2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市经建第一中学高三数学文测试题含解析

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市经建第一中学高三数学文测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数在区间上的最大值是（    ） A． B． C．      D． 参考答案： C 2. 已知集合，则 A．       B．(－2,2)        C．      D．(－2,3) 参考答案： A 3. 若，则向量与的夹角为(     ) A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模． 【专题】平面向量及应用． 【分析】将已知式子平方可得=0，代入向量的夹角公式可得其余弦值，结合夹角的范围可得答案． 【解答】解：∵， ∴，两边平方 可得=， 化简可得=0， 设向量与的夹角为θ 则可得cosθ== ==，又θ∈[0，π]，故θ= 故选B． 【点评】本题考查数量积与向量的夹角，涉及向量的模长公式，属中档题． 4. 函数(,,)在R上的部分图像如图所示,,则的值为(   ) A． B．－5 C． D．5 参考答案： D 5. 已知过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是（　　） A．（1，） B．（1，） C．（，） D．（，） 参考答案： B 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜tan45°=1，求得a和b的不等式关系，进而根据b=转化成a和c的不等式关系，求得离心率的一个范围，最后根据双曲线的离心率大于1，综合可得求得e的范围． 【解答】解：要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率， 即＜tan45°=1，即b＜a， ∴＜a， 整理得c＜a， ∴e=＜ ∵双曲线中e＞1 ∴e的范围是（1，）． 故选：B． 6. （5分）圆心角为135°，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A，则A：B等于（） A． 11：8 B． 3：8 C． 8：3 D． 13：8 参考答案： A 考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 设扇形半径为1，l为扇形弧长，也为圆锥底面周长，由扇形面积公式求得侧面积，再利用展开图的弧长为底面的周长，求得底面半径，进而求底面面积，从而求得表面积，最后两个结果取比即可． 解答： 解：设扇形半径为1，则扇形弧长为1×=， 设围成圆锥的底面半径为r，则2πr=， ∴r=， 扇形的面积B=×1×=， 圆锥的表面积A=B+πr2=+=， ∴A：B=11：8 故选：A． 点评： 本题主要考查圆锥的侧面积和表面积的求法，同时，还考查了平面与空间图形的转化能力，属基础题． 7. 已知双曲线的两个焦点为、，其中一条渐近线方程为，为双曲线上一点，且满足（其中为坐标原点），若、、成等比数列，则双曲线的方程为 A.          B.        C.          D. 参考答案： A 8. 已知函数，当时，，则实数的取值范围为 A.      B.     C.     D. 参考答案： D   当时，，；当时，，；当时，，不论取何值都有成立.考察二次函数，可得所以.选D. 9. 如图，在中，A、B分别是OM、ON的中点，若（，），且点P落在四边形内（含边界），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 参考答案： C 由题意，当在线段上时，，当点在线段上时，，∴当在四边形内（含边界）时，（＊），又，作出不等式组（＊）表示的可行域，如图， 表示可行域内点与连线的斜率，由图形知，，即，∴，， 故选C.   10. 将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点M ′，若M ′位于函数的图象上，则（    ） A．，t的最小值为   B．，t的最小值为   C．，t的最小值为   D．，t的最小值为 参考答案： A 将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点，故有 点 ，即 若 位于函数 的图象上，则 ， 的最小值为 故选：A．   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数f（x）=ex?sinx在点（0，f（0））处的切线方程是　  　． 参考答案： y=x 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】先求出f′（x），欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决． 【解答】解：∵f（x）=ex?sinx，f′（x）=ex（sinx+cosx）， f′（0）=1，f（0）=0， ∴函数f（x）的图象在点A（0，0）处的切线方程为 y﹣0=1×（x﹣0）， 即y=x． 故答案为：y=x． 12. 已知且，则　　　　　　　　　. 参考答案： 由得，所以。因为，所以，所以当时，。 13. 已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为          . 参考答案： 将该三棱锥放入正方体内，若球与三棱锥各棱均相切等价于球与正方体各面均相切，所以,则球的表面积为. 14. 若正实数满足，则的最大值是        ． 参考答案： 15. 椭圆的焦点为、，点P在椭圆上，若，则的大小为______________． 参考答案： 略 16. 已知为抛物线上的两点，点的横坐标分别为，过分别作抛物线的切线，两切线交于点，则点的纵坐标为            。 参考答案： 17. 已知圆M：，在圆M上随机取两点A、B，使 的概率为       . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图1,在直角梯形中,,,, 点 为中点．将沿折起, 使平面平面,得到几何体,如图2所示．   （1）在上找一点,使平面;   （2）求点到平面的距离． 参考答案： （1）的中点;（2）． 试题分析： （1）取的中点，连接．利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明;（2）利用等体积转化，，为等腰直角三角形，,面,可证,得到,为直角三角形，这样借助等体积转化求出点C到平面的距离． 试题解析：（1） 取的中点,连结,  ----2分 在中, ,分别为,的中点   为的中位线   平面 平面                       平面                          6分 （2）  设点到平面ABD的距离为 平面平面且 平面  而 平面， 即 三棱锥的高,  即    ------12分 19. （本小题满分16分） 已知椭圆E：的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，且圆C： 过A，F2两点． （1）求椭圆E的方程； （2）设直线PF2的倾斜角为α，直线PF1的倾斜角为β，当β－α＝时，证明：点 P在一定圆上． 参考答案： 解：（1）圆与轴交点坐标为，， 故，所以，∴椭圆方程是：． （2）设点P（x，y），因为（－，0），（，0）， 设点P（x，y），则＝tanβ＝,＝tanα＝， 因为β－α＝，所以tan(β－α)＝－． 因为tan(β－α)＝＝， 所以＝－．化简得x2＋y2－2y＝3． 所以点P在定圆x2＋y2-2y＝3上． 20. （12分）（2014春?忻州期中）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，满足a2+c2﹣b2=ac． （1）求角B的大小； （2）设，，求的最小值． 参考答案： 考点： 余弦定理；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；三角函数中的恒等变换应用． 专题： 计算题． 分析： （1）利用余弦定理表示出cosB，把已知的等式代入得出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数； （2）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则表示出，并利用二倍角的余弦函数公式化简，配方后得到关于sinA的二次函数，由A的范围，得到sinA的范围，根据二次函数的图象与性质求出此时二次函数的最小值，即为的最小值． 解答： 解：（1）在△ABC中，a2+c2﹣b2=ac， ∴由余弦定理得，…（3分） 又B∈（0，π）， ∴；…（6分） （2）∵，， ∴，…（8分） 又∵，∴0＜sinA≤1，…（10分） 当sinA=1时，取最小值﹣5．…（12分） 点评： 此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，二倍角的余弦函数公式，正弦函数的图象与性质，以及二次函数的图象与性质，熟练定理及公式是解本题的关键． 21. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，2Sn=（n+1）an，数列{bn}中，bn=2． （Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列{}的前n项和Tn． 参考答案： 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（Ⅰ）由题意可知：两式相减2an=（n+1）an﹣nan﹣1，则=，采用“累乘法”即可求得数列{an}，bn=2=2n+1； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知： =﹣，即可求得Tn． 【解答】解：（Ⅰ）当n≥2时，由2Sn=（n+1）an，则2Sn﹣1=nan﹣1， 两式相减得：2an=（n+1）an﹣nan﹣1，整理得： =， 由an=??…?=??…??1=n，（n≥2）， 当n=1时，a1=1， ∴an=n，（n∈N*）； 由bn=2=2n+1． ∴{bn}的通项公式bn=2n+1； （Ⅱ）由（Ⅰ），=， ==﹣， 由数列{}的前n项和Tn，Tn=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）， =1﹣+﹣+…+﹣， =1﹣， =． 数列{}的前n项和Tn=． 【点评】本题考查数列的前n项和求法，考查“裂项法”，“累乘法”，考查计算能力，属于中档题． 22. 已知函数. （1）当时，求函数的极值； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）若对任意的，，恒有成立， 求实数的取值范围. 参考答案： 当时，函数的定义域为， 且得  …………………………………………………1分 函数在区间上是减函数，在区间上是增函数 函数有极小值是，无极大值. …………………2分 得，…………3分 当时，有，函数在定义域内单调递减；  ………………4分 当时，在区间，上，单调递减；在区间 上，单调递增；    ………………………………………5分 当时，在区间上，单调递减；在区间 上，单调递增；   ………………………………………6分 由知当时，在区间上单调递减，所以   ……………………………………………8分 问题等价于： 对任意，恒有成立， 即，因为，所以，因为， 所以只需          …………………………………………………10分 从而 故的取值范围是 …………………………………………12分