= 又点B到CD的距离为：BD= ∴S△BDE=?d?BD=　　　　……………………12分 另解：∵E是AC的中点,     ∴E(1，1),     ∴BE=,     由   得 ,    ∴D(,)， ∴D到BE的距离为：d=，　　 ∴S△BDE=?d?BE=　　　……………………12分 19. （12分）（2015秋?宜昌校级月考）已知函数f（x）=（a≠1且a≠0） ①当a＞1时，判断函数f（x）的单调性，并用定义法证明． ②若函数函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，试求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】函数单调性的判断与证明；函数的定义域及其求法．  【专题】函数的性质及应用． 【分析】（1）若a＞1，根据复合函数单调性之间的关系即可试确定函数的单调区间，并指出相应的单调性； （2）若f（x）在区间（0，1]上是减函数．根据（1）的结论即可求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）由a＞1，3﹣ax≥0，即ax≤3，则x≤， 此时y=3﹣ax为减函数 ∵a＞1，则a﹣1＞0，则 ＞0，则此时函数f（x）为减函数，单调递减区间为（﹣∞，]； （2）若f（x）在区间（0，1]上是减函数， 由（1）知，a＞1，且≥1，即1＜a≤3， 即实数a的取值范围是（1，3]． 【点评】本题主要考查函数单调性和单调区间的求解，利用复合函数单调性的关系是解决本题的关键． 20. 已知向量， （1）若，求的值； （2）设函数，求的值域. 参考答案： （1）1；（2）[1,3]. 【分析】 （1）解方程组即得解；（2）先求出f(x)=,再求函数的值域得解. 【详解】（1）∵∴∴. （2）， 当时最大值为3， 当时最小值为1， ∴值域为. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 21. 如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上异于A，B的点，VC垂直于⊙O所在的平面，且AB=4，VC=3． （Ⅰ）若点D在△VCB内，且DO∥面VAC，作出点D的轨迹，说明作法及理由； （Ⅱ）求三棱锥V﹣ABC体积的最大值，并求取到最大值时，直线AB与平面VAC所成角的大小． 参考答案： 【考点】MI：直线与平面所成的角；J3：轨迹方程． 【分析】（Ⅰ）取VB，CB的中点，分别记为E，F，连结E，F，由E，F分别为VB、CB的中点，得EF∥VC，从而DO∥面VAC，由此得到D点轨迹是EF． （Ⅱ）设d为点C到直线AB的距离，由VC⊥面ABC，得到d=2，即C是的中点时，（VV﹣ABC）max=4，此时VC⊥BC，AC⊥BC，从而BC⊥面VAC，进而∠CAB是直线AB与面VAC所成的角，由此能求出三棱锥V﹣ABC体积取到最大值时，直线AB与平面VAC所成角为45°． 【解答】解：（Ⅰ）取VB，CB的中点，分别记为E，F， 连结E，F，则线段EF即为点D的轨迹，如图所示． 理由如下： ∵E，F分别为VB、CB的中点， ∴EF∥VC， 又EF?面VAC，VC?面VAC， 又D∈EF，OD?面EOF， ∴DO∥面VAC， ∴D点轨迹是EF． （Ⅱ）设d为点C到直线AB的距离， ∵VC⊥面ABC， ∴ = =， ∵d∈（0，2]，∴当d=2，即C是的中点时， （VV﹣ABC）max=4， ∵VC⊥面ABC，BC?面ABC，∴VC⊥BC， ∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∴AC⊥BC， ∵AC∩VC=C，∴BC⊥面VAC， ∴AC是AB在面VAC上的射影， ∴∠CAB是直线AB与面VAC所成的角， ∵C是的中点， ∴CA=CB，∴∠CAB=45°， ∴三棱锥V﹣ABC体积取到最大值时，直线AB与平面VAC所成角为45°． 22. 已知函数的定义域为.求：（I）判断并证明在定义域内的单调性； （II）解关于的不等式. 参考答案： 解：（I）在定义域内为增函数证明如下： 设，且 == 因为，所以，所以有 即有在定义域内为增函数    （II）因为定义域为且关于原点对称，又