湖南省株洲市醴陵第二中学高二数学理联考试题含解析

湖南省株洲市醴陵第二中学高二数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在三角形ABC中，的值为  （  ） A．        B．          C．            D． 参考答案： A 2. 函数在内有极小值，则实数的取值范围是（    ） （A）   （B）   （C）   （D） 参考答案： B 3. 在△ABC中,，△ABC的周长是18，则定点C的轨迹方程是（    ）． A． B． C． D． 参考答案： D ∵，， ∴， 又∵的周长为， ∴， ∴顶点的轨迹是一个以、为焦点的椭圆． 则，，， ∴顶点的轨迹方程为． 故选． 4. 下列不等式中成立的是（　　） A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则＞ 参考答案： D 【考点】不等式的基本性质． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】运用列举法和不等式的性质，逐一进行判断，即可得到结论． 【解答】解：对于A，若a＞b，c=0，则ac2=bc2，故A不成立； 对于B，若a＞b，比如a=2，b=﹣2，则a2=b2，故B不成立； 对于C，若a＜b＜0，比如a=﹣3，b=﹣2，则a2＞ab，故C不成立； 对于D，若a＜b＜0，则a﹣b＜0，ab＞0，即有＜0，即＜，则＞，故D成立． 故选：D． 【点评】本题考查不等式的性质和运用，注意运用列举法和不等式的性质是解题的关键． 5. 如表是一位母亲给儿子作的成长记录： 年龄/周岁 3 4 5 6 7 8 9 身高/cm 94.8 104.2 108.7 117.8 124.3 130.8 139.1 根据以上样本数据，她建立了身高y（cm）与年龄x（周岁）的线性回归方程为=7.19x+73.93，给出下列结论： ①y与x具有正的线性相关关系； ②回归直线过样本的中心点（6，117.1）； ③儿子10岁时的身高是145.83cm； ④儿子年龄增加1周岁，身高约增加7.19cm． 其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案： B 【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】概率与统计． 【分析】本题考察统计中的线性回归分析，在根据题目给出的回归方程条件下做出分析，然后逐条判断正误． 【解答】解；线性回归方程为=7.19x+73.93， ①7.19＞0，即y随x的增大而增大，y与x具有正的线性相关关系，①正确； ②回归直线过样本的中心点为（6，117.1），②错误； ③当x=10时， =145.83，此为估计值，所以儿子10岁时的身高的估计值是145.83cm而不一定是实际值，③错误； ④回归方程的斜率为7.19，则儿子年龄增加1周岁，身高约增加7.19cm，④正确， 故应选：B 【点评】本题考察回归分析的基本概念，属于基础题，容易忽略估计值和实际值的区别． 6. 直线过点且与以为端点的线段相交,则的斜率的取值范围是（　　） A．   B．   C． D． 参考答案： D 7. 由曲线，所围成图形的面积是（  ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 先计算交点，再根据定积分计算面积. 【详解】曲线，，交点为： 围成图形的面积： 故答案选A 【点睛】本题考查了定积分的计算，意在考查学生的计算能力. 8. 有这样一个有规律的步骤：对于数25，将组成它的数字和5分别取立方再求和为133，即23+53=133；对于133也做同样操作：13+33+33=55，如此反复操作，则第2017次操作后得到的数是（　　） A．25 B．250 C．55 D．133 参考答案： D 【考点】F1：归纳推理． 【分析】第1次操作为23+53=133，第2次操作为13+33+33=55，第3次操作为53+53=250，第4次操作为23+53+03=133，所以操作结果，以3为周期，循环出现，由此可得第2017次操作后得到的数． 【解答】解：第1次操作为23+53=133，第2次操作为13+33+33=55，第3次操作为53+53=250，第4次操作为23+53+03=133， ∴操作结果，以3为周期，循环出现， ∵2017=3×672+1， ∴第2017次操作后得到的数与第1次操作后得到的数相同， ∴第2017次操作后得到的数是133， 故选：D． 9. 某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是  (　 　) 参考答案： A 10. b＝c＝0是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过原点的 A．充分不必要条件          B．必要不充分条件    C．充要条件                 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 命题：①底面是正多边形，而且侧棱长与底面边长都相等的棱锥是正多面体；②正多面体的面不是三角形，就是正方形；③若长方体的各侧面都是正方形，它就是正多面体；④正三棱锥就是正四面体，其中正确的序号是　　　　　　． 参考答案： ③ 12. △ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2， =2+，则下列结论中正确的是　　．（写出所有正确结论得序号） ①为单位向量；②为单位向量；③；④∥；⑤（4+）⊥． 参考答案： ①④⑤ 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】利用向量的三角形法则以及向量数量积的公式对各结论分别分析选择． 【解答】解：△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2， =2+， 则=，AB=2，所以||=1，即是单位向量；①正确； 因为=2，所以，故||=2；故②错误；④正确； 夹角为120°，故③错误； ⑤（4+）?=4=4×1×2×cos120°+4=﹣4+4=0；故⑤正确． 故答案为：①④⑤． 13. 直线交抛物线于A，B两点，若AB中点的横坐标是2,则=_______. 参考答案： 略 14. 若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为　　． 参考答案： x2+（y﹣1）2=1 【考点】圆的标准方程． 【分析】利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为 （b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程． 【解答】解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1， 可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1， 故答案为：x2+（y﹣1）2=1． 【点评】本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为 （b，a），属于基础题． 15. 已知关于的不等式的解集为则关于的不等式的解集为_______ 参考答案： 略 16. 已知命题p：|x﹣1|+|x+1|≥3a恒成立，命题q：y=（2a﹣1）x为减函数，若p且q为真命题，则a的取值范围是　   　． 参考答案： （]   【考点】指数函数的单调性与特殊点；复合命题的真假． 【分析】利用绝对值的几何意义结合恒成立的解决方法可求的命题p为真时a的范围，然后用指数函数的知识可以求出命题q为真时a的范围，进而求交集得出a的取值范围． 【解答】解：∵p且q为真命题， ∴命题p与命题q均为真命题． 当命题p为真命题时： ∵|x﹣1|+|x+1|≥3a恒成立， ∴只须|x﹣1|+|x+1|的最小值≥3a即可， 而有绝对值的几何意义得|x﹣1|+|x+1|≥2， 即|x﹣1|+|x+1|的最小值为2， ∴应有：3a≤2，解得：a≤，①． 当命题q为真命题时： ∵y=（2a﹣1）x为减函数， ∴应有：0＜2a﹣1＜1，解得：，②． 综上①②得，a的取值范围为： 即：（]． 故答案为：（]． 　 17. 在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=ex（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是　　． 参考答案： （e+e﹣1） 【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】先设切点坐标为（m，em），然后根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=m处的导数，从而求出切线的斜率，求出切线方程，从而求出点M的纵坐标，同理可求出点N的纵坐标，将t用m表示出来，最后借助导数的方法求出函数的最大值即可． 【解答】解：设切点坐标为（m，em）． ∴该图象在点P处的切线l的方程为y﹣em=em（x﹣m）． 令x=0，解得y=（1﹣m）em． 过点P作l的垂线的切线方程为y﹣em=﹣e﹣m（x﹣m）． 令x=0，解得y=em+me﹣m． ∴线段MN的中点的纵坐标为t= [（2﹣m）em+me﹣m]． t'= [﹣em+（2﹣m）em+e﹣m﹣me﹣m]，令t'=0解得：m=1． 当m∈（0，1）时，t'＞0，当m∈（1，+∞）时，t'＜0． ∴当m=1时t取最大值（e+e﹣1）． 故答案为：（e+e﹣1）． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）  从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了名学生的成绩得到频率分布直方图如下： （Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分； （Ⅱ）若用分层抽样的方法从分数在和的学生中共抽取人，该人中成绩在的有几人？ （Ⅲ）在（Ⅱ）中抽取的人中，随机抽取人，求分数在和各人的概率． 参考答案： 19. 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加的5次预赛成绩记录如下： 甲：82  82  79  95  87           乙：95  75  80  90  85 （1）用茎叶图表示这两组数据 （2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选哪位学生参加更合适？说明理由 （3）从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率． 参考答案： 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图． 【分析】（1）由已知能作出茎叶图． （2）分别求出平均数和方差，由甲乙的平均数相同，甲的方差小于乙的方差，知派甲参赛比较合理． （3）从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个的基本事件个数为5×5=25，列举出甲的成绩比乙的成绩高的个数，由此能求出从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个，甲的成绩比乙高的概率． 【解答】解：（1）作出茎叶图如下图： （2）派甲参赛比较合理． 理由是： =（79+82+82+87+95）=85． =（75+95+80+90+85）=85， = [（82﹣85）2+（82﹣85）2+（79﹣85）2+（95﹣85）2+（87﹣85）2]=31.6， = [（75﹣85）2+（95﹣85）2+（80﹣85）2+（90﹣85）2+（85﹣85）2]=50， 为甲乙的平均数相同，甲的方差小于乙的方差， 所以甲发挥稳定．故派甲参赛比较合理． （3）设甲被抽到的成绩为x，乙被抽到的成绩为y， 则从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个的基本事件个数为5×5=25． 其中甲的成绩比乙的成绩高的个数为： （82，75），（82，80），（79，75），（87，75），（87，80），（87，85）（95，90）， （95，75），（95，80），（95，85），（82，75），（82，80）共12个． 所以从甲乙两人的成绩中各随机抽取一