2022-2023学年湖北省黄冈市理工中专高中部高三数学文联考试题含解析

2022-2023学年湖北省黄冈市理工中专高中部高三数学文联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. .已知数列{an}满足：+=(n+1)cos(n≥2,n∈N*), Sn是数列{an}的前n项和，若 +m=1010,·m>0,则的最小值为（　　） A.2       B.     C.2      D.2+ 参考答案： A 2. 是虚数单位，复数＝(    ) A． B． C． D． 参考答案： B 3. 运行如图所示框图的相应程序，若输入a，b的值分别为和，则输出M的值是（   ） A. 0                B. 1                 C. 2              D. -1 参考答案： C 4. 执行如图的程序框图，如果输入，则输出的   （    ）        A．                   B．                   C．                  D． 参考答案： C 略 5. 对于函数，若，为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，则实数的取值范围是 A．    B．    C．    D． 参考答案： D 略 6. 关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集 为 （     ）  A.      B.     C.       D. 参考答案： B 略 7. 已知函数满足，则的最小值为     （    ）        A．                      B．2                         C．                 D．  参考答案： C 8. 如图，在圆心角为直角的扇形OAB区域中，M、N分别为OA、OB的中点，在M、N两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以OA、OB为直径的圆，在扇形OAB内随机取一点，则能够同时收到两个基站信号的概率是(     ) A． B． C． D． 参考答案： B 9. 设向量，，定义一种运算“”。向量.已知，，点的图象上运动，点Q在的图象上运动且满足（其中O为坐标原点），则的最小值为（   ） A.                B.              C.2              D. 参考答案： B. 试题分析：由题意知，点P的坐标为，则， 又因为点Q在的图象上运动，所以点Q的坐标满足的解析式，即. 所以函数的最小值为-2.故应选B. 考点：平面向量的坐标运算. 10. 已知双曲线的焦距为8，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A. B. 或 C. D. 或 参考答案： B 【分析】 对双曲线的焦点位置进行讨论，利用焦距为8，得到关于的方程，在双曲线方程中右边的1为0，即可得答案. 【详解】（1）双曲线的焦点在轴上时， ∴∴， ∴双曲线方程为，其渐近线方程为：； （2）双曲线的焦点在轴上时， ∴∴， ∴双曲线方程为，其渐近线方程为：； 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线方程、焦距的概念、渐近线的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查运算求解能力，求解时注意对焦点的位置的讨论. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. “无字证明”(proofs without words)，就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：                                          ． 参考答案： 12. 将一颗股子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次构成等比数列的概率与构成等差数列的概率之比为_______.    参考答案： 略 13. 已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2ACAB，若四面体P﹣ABC的体积为，则该球的体积为_____． 参考答案： 【分析】 根据四面体是球的内接四面体，结合位置关系，可得棱锥的形状，以及棱长之间的关系，利用体积公式即可代值计算. 【详解】设该球的半径为R，则AB＝2R，2ACAB2R， ∴ACR， 由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC， 在Rt△ABC中，由勾股定理，得：BC2＝AB2﹣AC2＝R2， 所以Rt△ABC面积SBC×ACR2， 又PO⊥平面ABC，且PO＝R，四面体P﹣ABC的体积为， ∴VP﹣ABCRR2，即R3＝9，R3＝3， 所以：球的体积V πR3π×34π． 故答案为：. 【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，属基础题；本题的重点是要根据球心的位置去推导四面体的几何形态，从而解决问题. 14. 一个正三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的全面积为   参考答案： 15. 中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆，其一个焦点与短轴两端点的加线互相垂直，且此焦点与椭圆上的点之间的距离最小值为，则椭圆的标准方程为           。 参考答案： 16. 已知抛物线与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且轴，则双曲线的离心率为             。 参考答案： 17. 已知实数满足且目标函数 的最大值是，则的最大值为___________. 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分） 如图，在直三棱柱中，平面侧面 （Ⅰ）求证： （Ⅱ）若直线AC与平面A1BC所成的角为θ,二面角A1-BC-A的大小为φ的大小关系，并予以证明. 参考答案： 【标准答案】（1）证明：如图，过点在平面内作于，则 由平面侧面，且平面侧面，得平面。又平面， 所以。 因为三棱柱是直三棱柱， 则底面。 所以，又，从而侧面。 又侧面，故. （2）解法1：连接，则由（1）知是直线与平面所成的角， 是二面角的平面角，即。 于是在中，在中，， 由，得，又所以。     解法2：由（1）知，以点为坐标原点，以、、所在的直线分轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则， 于是，。 设平面的一个法向量为，则 由得 可取，于是与的夹角为锐角，则与互为余角。 所以，， 所以。 于是由，得， 即，又所以。 【试题解析】第（1）问证明线线垂直，一般先证线面垂直，再由线面垂直得线线垂直；第（2）问若用传统方法一般来说要先作垂直，进而得直角三角形。若用向量方法，关键在求法向量。 【高考考点】本题主要考查直棱柱、直线与平面所成的角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力。 【易错提醒】要牢记面面角，线面角的范围，特别是用向量法求二面角的时候要注意所要求的角与向量夹角的关系。 【备考提示】立体几何中的垂直、平行，角与距离是高中数学的重要内容，应该熟练掌握。 19. （本小题共13分）     如图，在三棱锥中，底面， 点，分别在棱上，且 （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小； （Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.   参考答案： 本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力． （Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC. 又，∴AC⊥BC. ∴BC⊥平面PAC. （Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC， ∴， 又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，    ∴DE⊥平面PAC，垂足为点E. ∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角， ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB， ∴△ABP为等腰直角三角形，∴， ∴在Rt△ABC中，，∴. ∴在Rt△ADE中，， ∴与平面所成的角的大小. （Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC， 又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE， ∴∠AEP为二面角的平面角， ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴. ∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时， 故存在点E使得二面角是直二面角. 【解法2】如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系，         设，由已知可得        .  （Ⅰ）∵，    ∴，∴BC⊥AP. 又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC. （Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点， ∴， ∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足为点E. ∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角， ∵， ∴. ∴与平面所成的角的大小.     20. （本小题满分12分）     已知等差数列满足：，且，，成等比数列.    （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）记为数列的前项和，是否存在正整数n，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由. 参考答案： （Ⅰ）设数列的公差为，依题意，，，成等比数列，故有， 化简得，解得或.  当时，； 当时，， 从而得数列的通项公式为或.  （Ⅱ）当时，. 显然， 此时不存在正整数n，使得成立. 当时，.         令，即，            解得或（舍去）， 此时存在正整数n，使得成立，n的最小值为41.  综上，当时，不存在满足题意的n； 当时，存在满足题意的n，其最小值为41. 21. 在无穷数列中，，对于任意，都有，. 设， 记使得成立的的最大值为. （Ⅰ）设数列为1，3，5，7，，写出，，的值； （Ⅱ）若为等差数列，求出所有可能的数列； （Ⅲ）设，，求的值.（用表示） 参考答案： （Ⅰ）解：，，.                                 ……………… 3分 （Ⅱ）解：由题意，得， 结合条件，得.                                 ……………… 4分       又因为使得成立的的最大值为，使得成立的的最大值为， 所以，.                               ……………… 5分 设，则. 假设，即， 则当时，；当时，. 所以，. 因为为等差数列， 所以公差， 所以，其中. 这与矛盾， 所以.                                               ……………… 6分 又因为， 所以， 由为等差数列，得，其中.                    ……………… 7分 因为使得成立的的最大值为， 所以， 由，得.                                        ……………… 8分 （Ⅲ）解：设， 因为， 所以，且， 所以数列中等于1的项有个，即个；           ……………… 9分 设， 则， 且， 所以数列中等于2的项有个，即个；           ……………… 10分 …… 以此类推，数列中等于的项有个.            ……………… 11分 所以                                 .       即.                            ……………… 13分   略 22. 已知a为实数，f（x）=﹣x3+3ax2+（2a+7）x． （1）若f'（﹣1）=0，求f（