2022-2023学年湖南省娄底市漆树中学高三数学理下学期期末试题含解析

2022-2023学年湖南省娄底市漆树中学高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知向量a＝（cosα，sinα），b＝（sinβ，－cosβ），则｜a＋b｜的最大值为      （   ） A．         B．2               C．2           D．4 参考答案： B 2. 右图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是（     ）     A．      B.       C.      D. 参考答案： C 3. 表示不超过的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知 ，，则函数的零点个数是(　　) A．2      B．3        C．4      D．5 参考答案： A 略 4. 已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x、y为实数，且y＝x}，则A∩B的元素个数为(　　) A．0              B．1              C．2              D．3 参考答案： C 5. 已知定义在上的函数满足，且，，若有穷数列（）的前项和等于，则等于      A．4      B．5       C．6      D． 7 参考答案： B 略 6. 设命题p：函数f（x）=x3在R上为增函数；命题q：函数f（x）=cosx为奇函数．则下列命题中真命题是（　　） A．p∧q B．p∧（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∨q 参考答案： B 【考点】复合命题的真假． 【专题】简易逻辑． 【分析】先判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可． 【解答】解：命题p：函数f（x）=x3在R上为增函数，是真命题， 命题q：函数f（x）=cosx为奇函数，是假命题， 故p∧（￢q）是真命题， 故选：B． 【点评】本题考查了复合命题的判断，考查考查函数的奇偶性和单调性，是一道基础题． 7. 在同一直角坐标系中，函数的图像不可能的是（   ） 参考答案： B 当时，D符合；当时，函数的对称轴为，对函数，求导得，令,.所以对称轴介于两个极值点，之间，所以B是错误的。所以选择B。 8. 已知，且，则tanα=（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系． 【分析】通过诱导公式求出sinα的值，进而求出cosα的值，最后求tanα． 【解答】解：∵cos（+α）=； ∴sinα=﹣； 又 ∴cosα=﹣=﹣ ∴tanα== 故答案选B 9. 若集合，，则 (   )    A．         B．         C．         D． 参考答案： A  【知识点】集合间的关系A1 解析：由集合的包含关系可知，故选A． 【思路点拨】由集合的包含关系直接做出判断即可. 10. 已知函数f（x）=的图象上存在不同的两点A、B，使得曲线y=f（x）在这两点处的切线重合，则实数a的取值范围是（　　） A．（，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣1，） 参考答案： A 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】先根据导数的几何意义写出函数f（x）在点A、B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件：斜率相等且纵截距相等，列出关系式，从而得出a=（t4+2t2+8t+1），t＞0，由单调性可得出a的取值范围． 【解答】解：当x＜0时，f（x）=x2+x+a的导数为f′（x）=2x+1； 当x＞0时，f（x）=的导数为f′（x）=﹣， 设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的两点，且x1＜x2， 当x1＜x2＜0，或0＜x1＜x2时，f′（x1）≠f′（x2），故x1＜0＜x2， 当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1））处的切线方程为： y﹣（x12+x1+a）=（2x1+1）（x﹣x1）； 当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为y﹣=﹣（x﹣x2）． 两直线重合的充要条件是﹣=2x1+1①，=a﹣x12②， 由x1＜0＜x2得0＜＜1， 由①②令t=，则t＞0，且a=（t4+2t2+8t+1）在（0，+∞）为增函数， ∴a＞， 故选：A． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. △ABC为等腰直角三角形，是△ABC内的一点，且满足，则的最小值为          ． 参考答案： 12. 在极坐标系中，已知圆与直线相切，则实数a的值为 ___________. 参考答案： 或 略 13. 一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为             ．  参考答案： 8＋＋ 略 14. （不等式选讲）关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围_______________. 参考答案： 略 15. 的展开式中，常数项等于           ． 参考答案： -160 16. 如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为     ． 参考答案： 考点：余弦定理． 专题：综合题． 分析：先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案． 解答： 解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3， 由余弦定理得cos∠ADC==﹣， ∴∠ADC=120°，∠ADB=60° 在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°， 由正弦定理得 ， ∴AB= 故答案为：． 点评：本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理．属基础题． 17. 在中，角A，B，C新对的边分别为a，b，c，若， ，则角B=____----____. 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线C1：经过伸缩变换后得到曲线C2.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为. （Ⅰ）求出曲线C2、C3的参数方程； （Ⅱ）若P、Q分别是曲线C2、C3上的动点，求的最大值. 参考答案： （Ⅰ）曲线：经过伸缩变换，可得曲线的方程为， ∴其参数方程为（为参数）； 曲线的极坐标方程为，即， ∴曲线的直角坐标方程为，即， ∴其参数方程为（为参数）. （Ⅱ）设，则到曲线的圆心的距离 ， ∵，∴当时，. ∴.   19. （本小题满分12分）已知定义域为R的函数f（x）=Asin（ωx+φ） （A＞0，ω＞0）的一段图象如图所示． （1）求f（x）的解析式； （2）若g（x）=cos3x，h（x）=f（x）?g（x），求函数h（x）的单调递增区间． 参考答案： （1）∵，∴，∴． ∵点（，2）在图象上，∴2sin（3×+）=2，即sin（φ+）=1，∴φ+=2kπ+（k∈Z），即=2kπ+． 故． （2） =sin（6x+）+． 由2kπ≤6x+≤2kπ（k∈Z）得 函数的单调递增区间为（k∈Z）． 20. 已知椭圆E： +=1的左右顶点分别为A、B，点P为椭圆上异于A，B的任意一点． （Ⅰ）求直线PA与PB的斜率乘积的值； （Ⅱ）设Q（t，0）（t≠），过点Q作与x轴不重合的任意直线交椭圆E于M，N两点，则是否存在实数t，使得以MN为直径的圆恒过点A？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】计算题；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）由题意知．设点P（x，y）（y≠0），从而可得，从而解得． （Ⅱ）假设存在实数t，使得以MN为直径的圆恒过点A；再设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为x=ay+t，（a∈R），联立化简可得（2a2+3）y2+4aty+2t2﹣6=0，从而利用韦达定理可得y1+y2=﹣，y1y2=；化简?=（x1+，y1）（x2+，y2）=a2y1y2+（+t）a（y1+y2）+（+t）2+y1y2，代入化简可得5t2+6t+3=0，从而解得． 【解答】解：（Ⅰ）．设点P（x，y）（y≠0）， 则有， 即， ∴=． （Ⅱ）假设存在实数t，使得以MN为直径的圆恒过点A； 设M（x1，y1），N（x2，y2）， ∵MN与x轴不重合， ∴设直线MN的方程为x=ay+t，（a∈R）， 由化简得， （2a2+3）y2+4aty+2t2﹣6=0， 由题意可知△＞0成立，且y1+y2=﹣，y1y2=； ?=（x1+，y1）（x2+，y2） =（ay1+t+，y1）（ay2+t+，y2） =（ay1+t+）（ay2+t+）+y1y2 =a2y1y2+（+t）a（y1+y2）+（+t）2+y1y2 将y1+y2=﹣，y1y2=代入上式可得， ?=a2﹣（+t）a+（+t）2+=0， 即=0， 即a2（2t2﹣6﹣4t﹣4t2+2t2+4t+6）+2t2﹣6+3（+t）2=0， 即5t2+6t+3=0， 解得，t=﹣（舍去）或t=﹣． 故t=﹣． 【点评】本题考查了椭圆与直线的位置关系的判断与应用，同时考查了平面向量的应用，同时考查了学生的化简运算的能力． 21. 已知. （1）解不等式； （2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围. 参考答案： 解：（1），当时，，解得， 当时，无解， 当时，解得， 所以的解集为或. （2）由已知恒成立，所以恒成立， 又，所以， 解得，所以时，不等式恒成立.   22. （本题满分13分）已知数列的通项，. (Ⅰ)求； （Ⅱ）判断数列的增减性,并说明理由； (Ⅲ) 设，求数列的最大项和最小项. 参考答案： （Ⅰ）,.     ……….2分 （Ⅱ） . 则当时，，则时，数列为递增数列，; 当时，，数列为递减数列，.      ……….7分 (Ⅲ)由上问可得，，. 令，即求数列的最大项和最小项. 则. 则数列在时递减，此时，即； 数列在 时递减，此时，即. 因此数列的最大项为，最小项为.   ……….….13分