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湖南省株洲市下东中学2022-2023学年高二数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设向量,,则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D. 与垂直
参考答案:
D
2. 圆与圆的位置关系是( )
A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 相离
参考答案:
C
【分析】
据题意可知两个圆的圆心分别为,;半径分别为1和4;圆心距离为5,再由半径长度与圆心距可判断两圆位置关系.
【详解】设两个圆的半径分别为和,因为圆的方程为
与圆
所以圆心坐标,圆心距离为5,由,可知两圆外切,故选C.
3. 在△ABC中,已知b=30,c=15,C=26°,则此三角形的解的情况是( )
A.一个解 B.两个解 C.无解 D.无法确定
参考答案:
B
4. 若为实数,则下列命题正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
参考答案:
B
5. 给出定义:若函数在D上可导,即存在,且导函数在D上也可导,则称在D上存在二阶导函数,记=,若<0在D上恒成立,则称在D上为凸函数,以下四个函数在上不是凸函数的是( )
A. = B. =
C. = D. =
参考答案:
B
略
6. 命题的否定为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
7. 已知圆经过点A(6,5),B(0,1)两点,并且圆心在直线上.则圆的方程为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
8. 已知是定义在上的非负可导函数,且满足.对任意正数,若,则必有
A. B. C. D.
参考答案:
A
9. 在中,若,则B等于
A.1050 B.600或1200 C.150 D.1050或150
参考答案:
D
10. 如图,一环形花坛分成四块,现有4种不同的花供选种,要求在每一块种一种花,且相邻的两块种不同的花,则不同的种法总数为( ).
A.96 B.84 C.60 D.48
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 我们把形如的函数称为幂指函数,幂指函数在求导时,可以利用对数法:在函数解析式两边取对数得,两边对x求导数,得于是,
运用此方法可以求得函数在(1,1)处的切线方程是 .
参考答案:
略
12. 一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是 。
参考答案:
14
13. 过抛物线y2=4x的焦点,作倾斜角为的直线交抛物线于P、Q两点,O为坐标原点,则POQ的面积为_________
参考答案:
2.
14. 若正方体外接球的体积是,则正方体的棱长等于_______________.
参考答案:
15. 已知为椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于两点,若,则=__________.
参考答案:
8
16. 下列关于直线a,b和平面的四个命题中:
(1)若,则;(2)若,则;
(3)若,则;(4)若,则.
所有正确命题的序号为______.
参考答案:
(2)(3)
【分析】
由空间中直线与直线,直线与平面的位置关系逐一核对四个命题得答案.
【详解】(1)由,则或,故(1)错误;
(2)由,则或,又,则,故(2)正确;
(3)若,由直线与平面平行的判定可得,故(3)正确;
(4)若,则或或与相交,故(4)错误.
∴正确命题的序号为(2),(3).
故答案为:(2)(3).
【点睛】本题考查命题的真假判断与应用,考查空间中直线与直线,直线与平面的位置关系,是中档题.
17. 若且则的最大值为________.
参考答案:
解析:
而,
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如果学生的成绩大于或等于60分,则输出“及格”,否则输出“不及格”.用程序框图表示这一算法过程.
参考答案:
19. 如图所示,矩形ABCD为本市沿海的一块滩涂湿地,其中阴影区域有丹顶鹤活动,曲线AC是以AD所在直线为对称轴的抛物线的一部分,其中AB=1km,BC=2km,现准备开发一个面积为0.6km2的湿地公园,要求不能破坏丹顶鹤活动区域.问:能否在AB边上取点E、在BC边上取点F,使得△BEF区域满足该项目的用地要求?若能,请给出点E、F的选址方案;若不能,请说明理由.
参考答案:
由题意可得:△BEF区域满足该项目的用地要求等价于△BEF面积的最大值不小于0.6 km2,以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立如图所示平面直角坐标系,求出A,B,C,D的坐标,运用待定系数法求出曲线AC的方程,欲使得△BEF的面积最大,必有EF与抛物线弧AC相切,设出切点(t,2t2),0≤t≤1,
求出导数,可得切线的斜率和方程,求出三角形BEF的面积,设f(t)=t3﹣2t2+2t,0<t≤1,求出导数和单调区间,可得极值,且为最值,即可判断是否满足要求.
解:△BEF区域满足该项目的用地要求等价于△BEF面积的最大值不小于0.6 km2,
以A为原点,AB所在直线为x轴,
AD所在直线为y轴,
建立如图所示平面直角坐标系,
则A(0,0),B(1,0),C(1,2),D(0,2),
设曲线AC所在的抛物线的方程为x2=2py(p>0),
代入点C(1,2)得p=,
得曲线AC的方程为y=2x2(0≤x≤1),
欲使得△BEF的面积最大,必有EF与抛物线弧AC相切,
设切点为P(t,2t2),0≤t≤1,
由y=2x2得y′=4x,故点P(t,2t2)处切线的斜率为4t,
切线的方程为y﹣2t2=4t(x﹣t),
即y=4tx﹣2t2,
当t=0时显然不合题意,故0<t≤1,
令x=1得yP=4t﹣2t2,令y=0得xK=t,
则S△BEF=BE?BF=(1﹣)(4t﹣2t2)=t3﹣2t2+2t,
设f(t)=t3﹣2t2+2t,0<t≤1,
则f′(t)=(3t﹣2)(t﹣2),
令f′(t)>0得0<t<,令f′(t)<0得<t≤1,
故f(t)在(0,)上递增,在(,1]上递减,
故f(t)max=f()=,
而<0.6,故该方案所得△BEF区域不能满足该项目的用地要求.
20. 已知: A(-5,0)、B(5,0), 直线AM,BM交于M,且它们的斜率之积是,求点M的轨迹方程,并说明该轨迹是何曲线。
参考答案:
解:设M的坐标(x,y),知 kAM=, kBM=
由已知得, 化简得轨迹方程为:
该轨迹是椭圆(去掉两个顶点)
21. 已知函数.
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点,求实数的取值范围.
参考答案:
(1)(),.………………….2分
即有曲线在点处的切线斜率为,.………………….3分
则曲线在点处的切线方程为,
即为..…………………5分
(2)令,
即有,即在上有实数解. .………………….7分
令,,
当时,,递减,
当时,,递增,.…………………10分
即有取得极小值,也为最小值,且为,.………………….11分
即有,
则的取值范围是..………………….12分
22. 已知为定义在上的奇函数,当时,;
(1)求在上的解析式;
(2)试判断函数在区间上的单调性
参考答案:
(1)
(2)函数在区间上为单调减函数.见解析。
本试题主要是考查了函数的 解析式和单调性的求解的综合运用。
(1)当时,,
所以,
又
(2)设是区间上的任意两个实数,且,
则,利用定义法,变形定号,下结论。
解:(1)当时,,
所以,
又 6分
(2)函数在区间上为单调减函数.
证明如下:
设是区间上的任意两个实数,且,
则8分
,
因为,
所以 即.
所以函数在区间上为单调减函数. 12分
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