广东省汕头市潮阳和睦中学高三数学理期末试题含解析

广东省汕头市潮阳和睦中学高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（　　） A．16 B．20 C．52 D．60 参考答案： B 【考点】L!：由三视图求面积、体积． 【分析】由三视图得到几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，根据图中数据，计算体积即可． 【解答】解：由题意，几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如图 体积为=20； 故选B． 【点评】本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积；关键是正确还原几何体，利用三视图的数据求体积． 2. 已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若双曲线右支上存在一点P，使得F2关于直线PF1的对称点恰在y轴上，则该双曲线的离心率e的取值范围为（　　） A．1＜e＜ B．e＞ C．e＞ D．1＜e＜ 参考答案： B 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】运用对称性，可得MF1=F1F2=2c，设直线PF1：y=（x+c），代入双曲线方程，得到x的二次方程，方程有两个异号实数根，则有3b2﹣a2＞0，再由a，b，c的关系，及离心率公式，即可得到范围． 【解答】解：设点F2（c，0）， 由于F2关于直线PF1的对称点恰在y轴上，不妨设M在正半轴上， 由对称性可得，MF1=F1F2=2c， 则MO==c，∠MF1F2=60°，∠PF1F2=30°， 设直线PF1：y=（x+c）， 代入双曲线方程，可得，（3b2﹣a2）x2﹣2ca2x﹣a2c2﹣3a2b2=0， 则方程有两个异号实数根， 则有3b2﹣a2＞0，即有3b2=3c2﹣3a2＞a2，即c＞a， 则有e=＞． 故选：B． 3. 已知，则（  ） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 由，可得的值，由可得答案. 【详解】解：由=，可得， 由，可得， 故选D. 【点睛】本题主要考查二倍角公式，相对简单. 4. 已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（　　） A．（﹣7，﹣4） B．（7，4） C．（﹣1，4） D．（1，4） 参考答案： A 考点：平面向量的坐标运算． 专题：平面向量及应用． 分析：顺序求出有向线段，然后由=求之． 解答：解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（﹣4，﹣3）， 则向量==（﹣7，﹣4）； 故答案为：A． 点评：本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒 5. 设集合,已知,那么k的取值范围是（    ） A．(－∞,0)         B．(0,+∞)       C．(－∞,0]       D．(1,+∞) 参考答案： C ∵集合 ∴集合 ∵集合，且 ∴ 故选C.   6. 已知，则的值为 A．      B．           C．           D． 参考答案： B 略 7. 若集合 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 参考答案： A 略 8. 已知锐角A，B满足,则的最大值为 A.                B.                C.              D. 参考答案： D 9. 已知，是两个不同的平面，直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件         B．必要不充分条件 C．充分必要条件           D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 由线面垂直的判定定理可知，时，能推出，而不能推出，故“”是“”的充分不必要条件，故选A.   10. 函数的单调递增区间为   （▲  　     ）        A．                                              B．             C．                                 D． 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知集合，，则         . 参考答案： {（-2,3），（1,0）} 12. 已知实数x，y满足不等式组则y的最小值为  ▲   ；当的最大值为时，实数a的值为  ▲   ． 参考答案： 1；－2 13. .已知双曲线的渐近线被圆截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为__________． 参考答案： 圆的标准方程为，圆心为，半径为，一条渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，因为弦长为2，所以，所以． 14. 若,且，则实数m的值为            . 参考答案： 1或-3 略 15. 在中，设角的对边分别是， 且，，则         ． 参考答案： 4 由正弦定理，所以， 代入得． 16. 幂函数经过点，则此幂函数的解析式为      . 参考答案： 设幂函数为，代入点，所以所以，，填。   17.               . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设函数f（x）=?，其中向量=（2cosx，1），=（cosx， sin2x），x∈R． （1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间； （2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知f（A）=2，b=1，△ABC的面积为，求的值． 参考答案： 【考点】HS：余弦定理的应用；GL：三角函数中的恒等变换应用；H1：三角函数的周期性及其求法；H5：正弦函数的单调性；HQ：正弦定理的应用． 【分析】（1）利用向量的数量积通过二倍角公式，两角和的正弦函数化简函数的表达式，然后求f（x）的最小正周期，借助正弦函数的单调减区间求出函数的单调递减区间； （2）通过f（A）=2，利用三角形的内角，求出A的值，利用△ABC的面积为． 【解答】解：（1）． ∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分） 令．∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分） （2）由，，∵0＜A＜π， ∴．∴．﹣（6分）， ∴在△ABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=3，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8 由，∴．﹣﹣（10分） 【点评】本题是中档题，通过向量数量积考查三角函数的化简求值，三角函数的单调性，正弦定理的应用三角形的面积公式的应用，考查计算能力，常考题型． 19. （本小题满分13分） 已知椭圆椭圆：.定义圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为. （Ⅰ）求椭圆的方程和其“准圆”方程； （Ⅱ）点是椭圆的“准圆”上的一个动点，过动点作直线使得与椭圆都只有一个交点，且分别交其“准圆”于另一点.求证：为定值. 参考答案： 解：（Ⅰ）。椭圆方程为， 准圆方程为.    （Ⅱ）（1）因为准圆与轴正半轴的交点为， 设过点且与椭圆有一个公共点的直线为， 所以由消去，得. 因为椭圆与只有一个公共点， 所以，解得.    所以方程为.              ⑵①当中有一条无斜率时，不妨设无斜率， 因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为， 当方程为时，此时与准圆交于点， 此时经过点（或）且与椭圆只有一个公共点的直线是（或）， 即为（或），显然直线垂直； 同理可证方程为时，直线垂直.       ②当都有斜率时，设点，其中. 设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为， 则消去，得. 由化简整理得：. 因为，所以有. 设的斜率分别为，因为与椭圆只有一个公共点， 所以满足上述方程， 所以，即垂直.                    综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点，且垂直， 所以线段为准圆的直径，所以=4.   20. （本题满分12分）如图，在直三棱柱中，，，是的中点． （Ⅰ）求证：∥平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）试问线段上是否存在点，使与成角？若存在，确定点位置，若不存在，说明理由． 参考答案： （Ⅰ）证明：连结，交于点，连结.由 是直三棱柱， 得 四边形为矩形，为的中点. 又为中点，所以为中位线， 所以 ∥， …………………………2分 因为 平面，平面， 所以 ∥平面.    ………………4分 （Ⅱ）解：由是直三棱柱，且，故两两垂直.如图建立空间直角坐标系. 设，则. 所以 ， 设平面的法向量为，则有 所以  取，得. 易知平面的法向量为. 由二面角是锐角，得 .      所以二面角的余弦值为.………………8分 （Ⅲ）解：假设存在满足条件的点. 因为在线段上，，，故可设，其中. 所以 ，.                     因为与成角，所以.         即，解得，舍去.         所以当点为线段中点时，与成角。  ………………12分 21. （本小题满分12分）已知数列中，,数列满足。 （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列中的最大项和最小项，并说明理由。 参考答案： （Ⅰ）提示：． （Ⅱ）最大项是，最小项是．理由略．                                             略 22. 如图，四棱锥的底面为一直角梯形，其中，底面，是的中点． (Ⅰ)求证：//平面； (Ⅱ)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 参考答案： 设，建立空间坐标系，使得 ，, ，.…………2分 (Ⅰ)，， 所以， 平面，平面.                   ………5分 (Ⅱ)平面，，即 ，，即. 平面和平面中，， 所以平面的一个法向量为；平面的一个法向量为； ，所以平面与平面夹角的余弦值为．   ……12分 略