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湖北省孝感市汉川城关中学高二数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数y=x3+x的递增区间是( )
A.(﹣∞,1) B.(﹣1,1) C.(﹣∞,+∞) D.(1,+∞)
参考答案:
C
【考点】函数的单调性及单调区间.
【分析】求出函数的导数,由二次函数的性质,即可得到函数在定义域R上递增.
【解答】解:函数y=x3+x的导数为y′=3x2+1≥1>0,
则函数在定义域R上递增.
即有函数的递增区间为(﹣∞,+∞).
故选:C.
【点评】本题考查了运用导数求函数的单调区间,属于基础题.
2. 设,则
A. B. C. D.
参考答案:
C
3. 阅读如图所示的程序框图,若输入的a,b,c分别为21,32,75,则输出的a,b,c分别是( )
A.75,21,32 B.21,32,75 C.32,21,75 D.75,32,21
参考答案:
A
【考点】设计程序框图解决实际问题.
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是按顺序交换变量a,b,c的值.模拟程序的执行过程,易得答案.
【解答】解:由流程图知,
a赋给x,x赋给b,所以a的值赋给b,即输出b为21,
c的值赋给a,即输出a为75.
b的值赋给a,即输出c为32.
故输出的a,b,c的值为75,21,32
故选A
4. 若不等式|x+1|-|x-2|>a在R上有解,则实数a的取值范围是( )
A.a<3 B.a>3 C.a<1 D.a>1
参考答案:
A
5. 设集合A=[0,1),B=[1,2],函数f(x)={x0∈A,且f[f(x0)]∈A,则x0的取值范围是( )
A.() B.(log32,1) C.() D.[0,]
参考答案:
A
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的值域.
【专题】计算题;压轴题.
【分析】利用当x0∈A,且f[f(x0)]∈A,列出不等式,解出 x0的取值范围.
【解答】解:∵0≤x0<1,∴f(x0)=∈[1,2 )=B
∴f[f(x0)]=f()=4﹣2
∵f[f(x0)]∈A,∴0≤4﹣2<1
∴
∵0≤x0<1
∴
故选A
【点评】本题考查求函数值的方法,以及不等式的解法,解题的关键是确定f(x0)的范围.
6. 函数的定义域是
A. B. C. D.
参考答案:
D
7. i为虚数单位,i607的共轭复数为( )
A.i B.﹣i C.1 D.﹣1
参考答案:
A
【考点】A1:虚数单位i及其性质.
【分析】直接利用复数的单位的幂运算求解即可.
【解答】解:i607=i604+3=i3=﹣i,
它的共轭复数为:i.
故选:A.
8. 在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M和N分别为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】异面直线及其所成的角.
【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B1,得到的锐角或直角就是异面直线所成的角,在三角形中再利用余弦定理求出此角即可.
【解答】解:如图,将AM平移到B1E,NC平移到B1F,则∠EB1F为直线AM与CN所成角
棱长为1,则B1E=B1F=,EF=,
∴cos∠EB1F=,
故选D.
9. 若函数,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
10. 命题“”的否定是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 方程所表示的图形的面积为_________。
参考答案:
解析:方程所表示的图形是一个正方形,其边长为
12. 过抛物线x2=8y焦点F作直线l交抛物线于A、B两点,若线段AB中点M的纵坐标为4,则|AB|= ______ .
参考答案:
12
13. 已知直线过点(2,0)与(0,﹣3),则该直线的方程为 .
参考答案:
=1
【考点】直线的两点式方程.
【分析】由截距式,可得直线的方程.
【解答】解:由截距式,可得直线的方程为=1.
故答案为=1.
【点评】本题考查直线的方程,涉及直线的截距,属基础题.
14. 已知x>0,y>0, +=2,则2x+y的最小值为 .
参考答案:
4
【考点】基本不等式.
【分析】由题意可得2x+y=(+)(2x+y)=(4+++),运用基本不等式即可得到最小值.
【解答】解:∵x>0,y>0, +=2,
∴2x+y=(+)(2x+y)=(4+++)≥(4+2)=4,
当且仅当y=2x=2时取等号.
故答案为:4.
15. 定积分等于 .
参考答案:
16. 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为3,底面边长为,则这个球的表面积是 .
参考答案:
16π
【考点】球的体积和表面积.
【专题】计算题;方程思想;数形结合法;立体几何.
【分析】正四棱锥P﹣ABCD的五个顶点在同一球面上,则其外接球的球心在它的高PO1上,记为O,如图.求出AO1,OO1,解出球的半径,求出球的表面积.
【解答】解:正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上,
记为O,PO=AO=R,PO1=3,OO1=3﹣R,
在Rt△AO1O中,AO1=AC=,由勾股定理R2=3+(3﹣R)2得R=2,
∴球的表面积S=16π
故答案为:16π.
【点评】本题考查球的表面积,球的内接体问题,解答关键是确定出球心的位置,利用直角三角形列方程式求解球的半径.需具有良好空间形象能力、计算能力.
17. 已知{an}满足a1=1,an+an+1=()n(n∈N*),Sn=a1+a2?3+a3?32+…+an?3n﹣1,类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法,可求得4Sn﹣3nan= .
参考答案:
n
考点:类比推理.
专题:计算题;等差数列与等比数列.
分析:先对Sn=a1+a2?3+a3?32+…+an?4n﹣1 两边同乘以3,再相加,求出其和的表达式,整理即可求出4Sn﹣3nan的表达式.
解答: 解:由Sn=a1+a2?3+a3?32+…+an?3n﹣1 ①
得3?Sn=3?a1+a2?32+a3?33+…+an﹣1?3n﹣1+an?3n ②
①+②得:4Sn=a1+3(a1+a2)+32?(a2+a3)+…+3n﹣1?(an﹣1+an)+an?3n
=a1+3×+32?()2+…+3n﹣1?()n﹣1+3n?an
=1+1+1+…+1+3n?an
=n+3n?an.
所以4Sn﹣3n?an=n,
故答案为:n.
点评:本题主要考查数列的求和,用到了类比法,关键点在于对课本中推导等比数列前n项和公式的方法的理解和掌握.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 给定两个命题,P:对任意实数x都有ax2+ax+1>0恒成立;Q:a2+8a﹣20<0.如果P∨Q为真命题,P∧Q为假命题,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】复合命题的真假.
【分析】由ax2+ax+1>0恒成立可得,可求P的范围;由a2+8a﹣20<0解不等式可求Q的范围,然后由P∨Q为真命题,P∧Q为假命题,可知P,Q为一真一假,可求
【解答】(本小题满分12分)
解:命题P:ax2+ax+1>0恒成立
当a=0时,不等式恒成立,满足题意﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
当a≠0时,,解得0<a<4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴0≤a<4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
命题Q:a2+8a﹣20<0解得﹣10<a<2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∵P∨Q为真命题,P∧Q为假命题
∴P,Q有且只有一个为真,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
如图可得﹣10<a<0或2≤a<4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
19. 函数的图像在x=1处的切线方程为y= -12x;
(1)求函数的解析式;
(2)求函数在[-3,1]上的最值.
参考答案:
(1)= 12x2+2ax+b ………………………2 分
∵y =f(x)在x=1处的切线方程为 y=-12x
∴即
解得:a=-3 b=-18
∴f(x)=4x3―3x2―18x+5 ………………………6分
(2)∵= 12x2-6x-18=6(x+1)(2x-3)
令=0 解得:x=-1或x=(舍) ………………………9分
又∵f(-3)=-76, f(-1)=16, f(1)=-12
∴f(x)在[-3,1]上的最小值为-76,最大值为16.………….…………12分
20. (本小题满分14分)已知数列的前项的和为,是等比数列,且,。
⑴求数列和的通项公式;
⑵设,求数列的前项的和。
⑶设,数列的前项的和为,求证:.
参考答案:
⑴依题意有:当时, ;
当时,
所以
又,所以,即
所以。
⑶由
令 ①
②
①-②得:
所以即.
21. 已知命题p:?x∈[1,],x2﹣a≥0,命题q:?x0∈R,x02﹣ax0+2﹣a=0,若命题“p∧q”为真命题,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】复合命题的真假.
【分析】命题p:?x∈[1,],x2﹣a≥0,可得a≤(x2)min.命题q:?x0∈R, x02﹣ax0+2﹣a=0,可得△≥0.再根据命题“p∧q”为真命题,即可得出.
【解答】解:命题p:?x∈[1,],x2﹣a≥0,∴a≤(x2)min=1.
命题q:?x0∈R, x02﹣ax0+2﹣a=0,∴△=≥0,解得a≥1或a≤﹣2.
若命题“p∧q”为真命题,∴,
解得a=1或a≤﹣2.
∴实数a的取值范围是(﹣∞,﹣2]∪{1}.
22. 设函数f(x)=﹣x3+x2+(m2﹣1)x,(x∈R),其中m>0.
(1)当m=1时,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率;
(2)求函数的单调区间与极值.
参考答案:
【考点】利用导数研究函数的极值;导数的运算;利用导数研究函数的单调性.
【分析】(1)由已知中函数f(x)=﹣x3+x2+(m2﹣1)x,根据m=1,我们易求出f(1)及f′(1)的值,代入点斜式方程即可得到答案.
(2)由已知我们易求出函数的导函数,令导函数值为0,我们则求出导函数
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