湖南省株洲市下东中学2022-2023学年高二数学理模拟试题含解析

湖南省株洲市下东中学2022-2023学年高二数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设向量,,则下列结论中正确的是（   ） A.            B. C.               D. 与垂直 参考答案： D 2. 圆与圆的位置关系是（  ） A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 相离 参考答案： C 【分析】 据题意可知两个圆的圆心分别为，；半径分别为1和4；圆心距离为5，再由半径长度与圆心距可判断两圆位置关系. 【详解】设两个圆的半径分别为和，因为圆的方程为 与圆 所以圆心坐标，圆心距离为5，由，可知两圆外切，故选C. 3. 在△ABC中，已知b＝30，c＝15，C＝26°，则此三角形的解的情况是(　　) A．一个解　　　　　　B．两个解       C．无解   D．无法确定 参考答案： B 4. 若为实数，则下列命题正确的是（     ） A．若，则             B．若，则 C．若，则             D．若，则 参考答案： B 5. 给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导函数，记=，若＜0在D上恒成立，则称在D上为凸函数，以下四个函数在上不是凸函数的是（      ） A. =         B. = C. =        D. = 参考答案： B 略 6. 命题的否定为（    ） A．        B．        C．        D． 参考答案： C 7. 已知圆经过点A（6,5），B（0,1）两点，并且圆心在直线上.则圆的方程为（  ） A.   B. C.             D. 参考答案： C 8. 已知是定义在上的非负可导函数,且满足.对任意正数,若,则必有 A．     B．    C．    D． 参考答案： A 9. 在中，若，则B等于 A．1050       B．600或1200       C．150       D．1050或150 参考答案： D 10. 如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每一块种一种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法总数为（    ）. A．96           B．84           C．60           D．48 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 我们把形如的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得，两边对x求导数，得于是， 运用此方法可以求得函数在（1，1）处的切线方程是          . 参考答案： 略 12. 一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是                 。 参考答案： 14 13. 过抛物线y2=4x的焦点，作倾斜角为的直线交抛物线于P、Q两点，O为坐标原点，则POQ的面积为_________ 参考答案： 2. 14. 若正方体外接球的体积是，则正方体的棱长等于_______________． 参考答案： 15. 已知为椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于两点,若,则=__________. 参考答案： 8 16. 下列关于直线a，b和平面的四个命题中： （1）若，则；（2）若，则； （3）若，则；（4）若，则． 所有正确命题的序号为______． 参考答案： （2）（3） 【分析】 由空间中直线与直线，直线与平面的位置关系逐一核对四个命题得答案． 【详解】（1）由，则或，故（1）错误； （2）由，则或，又，则，故（2）正确； （3）若，由直线与平面平行的判定可得，故（3）正确； （4）若，则或或与相交，故（4）错误． ∴正确命题的序号为（2），（3）． 故答案为：（2）（3）． 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，是中档题． 17. 若且则的最大值为________. 参考答案：      解析：          而， 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18.  如果学生的成绩大于或等于60分，则输出“及格”，否则输出“不及格”.用程序框图表示这一算法过程. 参考答案： 19. 如图所示，矩形ABCD为本市沿海的一块滩涂湿地，其中阴影区域有丹顶鹤活动，曲线AC是以AD所在直线为对称轴的抛物线的一部分，其中AB=1km，BC=2km，现准备开发一个面积为0.6km2的湿地公园，要求不能破坏丹顶鹤活动区域．问：能否在AB边上取点E、在BC边上取点F，使得△BEF区域满足该项目的用地要求？若能，请给出点E、F的选址方案；若不能，请说明理由． 参考答案： 由题意可得：△BEF区域满足该项目的用地要求等价于△BEF面积的最大值不小于0.6 km2，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，求出A，B，C，D的坐标，运用待定系数法求出曲线AC的方程，欲使得△BEF的面积最大，必有EF与抛物线弧AC相切，设出切点（t，2t2），0≤t≤1， 求出导数，可得切线的斜率和方程，求出三角形BEF的面积，设f（t）=t3﹣2t2+2t，0＜t≤1，求出导数和单调区间，可得极值，且为最值，即可判断是否满足要求． 解：△BEF区域满足该项目的用地要求等价于△BEF面积的最大值不小于0.6 km2， 以A为原点，AB所在直线为x轴， AD所在直线为y轴， 建立如图所示平面直角坐标系， 则A（0，0），B（1，0），C（1，2），D（0，2）， 设曲线AC所在的抛物线的方程为x2=2py（p＞0）， 代入点C（1，2）得p=， 得曲线AC的方程为y=2x2（0≤x≤1）， 欲使得△BEF的面积最大，必有EF与抛物线弧AC相切， 设切点为P（t，2t2），0≤t≤1， 由y=2x2得y′=4x，故点P（t，2t2）处切线的斜率为4t， 切线的方程为y﹣2t2=4t（x﹣t）， 即y=4tx﹣2t2， 当t=0时显然不合题意，故0＜t≤1， 令x=1得yP=4t﹣2t2，令y=0得xK=t， 则S△BEF=BE?BF=（1﹣）（4t﹣2t2）=t3﹣2t2+2t， 设f（t）=t3﹣2t2+2t，0＜t≤1， 则f′（t）=（3t﹣2）（t﹣2）， 令f′（t）＞0得0＜t＜，令f′（t）＜0得＜t≤1， 故f（t）在（0，）上递增，在（，1]上递减， 故f（t）max=f（）=， 而＜0.6，故该方案所得△BEF区域不能满足该项目的用地要求． 20. 已知: A(-5,0)、B(5,0), 直线AM，BM交于M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程，并说明该轨迹是何曲线。 参考答案： 解：设M的坐标(x,y),知 kAM=,     kBM= 由已知得,    化简得轨迹方程为： 该轨迹是椭圆（去掉两个顶点）   21. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点，求实数的取值范围. 参考答案： （1）（），.………………….2分 即有曲线在点处的切线斜率为，.………………….3分 则曲线在点处的切线方程为， 即为..…………………5分 （2）令， 即有，即在上有实数解. .………………….7分 令，， 当时，，递减， 当时，，递增，.…………………10分 即有取得极小值，也为最小值，且为，.………………….11分 即有， 则的取值范围是..………………….12分 22. 已知为定义在上的奇函数，当时，； （1）求在上的解析式； （2）试判断函数在区间上的单调性 参考答案： (1)       (2)函数在区间上为单调减函数.见解析。 本试题主要是考查了函数的 解析式和单调性的求解的综合运用。 （1）当时,， 所以， 又 （2）设是区间上的任意两个实数，且， 则，利用定义法，变形定号，下结论。 解：(1)当时,， 所以， 又    6分  (2)函数在区间上为单调减函数. 证明如下: 设是区间上的任意两个实数，且， 则8分    ， 因为, 所以   即. 所以函数在区间上为单调减函数.    12分