福建省龙岩市红坊中学高二数学理上学期期末试卷含解析

福建省龙岩市红坊中学高二数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知双曲线C：﹣=1的点到焦点的最短距离为2，点P（3，4）在双曲线C的渐近线上，则双曲线C的方程为(     ) A． B．﹣=1 C．=1 D． 参考答案： B 考点：双曲线的标准方程． 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：利用双曲线C：﹣=1的点到焦点的最短距离为2，点P（3，4）在双曲线C的渐近线上，可得c﹣a=2，=，求出a，b，即可求出双曲线C的方程． 解答： 解：由题意，c﹣a=2，=， ∴a=3，b=4，c=5 ∴双曲线C的方程为， 故选：B． 点评：本题考查双曲线的方程，考查双曲线的性质，求出a，b是关键． 2. 设a为常数，函数，给出以下结论： （1）若，则存在唯一零点 （2）若，则 （3）若f(x)有两个极值点，则 其中正确结论的个数是（   ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 参考答案： A 【分析】 （1）先根据函数存在零点，得到方程有实根，再令，将问题转为函数图像与直线有交点即可，用导数的方法研究函数单调性和最值，即可得出结论成立； （2）根据（1）的结果，可判断当时，在上恒成立，从而可得在上恒成立，即可得出结论成立； （3）先对函数求导，根据题意得到，再将函数有两极值点，转化为方程有两不等式实根来处理，用导数的方法研究其单调性，和值域，进而可得出结论成立. 【详解】（1）若函数存在零点，只需方程有实根，即方程有实根，令，则只需函数图像与直线有交点即可. 又，由可得；由可得； 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故， 因此，当时，直线与图像仅有一个交点，即原函数只有一个零点，所以（1）正确； （2）由（1）可知，当时，在上恒成立， 即在上恒成立，即在上恒成立；故（2）正确； （3）因为，所以， 若有两个极值点，则，所以， 又由有两个极值点，可得方程有两不等实根，即方程有两不等式实根，令，则， 由得；由得； 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，又当时，；当时，； 所以方程有两不等式实根，只需直线与函数的图像有两不同交点，故；所以，即（3）正确. 故选A 【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数单调性、最值等，属于常考题型. 3. 在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 参考答案： D 复数，其对应的点是，位于第四象限． 故选． 4. 已知不等式成立的充分不必要条件是，则m的取值范围是(　　) A.(－∞,]　　　　　B. [,+∞)      C. [,]          D. [ ,] 参考答案： D 5. 下列函数中，最小值为2的是（　　） A．y=x+ B．y=sinx+，x∈（0，） C．y=4x+2x，x∈[0，+∞） D．y= 参考答案： C 【考点】基本不等式． 【分析】在A中，当x＞0时，y=x+≥2；当x＜0时，y=x+≤﹣2；在B中，由sinx＜1，知y=sinx+的最小值不为2；在C中，当x=0时，y=4x+2x取最小值为2；在D中，由，得y=的最小值不是2． 【解答】解：在A中，当x＞0时，y=x+≥2=2， 当且仅当x=时，取等号； 当x＜0时，y=x+≤﹣2=﹣2， 当且仅当x=时，取等号．故A错误； 在B中，∵x∈（0，），∴sinx∈（0，1）， ∴y=sinx+≥=2， 当且仅当sinx=，即sinx=1时，取等号， 由sinx＜1，知y=sinx+的最小值不为2．故B错误； 在C中，∵x∈[0，+∞），∴4x∈[1，+∞），2x∈[1，+∞）， ∴当x=0时，y=4x+2x取最小值为2，故C正确； 在D中，y===2， 当且仅当，即时取等号， ∵，∴y=的最小值不是2，故D错误． 故选：C． 6. 某地区高中分三类，类学校共有学生2000人，类学校共有学生3000人，类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则类学校中的学生甲被抽到的概率为 （    ） A．　 B．　   C．   D． 参考答案： B 7. 在中， （     ） （A）     （B）或    （C）         （D）或 参考答案： D 8. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为（、、），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则的最大值为      A.               B.             C.           D.    参考答案： D 9. 在等比数列中，则（    ） A.      B.      C.          D. 参考答案： A 略 10. 正四棱柱中，，则异面直线所成角的余弦值为( ) A．             B．               C．              D． 参考答案： 考点：异面直线成角,余弦定理. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设不等式组所表示的平面区域是一个三角形，则此平面区域面积的最大值            ． 参考答案： 4； 略 12. 已知双曲线y2﹣4x2=16上一点M到一个焦点的距离等于2，则点M到另一个焦点的距离为　  　． 参考答案： 10 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】将双曲线的方程化为标准方程，可得a=4，设|MF1|=2，运用双曲线的定义可得||MF1|﹣|MF2||=2a=8，计算即可得到所求距离． 【解答】解：双曲线y2﹣4x2=16即为 ﹣=1， 可得a=4， 设双曲线的两焦点为F1，F2， 由题意可设|MF1|=2， 由双曲线的定义可得||MF1|﹣|MF2||=2a=8， 即有|2﹣|MF2||=8， 解得|MF2|=10或﹣6（舍去）． 故答案为：10． 13. 给出以下三个命题，其中所有正确命题的序号为        ①已知等差数列的前项和为，为不共线向量，又,若,则。 ②“”是函数“的最小正周期为4”的充要条件； ③已知函数，若，且，则动点到直线的距离的最小值为1. 参考答案： ① 略 14. 在四面体O——ABC中，，D为BC的中点，E为AD的中点，则=      （用表示） 参考答案： 15. 已知，若，则的取值范围 是          ． 参考答案： 16. 曲线y=2x﹣x3在x=﹣1的处的切线方程为 　    　． 参考答案： x+y+2=0 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】根据导数的几何意义求出函数在x=﹣1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可． 【解答】解：y'=2﹣3x2 y'|x=﹣1=﹣1 而切点的坐标为（﹣1，﹣1） ∴曲线y=2x﹣x3在x=﹣1的处的切线方程为x+y+2=0 故答案为：x+y+2=0 17. 在平面直角坐标系中，O为原点 C(3 0)动点D满足，则 的最大值是__________。 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．假设各局比赛结果相互独立． （1）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率； （2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X的分布列． 参考答案： 【考点】离散型随机变量及其分布列． 【分析】（1）由题意知，各局比赛结果相互独立，求出对应的概率值即可； （2）由题意知，随机变量X的所有可能的取值，根据事件的互斥性计算概率值，从而写出X的分布列． 【解答】解：（1）记“甲队以3：0胜利”为事件A1， “甲队以3：1胜利”为事件A2， “甲队以3：2胜利”为事件A3， 由题意知，各局比赛结果相互独立， 所以P（A1）==， P（A2）=??（1﹣）?=， P（A3）=???=； 所以甲队以3：0胜利、以3：1胜利的概率都为， 以3：2胜利的概率为； （2）设“乙队以3：2胜利”为事件A4， 由题意知，各局比赛结果相互独立， 所以P（A4）=???（1﹣）=； 由题意知，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3， 根据事件的互斥性得 P（X=0）=P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=； 又P（X=1）=P（A3）=， P（X=2）=P（A4）=， P（X=3）=1﹣P（X=0）﹣P（X=1）﹣P（X=2）=， 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 【点评】本题考查了相互独立性事件的概率计算与分布列问题，是综合题． 19. （满分12分）已知等差数列满足， （I）求数列的通项公式； （II）求数列的前n项和． 参考答案： （I）设等差数列的公差为d，由已知条件可得 解得 故数列的通项公式为    ………………5分    （II）设数列的前n项和为．，即①， ②…………7分ks5u ①-②得 ………………10分  所以 综上，数列    ………………12分 20. 用数学归纳法证明：． 参考答案： 证明：（1）当时，左边， 右边左边，等式成立． （2）假设时等式成立，即． 则当时，左边 ， 时，等式成立． 由（1）和（2）知对任意，等式成立． 21. 12分）如图，已知抛物线的参数方程为（其中为参数）， 为过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦，点在线段上.  倾斜角为 的直线经过点与抛物线交于,两点. (1)请问是否为定值,若是,求出该定值;若不是,说明理由; (2)若和的面积相等,求点的坐标.   参考答案： 解：（1）消去参数s，得抛物线的方程为， ∴，把代入抛物线方程得, 于是设点 ，因为直线的倾斜角为，所以它的参数方程为（其中为参数）， 代入抛物线方程得： 设,对应的参数为  ∴（*） (2∵和的面积相等， ∴ks5u ∴，又∵， ，∴ ∴将其代入（*）式得  得：，∴，∴， 即点的横坐标为  ∴点的坐标为 略 22. 在区间［0，1］上给定曲线y=x2,试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小. 参考答案： 略