辽宁省大连市瓦房店第五高级中学2022年高二数学理下学期期末试题含解析

辽宁省大连市瓦房店第五高级中学2022年高二数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知复数z的模为2，则|z﹣i|的最大值为（　　） A．1 B．2 C． D．3 参考答案： D 【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义． 【分析】根据复数的几何意义，知|z|=2对应的轨迹是圆心在原点半径为2的圆，|z﹣i|表示的是圆上一点到点（0，1）的距离，其最大值为圆上点（0，﹣2）到点（0，1）的距离． 【解答】解：∵|z|=2，则复数z对应的轨迹是以圆心在原点，半径为2的圆， 而|z﹣i|表示的是圆上一点到点（0，1）的距离， ∴其最大值为圆上点（0，﹣2）到点（0，1）的距离， 最大的距离为3． 故选D． 【点评】本题考查了复数及复数模的几何意义，数形结合可简化解答． 2. 设是关于的方程的两个不相等的实数根， 那么过两点的直线与圆的位置关系是（   ） A. 相切     B. 相离     C. 相交     D. 随的变化而变化 参考答案： A 3. 设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=λ+μ（λ，μ∈R），λμ=，则该双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】由方程可得渐近线，可得A，B，P的坐标，由已知向量式可得λ+μ=1，λ﹣μ=，解之可得λμ的值，由可得a，c的关系，由离心率的定义可得． 【解答】解：双曲线的渐近线为：y=±x，设焦点F（c，0），则A（c，），B（c，﹣），P（c，）， ∵，∴（c，）=（（λ+μ）c，（λ﹣μ））， ∴λ+μ=1，λ﹣μ=，解得λ=，μ=， 又由λμ=得=，解得=， ∴e== 故选C． 4. 椭圆的长轴为2，离心率为，则其短半轴为（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由已知可得：a=1， =，再利用b2=a2﹣c2即可得出． 【解答】解：由已知可得：a=1， =， ∴c=． ∴b2=a2﹣c2=， ∴b=， 故选：C． 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，属于基础题． 5. 直线l1，l2分别过点A（0，2），B（4，0），它们分别绕点A，B旋转，但始终保持l1⊥l2．若l1与l2的交点为P，坐标原点为O，则线段OP长度的取值范围是（　　） A．[0，6] B．[0，2] C．[0，3] D．[0，4] 参考答案： A 6. 抛物线与直线相交于A、B两点，其中A(1,2),设抛物线的焦点为F,则|FA|+|FB|等于（ ） A. 7               B.3         C.6            D.5 参考答案： A 略 7. 复数= (      )   A. 2+i            B.2-i            C.1+2i            D.1-2i 参考答案： C 8. 已知函数f（x）=|x2﹣1|+x2+kx．若对于区间（0，+∞）内的任意x，总有f（x）≥0成立，求实数k的取值范围为（　　） A．[0，+∞） B．[﹣2，+∞） C．（﹣2，+∞） D．[﹣1，+∞） 参考答案： D 【考点】函数恒成立问题． 【分析】由f（x）≥0分离出参数k，得k≥﹣，x∈（0，+∞），记g（x）=﹣，则问题等价于k≥g（x）max，由单调性可得g（x）max， 【解答】解：（1）f（x）≥0?|x2﹣1|+x2+kx≥0 ?k≥﹣，x∈（0，+∞）， 记g（x）=﹣=， 易知g（x）在（0，1]上递增，在（1，+∞）上递减， ∴g（x）max=g（1）=﹣1， ∴k≥﹣1， 故选：D． 9. 已知sinα=, 并且α是第二象限角, 那么tanα的值为               (      ) A 　－          B 　－           C 　         D　 参考答案： A 略 10. 已知点在图象上，则下列点中不可能在此图象上的是 A． B． C． D． 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知向量a和b的夹角为60°，| a | ＝ 3，| b | ＝ 4，则（2a – b）a等于________ 参考答案： 12， 略 12. 在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________． 参考答案： 0.8 13. 若函数恰有2个零点，则a的取值范围为          ． 参考答案： (－2,－1]∪(0,1] ∪{3} 14. 轴截面是边长等于2的边长三角形的圆锥，它的表面积等于_ ▲_____ 参考答案： 15. 命题“，”的否定是      ． 参考答案： 16. 在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1 D1中，，在面ABCD中取一点F，使 最小，则最小值为       . 参考答案： .解析：作出点E关于面ABCD的对称点，连交面ABCD于点F1,则 的长即为所求. 17. 如图是一平面图形的直观图，斜边， 则这个平面图形的面积是   ▲    ； 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本题8分) 已知函数，，．   (1)若，试判断并证明函数的单调性；   (2)当时，求函数的最大值的表达式． 参考答案：     (1)判断：若，函数在上是增函数.                         证明：当时，，              在区间上任意，设，                           所以，即在上是增函数.                  (2)因为，所以        ①当时，在上是增函数，在上也是增函数，           所以当时，取得最大值为；                    ②当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是 增函数， 而，            当时，，当时，函数取最大值为；            当时，，当时，函数取最大值为； 综上得，   19. 已知函数．                                                              （1）判断的奇偶性并予以证明； （2）求使的的取值集合． 参考答案： 解：（1）是奇函数.证明如下： ∵，且，∴是奇函数.（3分） （2）由，得. ∴. ∴的取值集合为.  （6分） 略 20. （本题满分12分） 设为坐标原点，已知向量分别对应复数且，（其中），若可以与任意实数比较大小，求的值. 参考答案： 解：可以与任意实数比较大小，    ……（2分）                    =         ……  （8分）            解得                 ……（10分）        ……  （12分 略 21. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线l的方程为，曲线C的参数方程为 (其中α为参数)． （Ⅰ）已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系； （Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值． 参考答案： 解：（Ⅰ）把极坐标系下的点化为直角坐标，得． 因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线上． ················ 5分 （Ⅱ）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为， 从而点Q到直线l的距离为 由此得，当时，取得最小值，且最小值为.··································· 10分 22. 已知圆: (1)过点A(-1,-1)作圆C的切线,求切线的方程; (2)不论实数m为何值,证明直线mx-y-3m+2=0与圆C总相交; (3)若直线被圆C截得的弦为AB,求AB的最小值. 参考答案： （1）圆C为：当直线L的斜率存在时，设直线 则，所以，故切线方程为 当直线L的斜率不存在时也满足条件。 综上切线方程为或x=-1 （2）因为直线恒过点M（3，2），又M在圆内，所以直线必与圆相交。 （3）当CM垂直于直线时，截得的弦长最短。因为CM= 所以。 略