2022年湖南省岳阳市平江第二中学高三数学理联考试题含解析

2022年湖南省岳阳市平江第二中学高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若｜a－b｜≤1，就称甲乙“心相近”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心相近”的概率为    A．           B．      C．          D． 参考答案： D 略 2. 下面是某几何体的视图，则该几何体的体积为（    ） A．         B．       C.         D． 参考答案： B 根据题中所给的几何体的三视图，可知其可以由正方体切割而成， 最后切割的结果为底面是完整的，其余两个顶点分别是正对内侧的两条竖直方向的棱中点和端点， 在求其体积时，过底面的对角线竖直方向切开，切为一个四棱锥和一个三棱锥， 最后求得体积，故选B.   3. 在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC、CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为（    ） A.          B.          C.         D. 参考答案： C 4. 已知集合 ，则（        ） A．                   B． C．         D． 参考答案： A 5. 复数z与复数i（2﹣i）互为共轭复数（其中i为虚数单位），则z=（　　） A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 参考答案： A 【考点】A2：复数的基本概念． 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简i（2﹣i），再由共轭复数的概念得答案． 【解答】解：∵i（2﹣i）=1+2i， 又复数z与复数i（2﹣i）互为共轭复数， ∴z=1﹣2i． 故选：A． 【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 6. 椭圆（m＞1）与双曲线（n＞0）有公共焦点F1，F2．P是两曲线的交点，则=（　　） A．4 B．2 C．1 D． 参考答案： C 【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质． 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由题设中的条件，设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2m，双曲线的实轴长为2n，由它们有相同的焦点，得到m2﹣n2=2，根据双曲线和椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2m，|PF1|﹣|PF2|=2n，△PF1F2 中，由三边的关系得出其为直角三角形，由△PF1F2的面积公式即可运算得到结果． 【解答】解：由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2m，双曲线的实轴长为2n， 由它们有相同的焦点，得到m2﹣1=n2+1，即m2﹣n2=2． 不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2n，① 由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2m，② ①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=2n2+2m2， ∴|PF1|?|PF2|=m2﹣n2=2， ∴cos∠F1PF2|==0， ∴△F1PF2的形状是直角三角形 △PF1F2的面积为?PF1?PF2=×2=1． 故选C． 【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，求出焦点三角形的边长来． 7. 若复数(是虚数单位)为纯虚数，则(    ). A.2         B.-2         C.1         D.-1 参考答案： B 略 8. 设全集，集合则集合=    A．                    B．       C．               D． 参考答案：   B 9. 某班全体学生测试成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)， [60,80)，[80,100]．若高于80分的人数是15，则该班的学生人数是（　　） A. 40 B. 45 C. 50 D. 60 参考答案： C 【分析】 根据给定的频率分布直方图，可得在之间的频率为0.3，再根据高于80分的人数是，即可求解学生的人数，得到答案． 【详解】由题意，根据给定的频率分布直方图，可得在[80,100]之间的频率为， 又由高于80分的人数是15，则该班的学生人数是人，故选C． 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 10. 执行如图所示的程序框图，则输出的i的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 参考答案： B 【考点】程序框图． 【分析】模拟执行程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的i值． 【解答】解：模拟执行程序的运行过程，如下； S=1，i=1，S＜30； S=2，i=2，S＜30； S=4，i=3，S＜30； S=8，i=4，S＜30； S=16，i=5，S＜30； S=32，i=6，S≥30； 终止循环，输出i=6． 故选：B 【点评】本题主要考查了程序框图的应用问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数y=f（x+1）的图象关于点（一1，0）对称，        且当x∈（一∞，0）时．f（x）+xf‘（x）<0成立（其中的导函数），        若,则a，b，c从大到小的次序为            . 参考答案： 12. 已知函数与，它们的图象有一个横坐标为的交点，则的值是             . 参考答案： 13. 已知某人投篮的命中率为，则此人投篮4次，至少命中3次的概率是      。 参考答案： 14. 已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是　_________　． 参考答案： 略 15. 已知是偶函数，当时，，且当时， 恒成立，则的最大值是              ． 参考答案：          略 16. 某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持和不支持两种态度）的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2＝7．069，则最高有        （填百分数）的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”． 附： P（K2≥k0） 0．100 0．050 0．025 0．010 0．001 k0 2．706 3．841 5．024 6．635 10．828   参考答案： ． 试题分析：，所以有的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”． 考点：独立性检验思想． 17. 已知函数f（x）=x3+ax+b的图象在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣5=0，则a=　　；b=　 　． 参考答案： ﹣1，﹣3． 求出原函数的导函数，由曲线在x=1处的切线的斜率求得a，再由曲线和直线在x=1处的函数值相等求得b． 解：由f（x）=x3+ax+b，得f′（x）=3x2+a， 由题意可知y′|x=1=3+a=2，即a=﹣1． 又当x=1时，y=﹣3， ∴13﹣1×1+b=﹣3，即b=﹣3． 故答案为﹣1，﹣3． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设函数f（x）=lnx+x2﹣（m+2）x，在x=a和x=b处有两个极值点，其中a＜b，m∈R． （Ⅰ）求实数m的取值范围； （Ⅱ）若≥e（e为自然对数的底数），求f（b）﹣f（a）的最大值． 参考答案： 解:(Ⅰ) ，……………………1分 则由题意则方程有两个正根， 故，……………………3分 解得.故实数的取值范围是.………………4分 (Ⅱ)，………………6分 又， =，………………8分 设，故，构造函数………10分 ，所以在上是减函数， ，的最大值为………………12分 略 19. 已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称． （1）求实数m的取值范围； （2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的关系． 【分析】（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出． （2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S△OAB=，再利用均值不等式即可得出． 【解答】解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0， 设线段AB的中点P（x0，y0），则．x0=﹣m×+n=， 由于点P在直线y=mx+上，∴ =+， ∴，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0， 解得m2，∴或m． （2）直线AB与x轴交点横坐标为n， ∴S△OAB==|n|?=， 由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）=， ∴S△AOB=，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵，解得m=， 当且仅当m=时，S△AOB取得最大值为． 【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 20. 设函数f（x）=x﹣|x+2|﹣|x﹣3|﹣m，若?x∈R，﹣4≥f（x）恒成立． （1）求m的取值范围； （2）求证：log（m+1）（m+2）＞log（m+2）（m+3） 参考答案： 【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法． 【分析】（1）由?x∈R，﹣4≥f（x）恒成立，可得m+≥x﹣|x+2|﹣|x﹣3|+4，求出右边的最大值，即可求m的取值范围； （2）利用对数的性质及基本不等式，即可证明结论． 【解答】（1）解：∵?x∈R，﹣4≥f（x）恒成立， ∴m+≥x﹣|x+2|﹣|x﹣3|+4， 令g（x）=x﹣|x+2|﹣|x﹣3|+4，则g（x）在（﹣∞，3）上是增函数， （3，+∞）上是减函数，g（x）max=g（3）=2， ∴m+≥2，∴m＞0； （2）证明：m＞0，可得m+3＞m+2＞m+1＞1， 则lg（m+3）＞lg（m+2）＞lg（m+1）＞lg1=0， ∵lg（m+1）lg（m+3）＜=＜lg2（m+2）， ∴， ∴log（m+1）（m+2）＞log（m+2）（m+3）． 【点评】本题考查恒成立问题，考查函数的最值，考查对数的性质、基本不等式的运用，属于中档题． 21. 在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，点E，F，M，S分别为棱PB，AD，AB，CD的中点，G为线段EM的中点，且PA=AB=2AD=4，N为SM上一点，且NG∥平面CEF． （1）确定N的位置，并求线段NG的长； （2）平面CEF与PA交于点K，求三棱锥B﹣CKN的体积． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算． 【分析】（1）设CF与SM交于点O，连结OE，则N为OM的中点．从而EM∥PA，进而EM⊥底面ABCD，由此能求出NG的长． （2）