广东省江门市东甲中学高三数学理月考试题含解析

广东省江门市东甲中学高三数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C： =1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】双曲线的标准方程． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】确定抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，进而可得b=2a，再利用抛物线的定义，结合P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，可得FF1=3，从而可求双曲线的几何量，从而可得结论． 【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为ax﹣by=0， ∵抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C： =1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为， ∴ ∴a=2b， ∵P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3， ∴FF1=3 ∴c2+4=9 ∴ ∵c2=a2+b2，a=2b， ∴a=2，b=1 ∴双曲线的方程为﹣x2=1． 故选C． 【点评】本题考查抛物线、双曲线的几何性质，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 2. 由下列条件解，其中有两解的是（      ）   A.              B.   C.                  D.      参考答案： C 在C中，，且，所以有两解.选C. 3. 等差数列的前项和为，且=，=，则公差等于 A．           B．       C．               D． 参考答案： CA 4. 已知p：a＞3，q：x∈R，使x2＋ax＋1＜0是真命题，则p是q的(　　)． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[学优] 参考答案： A 5. 已知动点P(m,n)在不等式组表示的平面区域内部及其边界上运动，则的最小值是 A.4 B.3 C. D. 参考答案： D 做出不等式组对应的平面区域OAB.因为，所以的几何意义是区域内任意一点与点两点直线的斜率。所以由图象可知当直线经过点时，斜率最小，由，得，即,此时,所以的最小值是，选D. 6. 某班选派6人参加两项公益活动，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有 A．50种            B．70种                 C．35种                  D．55种 参考答案： A 略 7. 设集合，，满足且的集合的个数是（      ）                                    参考答案： C 略 8. 命题“存在实数，使 > 1”的否定是 （A）对任意实数, 都有>1      （B）不存在实数，使1 （C）对任意实数, 都有1      （D）存在实数，使1 【命题立意】本题考查存在命题的否定。 参考答案： C “存在”对“任意”，“”对“”。 9. 设不等式组表示的区域为，不等式表示的平面区域为．若与有且只有一个公共点，则等于 A．           B．          C．               D． 参考答案： C 10. 已知点P是圆上的动点，点Q是椭圆上的动点，则的最大值为（  ） A. B. C. D. 4 参考答案： A 【分析】 设出椭圆上任意一点的坐标，然后计算圆心到点距离的最大值，再加上半径，求得的最大值. 【详解】圆的圆心为，半径为，设椭圆上任意一点的坐标，则，，根据二次函数性质可知，当时，.故的最大值为，故选A. 【点睛】本小题主要考查圆和椭圆的位置关系，考查两个曲线上点的距离的最大值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，，则_____________． 参考答案： 【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识. 【知识内容】函数与分析/三角比/二倍角及半角的正弦、余弦、正切. 【试题分析】由得，，所以，因为，所以，，又，故答案为. 12. 已知圆E：x2+y2﹣2x=0，若A为直线l：x+y+m=0上的点，过点A可作两条直线与圆E分别切于点B，C，且△ABC为正三角形，则实数m的取值范围是　　． 参考答案： [﹣2，2] 【考点】JE：直线和圆的方程的应用． 【分析】由△ABC为正三角形，可得直线上的点与圆心的连线与切线的夹角为30°，求出直线与圆心连线的距离的最大值，转化求解即可． 【解答】解：圆E：x2+y2﹣2x=0，圆心（1，0），半径为1，若A为直线l：x+y+m=0上的点，过点A可作两条直线与圆E分别切于点B，C，且△ABC为正三角形，可得圆心到直线的距离的最大值为：2，此时直线上的点与圆心的连线与切线的夹角为30°，否则不满足题意． 可得：， 解得m∈[﹣2，2]． 故答案为：[﹣2，2]． 13. 如图，已知，，M为BC的中点，D为以AC为直径的圆上一动点，则的最小值是     ． 参考答案： 14. 已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为_____． 参考答案： 试题分析：由题意知，正三棱柱的主视图为长为2，宽为的矩形，故其面积为. 15. 已知△ABC外接圆的半径为，圆心为，且，，则          . 参考答案： 12 【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理. 【知识内容】平面向量/平面向量的坐标表示/平面向量的数量积. 【试题分析】如图，取BC中点D，联结AD,则,又因为,所以O为BC的中点，因为，所以是等边三角形，，因为ABC外接圆的半径为2，所以,所以,故答案为12. 16. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价x（元） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y（件） 90 84 83 80 75 68 由表中数据，求得线性回归方程为=﹣20x+．若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为　　． 参考答案： 【考点】线性回归方程． 【专题】应用题；压轴题；概率与统计． 【分析】根据已知中数据点坐标，我们易求出这些数据的数据中心点坐标，进而求出回归直线方程，判断各个数据点与回归直线的位置关系后，求出所有基本事件的个数及满足条件两点恰好在回归直线下方的基本事件个数，代入古典概率公式，即可得到答案． 【解答】解： ==8.5， ==80 ∵b=﹣20，a=﹣b， ∴a=80+20×8.5=250 ∴回归直线方程=﹣20x+250； 数据（8，90），（8.2，84），（8.4，83），（8.6，80），（8.8，75），（9，68）． 当x=8时，∵90=﹣20×8+250，∴点（2，20）在回归直线下方； … 如图，6个点中有2个点在直线的下侧． 则其这些样本点中任取1点，共有6种不同的取法， 其中这两点恰好在回归直线两侧的共有2种不同的取法， 故这点恰好在回归直线下方的概率P==． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识是等可能性事件的概率及线性回归方程，求出回归直线方程，判断各数据点与回归直线的位置关系，并求出基本事件的总数和满足某个事件的基本事件个数是解答本题的关键． 17. 若△ABC的内角，满足成等差数列，则cos C的最小值是______． 参考答案：           三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分13分）已知函数，其中. （Ⅰ）若，求的值，并求此时曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数在区间上的最小值. 参考答案： （Ⅰ）已知函数， 所以，， 又，所以. 又， 所以曲线在点处的切线方程为. ………….…..…5分 （Ⅱ）， 令，则. （1）当时，在上恒成立，所以函数在区间上单调递增，所以； （2）当时，在区间上，，在区间上，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且是 上唯一极值点，所以； （3）当时，在区间上，（仅有当时），所以 在区间上单调递减 所以函数. 综上所述，当时，函数的最小值为， 时，函数的最小值为             ………………13分 19. （12分）已知函数f（x）=x2﹣ex3+ex（x﹣1）（其中e为自然对数的底数），记f（x）的导函数为f′（x）． （1）求函数y=f（x）的单调区间； （2）求证：当x＞0时，不等式f′（x）≥1+lnx恒成立． 参考答案： 考点： 利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用． 专题： 导数的综合应用． 分析： （1）利用导数判断函数的单调性，求出单调区间； （2）当x＞0时，令h（x）=1+lnx+ex2﹣x﹣exx，求出导数h′（x），当x=1时，h′（x）=0，由（1）得，ex﹣ex≥0，讨论当x＞1时，当0＜x＜1时，导数的符号，从而得到h（x）的最大值，即可得证． 解答： （1）解：）∵f（x）=x2﹣ex3+ex（x﹣1）， ∴f′（x）=﹣ex2+x+ex（x﹣1）+ex=x（ex+1﹣ex）， 令y=ex+1﹣ex，则y′=ex﹣e，y′＞0，得x＞1，y′＜0，得x＜1，则x=1取极小，也是最小， 则y≥1．即ex+1﹣ex＞0恒成立， 则g′（x）＞0得x＞0；g′（x）＜0得x＜0． 故g（x）的增区间为（0，+∞），减区间为（﹣∞，0）． （2）证明：当x＞0时，1+lnx﹣f′（x）=1+lnx+ex2﹣x﹣exx， 令h（x）=1+lnx+ex2﹣x﹣exx， h′（x）=+2ex﹣1﹣exx﹣ex， 当x=1时，h′（x）=0，由（1）得，ex﹣ex≥0， 当x＞1时，h′（x）＜0，当0＜x＜1时，h′（x）＞0， 故x=1为极大值，也为最大值，且为h（1）=0． 故当x＞0时，h（x）≤h（1），即有h（x）≤0， 故当x＞0时，1+lnx﹣f′（x）≤0，即f′（x）≥1+lnx． 点评： 本题考查导数的应用：求单调区间、求极值，求最值，考查构造函数证明不等式恒成立问题，转化为求函数的最值问题，应用导数求解，本题属于中档题． 20. 已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1的离心率互为倒数，且直线x﹣y﹣2=0经过椭圆的右顶点． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）设不过原点O的直线与椭圆C交于M、N两点，且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【专题】计算题；分类讨论；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）通过双曲线的离心率，求出椭圆的离心率，求出椭圆的右顶点，求出a，c，b，求出椭圆方程． （Ⅱ）由题意可设直线的方程为：y=kx+m?（k≠0，m≠0），M（x1，y1）、N（x2，y2）联立消去y，利用韦达定理，结合直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列．求出k，设原点O到直线的距离为d，表示出三角形的面积，然后由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为（0，1