山西省晋中市古陶第一中学高二数学理联考试卷含解析

山西省晋中市古陶第一中学高二数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4个人去的景点不相同”，事件B= “小赵独自去一个景点”，则（  ） A. B. C. D. 参考答案： A 分析：由条件概率公式计算即可. 详解：，，， 则. 故选：A. 2. 将正整数排成下表： 则在表中数字2017出现在（    ） A．第44行第80列            B．第45行第80列       C．第44行第81列            D．第45行第81列 参考答案： D 观察可得每一行的最后一个数分别为1,4,9,16…,由此归纳出第n行的最后一个数为,又,所以2017出现在第45行,又2017-1936=81,故2017出现在第81列,应选D.   3. 下列函数中，最小值为2的函数是（    ） A．            B．      C．         D． 参考答案： C 4. 不等式的解集为全体实数，则实数a的取值范围是（    ）                     A． B．           C． D． 参考答案： B 5. 为了旅游业的发展，某旅行社组织了14人参加“旅游常识”知识竞赛，每人回答3个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见下表： 答对题目个数 0 1 2 3 人数 3 2 5 4 根据上表信息，若从14人中任选3人，则3人答对题目个数之和为6的概率是（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【分析】从14人中任选3人，求出基本事件总数n=，记“3人答对题目个数之和为6”为事件A，求出事件A包含的基本事件个数，由此利用列举法能求出从14人中任选3人，则3人答对题目个数之和为6的概率． 【解答】解：∵从14人中任选3人，基本事件总数n=， 记“3人答对题目个数之和为6”为事件A， 则事件A包含的基本事件个数： m=， ∴从14人中任选3人，则3人答对题目个数之和为6的概率是： P（A）==． 故选：D． 【点评】本小题主要概率等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等，是基础题． 6. 已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8}，M ={1，3，5，7}，N ={5，6，7}， 则( M N )=                                  （   ） A．{5，7}       B ．{2，4}      C．{2.4.8}     　D．{1，3，5，6，7} 参考答案： C 7. 为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到的实验数据如下表，并由此计算得回归直线方程为：，后来因工作人员不慎将下表中的实验数据c丢失．则上表中丢失的实验数据c的值为（　　） 天数x （天） 3 4 5 6 7 繁殖个数y （千个） c   3 4 4.5 6 A．2 B．2.5 C．3 D．不确定 参考答案： B 【考点】BK：线性回归方程． 【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于c的方程，解方程即可． 【解答】解：∵=（3+4+5+6+7）=5， =（c+3+4+4.5+6）=， ∴这组数据的样本中心点是（5，） 把样本中心点代入回归直线方程=0.85x﹣0.25， ∴=0.85×5﹣0.25， ∴c=2.5 故选：B． 8. 执行如图21－2所示的程序框图，如果输入p＝5，则输出的S＝(　　) 图21－2 A．  B． C．  D． 参考答案： C 9. 一元二次不等式的解集是，则的值是（     ）。 A.       B.       C.        D. 参考答案： D 略 10. a、b∈R，下列命题正确的是(　　) A．若a＞b，则a2＞b2               B．若|a|＞b，则a2＞b2 C．若a＞|b|，则a2＞b2 D．若a≠|b|，则a2≠b2 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图，由编号，，…，，…（且）的圆柱自下而上组成．其中每一个圆柱的高与其底面圆的直径相等，且对于任意两个相邻圆柱，上面圆柱的高是下面圆柱的高的一半．若编号1的圆柱的高为，则所有圆柱的体积的和为_______________（结果保留）． 参考答案： 12. 一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的表面积       ． 参考答案： 24 【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】空间位置关系与距离． 【分析】根据三视图可判断几何体是一个一个正三棱柱，底面边长为4，高为2，再根据几何体求解面积． 【解答】解：三视图如图所示： 根据三视图可判断几何体是一个一个正三棱柱，底面边长为2，高为2， ∴表面积：3×4×2+2××（4）2=24+8； 故答案为：24+8； 【点评】本题考查了空间几何体的三视图，性质，面积公式，属于中档题． 13.    ▲   . 参考答案： 略 14. 某同学在证明命题“”时作了如下分析，请你补充完整.    要证明， 只需证明________________,只需证明_________________, 展开得，  即,   只需证明,________________,     所以原不等式:成立. 参考答案： , ，因为成立。 15. 已知直线y=x+b与圆x2+y2﹣2x+4y﹣4=0相交于A，B两点，O为坐标原点，若?=0，则实数b的值为　　． 参考答案： 1或﹣4 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】将直线方程代入圆的方程，利用韦达定理，及以AB为直径的圆过原点，可得关于b的方程，即可求解，注意方程判别式的验证． 【解答】解：由直线y=x+b与圆x2+y2﹣2x+4y﹣4=0，消去y，得2x2+（2+2b）x+b2+4b﹣4=0① 设直线l和圆C的交点为A （x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是①的两个根． ∴x1x2=，x1+x2=﹣b﹣1．             ② 由题意有：OA⊥OB，即x1x2+y1y2=0， ∴x1x2+（x1+b）（x2+b）=0，即2x1x2+b（x1+x2）+b2=0③ 将②代入③得：b2+3b﹣4=0．                  解得：b=1或b=﹣4， b=1时，方程为2x2+4x+1=0，判别式△=16﹣8＞0，满足题意 b=﹣4时，方程为2x2﹣6x﹣4=0，判别式△=36+32＞0，满足题意 所以满足条件的b为：b=1或b=﹣4． 故答案为1或﹣4． 16. 在的二项展开式中，常数项为________（结果用数值表示） 参考答案： 20 【分析】 利用二项展开式的通项公式Tr+1中x的幂指数为0即可求得答案． 【详解】 ，令＝0，得：r＝3， 所以常数项为：＝20, 故答案为20. 【点睛】本题考查二项式展开式中的特定项，利用其二项展开式的通项公式求得r＝3是关键，考查运算能力，属于中档题． 17. 点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC=，,若四面体ABCD体积的最大值为3，则这个球的表面积为___________. 参考答案： 16π  如图所示，O为球的球心，由AB＝BC＝，， 即所在的圆面的圆心为AC的中点，故， ，当D为OO1的延长线与球面的交点时， D到平面ABC的距离最大，四面体ABCD的体积最大．连接OA，设球的半径为R， 则，此时解得，故这个球的表面积为. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知向量满足. (1）求的值； (2）求的值. 参考答案： （1）由｜｜=2得 ， 所以. (2），所以. 19. （1）设a，b，c都是正数，求证：； （2）证明：求证. 参考答案： （1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】 （1）利用综合法，由基本不等式，即可作出证明，得到结论； （2）利用分析法，即可作差证明． 【详解】（1）由题意，因为 ， 所以，当且仅当时，等号成立. （2）证明：要证， 只需证明， 即证明， 也就是证明， 上式显然成立，故原不等式成立. 【点睛】本题主要考查了推理与证明的应用，其中解答中利用基本不等式和合理使用综合法与分析法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题． 20. 本题满分14分）已知二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列． （1）求； （2）求展开式中的一次项； （3）求展开式中所有项的二项式系数之和． 参考答案： 解：（1）前三项的系数为,                ……………………1分 由题设，得 ，                   ………………………2分 即，解得n＝8或n＝1（舍去）．           ………………………4分    （2）,           ………………………6分 令，得.                               ………………………8分     所以展开式中的一次项为.         ………………………10分    （3）∵， ∴所有项的二项式系数和为.                      ………………………14分 略 21. 已知椭圆M:的一个焦点为F(-1,0),左右顶点分别为A,B.经过点F的直线l与椭圆M交于C,D两点. （Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）若直线l的斜率为，求椭圆上到l的距离为的点的个数； （Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为和,求|-|的最大值. 参考答案： （Ⅰ）因为椭圆的焦点为F(-1,0),所以c=1， 又所以，                                      所以椭圆方程为                                 ……………………2分 （Ⅲ）当直线无斜率时，直线为x=-1，此时， △ABD与△ABC面积相等，|S1-S2|=0                           ……………………7分 当直线斜率存在时，显然， 设直线为（）联立椭圆方程得 显然△>0,且             ……………………8分 此时                                ……………………10分   因为，上式 时等号成立 综上的，|S1-S2|的最大值为                       ………………………………12分 22. 已知函数，x∈[3，5]． （1）利用定义证明函数f（x）单调递增； （2）求函数f（x）的最大值和最小值． 参考答案： 【考点】函数的最值及其几何意义；函数单调性的判断与证明． 【分析】（1）根据函数单调性的定义证明函数的单调性，注意取值、作差、变形和定符号和下结论； （2）运用函数的单调性，从而求出函数的最值． 【解答】解：（1）证明：令3≤x1＜x2≤5， 则f（x1）﹣f（x2）=1﹣﹣（1﹣） =﹣3（﹣）=﹣3?， ∵3≤x1＜x2≤5，∴x2﹣x1＞0，（x1+2）（x2+2）＞0， ∴f（x1）＜f（x2）， 故f（x）在[3，5]递增； （2）由f（x）在