湖北省孝感市汉川城关中学高二数学理月考试题含解析

湖北省孝感市汉川城关中学高二数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数y=x3+x的递增区间是（　　） A．（﹣∞，1） B．（﹣1，1） C．（﹣∞，+∞） D．（1，+∞） 参考答案： C 【考点】函数的单调性及单调区间． 【分析】求出函数的导数，由二次函数的性质，即可得到函数在定义域R上递增． 【解答】解：函数y=x3+x的导数为y′=3x2+1≥1＞0， 则函数在定义域R上递增． 即有函数的递增区间为（﹣∞，+∞）． 故选：C． 【点评】本题考查了运用导数求函数的单调区间，属于基础题． 2. 设，则     A．   B．       C．       D．   参考答案：   C 3. 阅读如图所示的程序框图，若输入的a，b，c分别为21，32，75，则输出的a，b，c分别是（　　） A．75，21，32 B．21，32，75 C．32，21，75 D．75，32，21 参考答案： A 【考点】设计程序框图解决实际问题． 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是按顺序交换变量a，b，c的值．模拟程序的执行过程，易得答案． 【解答】解：由流程图知， a赋给x，x赋给b，所以a的值赋给b，即输出b为21， c的值赋给a，即输出a为75． b的值赋给a，即输出c为32． 故输出的a，b，c的值为75，21，32 故选A 4. 若不等式|x+1|－|x－2|>a在R上有解，则实数a的取值范围是（      ） A．a<3         B．a>3        C．a<1         D．a>1 参考答案： A 5. 设集合A=[0，1），B=[1，2]，函数f（x）={x0∈A，且f[f（x0）]∈A，则x0的取值范围是（　　） A．（） B．（log32，1） C．（） D．[0，] 参考答案： A 【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值域． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】利用当x0∈A，且f[f（x0）]∈A，列出不等式，解出 x0的取值范围． 【解答】解：∵0≤x0＜1，∴f（x0）=∈[1，2 ）=B ∴f[f（x0）]=f（）=4﹣2 ∵f[f（x0）]∈A，∴0≤4﹣2＜1  ∴ ∵0≤x0＜1 ∴ 故选A 【点评】本题考查求函数值的方法，以及不等式的解法，解题的关键是确定f（x0）的范围． 6. 函数的定义域是                                            A.         B.        C.         D. 参考答案： D 7. i为虚数单位，i607的共轭复数为（　　） A．i B．﹣i C．1 D．﹣1 参考答案： A 【考点】A1：虚数单位i及其性质． 【分析】直接利用复数的单位的幂运算求解即可． 【解答】解：i607=i604+3=i3=﹣i， 它的共轭复数为：i． 故选：A． 8. 在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（　　） A． B．  C． D． 参考答案： D 【考点】异面直线及其所成的角． 【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B1，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可． 【解答】解：如图，将AM平移到B1E，NC平移到B1F，则∠EB1F为直线AM与CN所成角 棱长为1，则B1E=B1F=，EF=， ∴cos∠EB1F=， 故选D． 　 9. 若函数，则（    ） A.             B.             C.             D. 参考答案： B 略 10. 命题“”的否定是（  ） A.                 B. C．                 D． 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 方程所表示的图形的面积为_________。 参考答案：   解析：方程所表示的图形是一个正方形，其边长为 12. 过抛物线x2=8y焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点M的纵坐标为4，则|AB|= ______ ． 参考答案： 12 13. 已知直线过点（2，0）与（0，﹣3），则该直线的方程为　 ． 参考答案： 　=1 【考点】直线的两点式方程． 【分析】由截距式，可得直线的方程． 【解答】解：由截距式，可得直线的方程为=1． 故答案为=1． 【点评】本题考查直线的方程，涉及直线的截距，属基础题． 14. 已知x＞0，y＞0， +=2，则2x+y的最小值为　　． 参考答案： 4 【考点】基本不等式． 【分析】由题意可得2x+y=（+）（2x+y）=（4+++），运用基本不等式即可得到最小值． 【解答】解：∵x＞0，y＞0， +=2， ∴2x+y=（+）（2x+y）=（4+++）≥（4+2）=4， 当且仅当y=2x=2时取等号． 故答案为：4． 15. 定积分等于         .  参考答案： 16. 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为3，底面边长为，则这个球的表面积是  ． 参考答案： 16π 【考点】球的体积和表面积． 【专题】计算题；方程思想；数形结合法；立体几何． 【分析】正四棱锥P﹣ABCD的五个顶点在同一球面上，则其外接球的球心在它的高PO1上，记为O，如图．求出AO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积． 【解答】解：正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上， 记为O，PO=AO=R，PO1=3，OO1=3﹣R， 在Rt△AO1O中，AO1=AC=，由勾股定理R2=3+（3﹣R）2得R=2， ∴球的表面积S=16π 故答案为：16π． 【点评】本题考查球的表面积，球的内接体问题，解答关键是确定出球心的位置，利用直角三角形列方程式求解球的半径．需具有良好空间形象能力、计算能力． 17. 已知{an}满足a1=1，an+an+1=（）n（n∈N*），Sn=a1+a2?3+a3?32+…+an?3n﹣1，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得4Sn﹣3nan=           ． 参考答案： n 考点：类比推理． 专题：计算题；等差数列与等比数列． 分析：先对Sn=a1+a2?3+a3?32+…+an?4n﹣1 两边同乘以3，再相加，求出其和的表达式，整理即可求出4Sn﹣3nan的表达式． 解答： 解：由Sn=a1+a2?3+a3?32+…+an?3n﹣1 ① 得3?Sn=3?a1+a2?32+a3?33+…+an﹣1?3n﹣1+an?3n ② ①+②得：4Sn=a1+3（a1+a2）+32?（a2+a3）+…+3n﹣1?（an﹣1+an）+an?3n =a1+3×+32?（）2+…+3n﹣1?（）n﹣1+3n?an =1+1+1+…+1+3n?an =n+3n?an． 所以4Sn﹣3n?an=n， 故答案为：n． 点评：本题主要考查数列的求和，用到了类比法，关键点在于对课本中推导等比数列前n项和公式的方法的理解和掌握． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 给定两个命题，P：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：a2+8a﹣20＜0．如果P∨Q为真命题，P∧Q为假命题，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】复合命题的真假． 【分析】由ax2+ax+1＞0恒成立可得，可求P的范围；由a2+8a﹣20＜0解不等式可求Q的范围，然后由P∨Q为真命题，P∧Q为假命题，可知P，Q为一真一假，可求 【解答】（本小题满分12分） 解：命题P：ax2+ax+1＞0恒成立 当a=0时，不等式恒成立，满足题意﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 当a≠0时，，解得0＜a＜4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴0≤a＜4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 命题Q：a2+8a﹣20＜0解得﹣10＜a＜2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∵P∨Q为真命题，P∧Q为假命题 ∴P，Q有且只有一个为真，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 如图可得﹣10＜a＜0或2≤a＜4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 　 19. 函数的图像在x=1处的切线方程为y= -12x； (1)求函数的解析式； (2)求函数在[-3，1]上的最值. 参考答案： （1）＝ 12x2＋2ax＋b             ………………………2 分                                                           ∵y ＝f(x)在x＝1处的切线方程为　y＝－12x ∴即 解得：a＝－3    b＝－18      ∴f(x)＝4x3―3x2―18x＋5　     ………………………6分 （2）∵＝ 12x2－6x－18＝6(x＋1)(2x－3)          令＝0  解得：x＝－1或x＝(舍)  ………………………9分 又∵f(－3)＝－76，   f(－1)＝16，  f(1)＝-12 ∴f(x)在[－3，1]上的最小值为－76，最大值为16.………….…………12分 20. （本小题满分14分）已知数列的前项的和为，是等比数列，且，。 ⑴求数列和的通项公式； ⑵设，求数列的前项的和。 ⑶设，数列的前项的和为，求证：． 参考答案： ⑴依题意有：当时， ； 当时， 所以 又，所以，即 所以。                                   ⑶由       令                  ①      ② ①-②得： 所以即．                                         21. 已知命题p：?x∈[1，]，x2﹣a≥0，命题q：?x0∈R，x02﹣ax0+2﹣a=0，若命题“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】复合命题的真假． 【分析】命题p：?x∈[1，]，x2﹣a≥0，可得a≤（x2）min．命题q：?x0∈R， x02﹣ax0+2﹣a=0，可得△≥0．再根据命题“p∧q”为真命题，即可得出． 【解答】解：命题p：?x∈[1，]，x2﹣a≥0，∴a≤（x2）min=1． 命题q：?x0∈R， x02﹣ax0+2﹣a=0，∴△=≥0，解得a≥1或a≤﹣2． 若命题“p∧q”为真命题，∴， 解得a=1或a≤﹣2． ∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪{1}． 　 22. 设函数f（x）=﹣x3+x2+（m2﹣1）x，（x∈R），其中m＞0． （1）当m=1时，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率； （2）求函数的单调区间与极值． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的极值；导数的运算；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）由已知中函数f（x）=﹣x3+x2+（m2﹣1）x，根据m=1，我们易求出f（1）及f′（1）的值，代入点斜式方程即可得到答案． （2）由已知我们易求出函数的导函数，令导函数值为0，我们则求出导函数