资源描述
2022年上海教师进修学院附属中学高三数学文联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图,函数的图象在点P处的切线方程是,则b=( )
A.-1 B.1 C.2 D.-2
参考答案:
C
略
2. 如图,在边长为2的正方形中,随机撒1000粒豆子,若按π≈3计算,估计落到阴影部分的豆子数为( )
A. 125 B. 150 C. 175 D. 200
参考答案:
A
【分析】
由题意求出阴影部分的面积为,利用,可得结果.
【详解】由题意知圆的半径为1,则圆的面积近似为3,
又正方形面积为4,则阴影部分面积为.
设落到阴影部分的豆子数为,
则.
故选:A.
【点睛】本题考查几何概型概率的求法,求阴影部分面积是关键,属于基础题.
3. 函数的部分图像可能是( )
参考答案:
A
4. 已知集合,则
A. B. C. D.
.
参考答案:
【答案解析】A 由则故选A.
5. 已知满足条件的点(x,y)构成的平面区域面积为,满足条件的点(x,y)构成的平面区域的面积为,其中分别表示不大于的最大整数,例如: [-0.4]=-1,[1.6]=1,则的关系是( )
A. B. C. D.
参考答案:
略
6. 大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,如图一,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项,都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题,0,2,4,8,12,18,…,如图二,是求大衍数列前项和的程序框图,执行该程序框图,输入,则输出的为( )
A. 100 B. 250 C. 140 D. 190
参考答案:
D
7. 函数的图象是( )
参考答案:
A
8. 若函数的图象不经过第四象限,则正实数a的取值范围为( )
A. [1,+∞) B. C. D.
参考答案:
C
【分析】
求导对a讨论判断函数的单调性求其极值即可求解
【详解】
当,即 ,得 或,当 或 , ,故在 单调递增,又,故图象不经过第四象限,符合题意
当,即 时, ,得或,当 , ,故在 单调递减,在递增,又,故图像经过第四象限,舍去
故选:C
【点睛】本题考查函数的单调性,函数图像的应用,f(0)=0是突破点,是中档题
9. 设复数z1=+i,z2=3+4i,其中i为虚数单位,则=( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】由已知求出,在求出|z2|,代入得答案.
【解答】解:∵,∴,
∵z2=3+4i,∴|z2|=5,
∴=.
故选:D.
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础的计算题.
10. 已知函数f(x)=2x+x,g(x)=log2x+x,h(x)=lnx+x,若f(a)=g(b)=h(c)=0,则( )
A.c<b<a B.b<c<a C.a<b<c D.a<c<b
参考答案:
D
考点: 函数的零点.
专题: 数形结合;函数的性质及应用.
分析: f(a)=g(b)=h(c)=0即为函数y=2x,y=log2x,y=lnx与y=﹣x的交点的横坐标分别为a,b,c,画出它们的图象,即可得到a,b,c的大小.
解答: 解:f(a)=g(b)=h(c)=0
即为函数y=2x,y=log2x,y=lnx
与y=﹣x的交点的横坐标分别为a,b,c,
画出它们的图象,由图象可得,
a<c<b.
故选:D.
点评: 本题考查函数的零点的判断和比较,运用函数和方程的思想和数形结合的思想方法是解题的关键.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 二项式展开式中的常数项为 .
参考答案:
15
12. 公比为的等比数列的各项都为正数,且,则_______;
_________________.
参考答案:
;
由,解得。又,所以,所以.
13. 已知函数f(x)=x|x2-12|的定义域为[0,m],值域为[0,am2],则实数a的取值范围是__ __.
参考答案:
a≥1
仅考虑函数f(x)在x>0时的情况,可知函数f(x)在x=2时,取得极大值16.
令x3-12x=16,解得,x=4.作出函数的图象(如右图所示).
函数f(x)的定义域为[0,m],值域为[0,am2],分为以下情况考虑:
①当04;
②当2≤m≤4时,函数的值域为[0, 16],有am2=16,所以a=,因为2≤m≤4,所以1≤a≤4;
③当m>4时,函数的值域为[0,m(m2-12)],有m(m2-12)=am2,所以a=m-,因为m>4,所以a>1.
综上所述,实数a的取值范围是a≥1.
14.
曲线在处的切线的倾斜角为 .
参考答案:
答案:
15. 已知曲线f(x)=xsinx+1在点(,+1)处的切线与直线ax﹣y+1=0互相垂直,则实数a= .
参考答案:
﹣1
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【专题】综合题;方程思想;综合法;导数的综合应用.
【分析】欲求出实数a,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在切点处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决.
【解答】解:f′(x)=sinx+xcosx,
∵曲线在点(,+1)处的切线与直线ax﹣y+1=0互相垂直,
∴根据导数几何意义得:f′()=﹣,即:1=﹣,
解得:a=﹣1.
故答案为:﹣1.
【点评】本小题主要考查垂直直线的斜率关系、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识.属于基础题.
16. 已知正实数 , 则的值为___________.
参考答案:
略
17. 若随机地从1,2,3,4,5五个数中选出两个数,则这两个数恰好为一奇一偶的概率为 .
参考答案:
.
【分析】先求出基本事件总数,再求出这两个数恰好为一奇一偶包含的基本事件个数,由此能求出这两个数恰好为一奇一偶的概率.
【解答】解:随机地从1,2,3,4,5五个数中选出两个数,
基本事件总数n=,
这两个数恰好为一奇一偶包含的基本事件个数m==6,
∴这两个数恰好为一奇一偶的概率p==.
故答案为:.
【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件概率计算公式的合理运用.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=.
(1)证明:a,c,b成等比数列;
(2)若△ABC的外接圆半径为,且4sin(C﹣)cosC=1,求△ABC的周长.
参考答案:
【考点】正弦定理;等比数列的通项公式.
【分析】(1)+=,由余弦定理可得: +=,化简即可证明.
(2)4sin(C﹣)cosC=1,C为锐角,利用积化和差可得: =1,C∈(0,),∈.解得C=.利用余弦定理可得a2+b2﹣c2=2abcos,又c2=ab,解得a=b.再利用正弦定理即可得出.
【解答】(1)证明:∵ +=,由余弦定理可得: +=,化为c2=ab,∴a,c,b成等比数列.
(2)解:4sin(C﹣)cosC=1,∴C为锐角,2=1,化为: =1,
C∈(0,),∈.∴2C﹣=,解得C=.
∴a2+b2﹣c2=2abcos,又c2=ab,∴(a﹣b)2=0,解得a=b.
∴△ABC的周长=3a==9.
【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、积化和差,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
19. 已知数列{an}为等比数列,a1=3,且a2是a1与a3-3的等差中项
(1)求{an}的通项公式;
(2)证明:
参考答案:
20. (14分)已知函数f(x)=(a、b∈R,a、b为常数),且y=f(x)在x=1处切线方程为y=x﹣1.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)设函数g(x)=f(ex),
(i)求g(x)的单调区间;
(ii)设h(x)=,k(x)=2h′(x)x2,求证:当x>0时,k(x)<+.
参考答案:
【考点】: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.
【专题】: 计算题;证明题;导数的综合应用.
【分析】: (Ⅰ)先求导f′(x)=;从而由f(1)=ln(1+a)+b=0,f′(1)=﹣[ln(1+a)+b]=1组成方程组求解即可;
(Ⅱ)(i)化简g(x)=f(ex)=,再求导g′(x)=,从而由导数确定函数的单调区间;
(ii)化简h(x)==,求导h′(x)=,从而化简k(x)=2h′(x)x2=;分别判断与1﹣2xlnx﹣2x的最大值即可证明.
解:(Ⅰ)由题意知,f′(x)=;
故f(1)=ln(1+a)+b=0,
f′(1)=﹣[ln(1+a)+b]=1,
解得,a=b=0.
(Ⅱ)(i)g(x)=f(ex)=,
g′(x)=,
则当x>1时,g′(x)<0,当x<1时,g′(x)>0;
故g(x)的单调增区间是(﹣∞,1],单调减区间是(1,+∞).
(ii)证明:h(x)==,
h′(x)=,
k(x)=2h′(x)x2=;
由(i)知,当x>0时,∈(0,],
设m(x)=1﹣2xlnx﹣2x,
m′(x)=﹣2lnx﹣4=﹣2(lnx+2),
故m(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减,
故mmax(x)=m()=1+且g(x)与m(x)不于同一点取等号,
故k(x)<(1+)=+.
【点评】: 本题考查了导数的综合应用及函数的最大值的求法,属于中档题.
21. 如图所示的长方体中,底面是边长为的正方形,为与的交点,,是线段的中点.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求证:平面;
(Ⅲ)求二面角的大小.
参考答案:
解:(1)连接D1O,如图,
∵O、M分别是BD、B1D1的中点,BD1D1B是矩形,
∴四边形D1OBM是平行四边形,
∴D1O∥BM.
∵D1O?平面D1AC,BM?平面D1AC,∴BM∥平面D1AC.
(2) 连接OB1,∵正方形ABCD的边长为2,BB1=,
∴B1D1=2,OB1=2,D1O=2,
则OB12+D1O2=B1D12,∴OB1⊥D1O.
∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AC⊥BD,AC⊥D1D,
∴AC⊥平面BDD1B1,又D1O?平面BDD1B1,
∴AC⊥D1O,又AC∩OB1=O,
∴D1O⊥平面AB1C.
(Ⅲ)在平面ABB1中过点B作BE⊥AB1于E,连接EC,
∵CB⊥AB,CB⊥BB1,
∴CB⊥平面ABB1,又AB1?平面ABB1,
∴CB⊥AB1,又BE⊥AB1,且CB∩BE=B,
∴AB1⊥平面EBC,而EC?平面EBC,
∴AB1⊥EC.
∴∠BEC是二面角B-AB1-C的平面角.
在Rt△BEC中,BE=,BC=2
∴tan∠BEC=,∠BEC=60°,
∴二面角B-AB1-C的大小为60°.
略
22. 甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方每年向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入.乙方
展开阅读全文
温馨提示:
金锄头文库所有资源均是用户自行上传分享,仅供网友学习交流,未经上传用户书面授权,请勿作他用。
相关搜索