浙江省衢州市湖镇中学高二数学理期末试题含解析

浙江省衢州市湖镇中学高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 过双曲线的右焦点作直线交曲线于A、B两点,若则 这样的直线存在（   ） A.  0条        B. 1条      C. 2条       D.3条 参考答案： B 2. y=cos（x∈R）的最小正周期是（　　） A． B．2π C．3π D．6π 参考答案： D 【考点】三角函数的周期性及其求法． 【分析】直接利用三角函数的周期公式求函数的最小正周期即可． 【解答】解：y=cos（x∈R） ∴函数f（x）的最小正周期T=； 故选D． 3. 若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（  ） A．   B．   C．   D． 参考答案： A 略 4. 已知函数对于满足的任意，，给出下列结论： ①；                   ②； ③．        ④ 其中正确结论的个数有      A．                  B．                  C．             D． 参考答案： B 5. 已知为等比数列，，，则（    ） A.            B.            C.       D. 参考答案： D 略 6. 已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】由题意可知：2b=2×2c，即b=2c，a2=b2+c2=4c2+c2=5c2，则a=c，椭圆的离心率e==． 【解答】解：由题意可知：设椭圆的方程为：（a＞b＞0）， 由2b=2×2c，即b=2c， a2=b2+c2=4c2+c2=5c2，则a=c， ∴椭圆的离心率e==， 椭圆的离心率， 故选D． 【点评】本题考查椭圆的离心率公式，考查计算能力，属于基础题． 　 7. 在△ABC中，已知a：b：c=3：2：4，那么cosC=（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 参考答案： D 【考点】余弦定理． 【分析】根据a：b：c=3：2：4，利用余弦定理求出cosC的值． 【解答】解：△ABC中，a：b：c=3：2：4， 所以设a=3k，b=2k，c=4k，且k≠0； 所以cosC===﹣． 故选：D． 8. 已知函数若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（    ） A.       B.       C.      D. 参考答案： B 略 9. 有一段演绎推理：“因为对数函数是减函数；已知是对数函数，所以是减函数”，结论显然是错误的，这是因为 （    ）                         A．推理形式错误     B．小前提错误     C．大前提错误    D．非以上错误 参考答案： C 10. 正数x, y满足2x+y=1，则的最小值为（    ） A、3         B、 2        C、          D、 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 把边长为1的正方形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使顶点B和D的距离为1，此时D点到平面ABC的距离为            。 参考答案： 略 12. 执行下列程序框图，如果输入的是6，那么输出的是　　　　　。 参考答案： 720。 该框图的功能是计算，即 ∵　∴。 13. 不等式的解集为_______________; 参考答案： 14. 已知关于x的二项式的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为      参考答案： 2 由已知，，所以，展开式的通项为， 令，得，由得. 考点：二项式定理及二项式系数的性质. 15. 已知函数，若，则实数a的取值范围__________. 参考答案： (－2,1) 【分析】 设，再求函数的奇偶性和单调性，再利用函数的奇偶性和单调性解不等式得解. 【详解】设， 因为，所以函数是奇函数，其函数图像为 函数在R上单调递增， 由题得， 所以, 所以, 所以， 所以. 故答案为： 【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性及其应用，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 16. ．函数的单调递增区间是_____________ 参考答案： 17. 的逆矩阵为        . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为xm，总费用y（单位：元） （1）将y表示为x的函数：     （2）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。 参考答案： 解：（1）设矩形的另一边长为a m 则-45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360 由已知xa=360,得a=, 所以y=225x+      w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    (II) .当且仅当225x=时，等号成立. 即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元. w.w.w.k.s.5.u. 略 19. 已知函数f（x）=cos2x+sinxcosx﹣． （1）若x∈[0，]，求f（x）的最大值及取得最大值时相应的x的值； （2）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若f（）=1，b=l，c=4，求a的值． 参考答案： 【考点】GT：二倍角的余弦；GQ：两角和与差的正弦函数；GS：二倍角的正弦；H4：正弦函数的定义域和值域；HR：余弦定理． 【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式及辅助角公式对函数化简可得f（x）=，结合，可求sin（2x+）的范围，进而可求函数的最大值及取得最大值的x （Ⅱ）由，及0＜A＜π，可求A，结合b=1，c=4，利用余弦定理可求a 【解答】解：（Ⅰ） ==．                          …（4分） ∵， ∴， ∴，即． ∴f（x）max=1，此时， ∴．        …（8分） （Ⅱ）∵， 在△ABC中，∵0＜A＜π，， ∴，．                       …（10分） 又b=1，c=4， 由余弦定理得a2=16+1﹣2×4×1×cos60°=13 故．                …（12分） 【点评】本题主要考查了三角函数中二倍角公式、辅助角公式在三角函数化简中的应用，正弦函数的性质的应用，及余弦定理解三角形的应用． 20. (本小题共12分)已知函数()=In(1+)-+ (≥0)。 (Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程； (Ⅱ)求()的单调区间。 参考答案： （I）当时，，  由于，，        所以曲线在点处的切线方程为                      即   （II），.      当时，.      所以，在区间上，；在区间上，.      故得单调递增区间是，单调递减区间是.      当时，由，得，      所以，在区间和上，；在区间上，     故得单调递增区间是和，单调递减区间是.     当时，    故得单调递增区间是. 当时，，得，. 所以没在区间和上，；在区间上， 故得单调递增区间是和，单调递减区间是 21. （本小题满分12分）如图，设P是圆上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上一点，且 (1)求：当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程。 (2)直线l：kx+y-5=0恒与点M的轨迹C有交点，求k的取值范围。   参考答案： (1)设M的坐标为（x,y）P的坐标为（xp,yp） 由已知得 ∵P在圆上， ∴   ， 即C的方程为 (2)联立直线与椭圆方程可的，利用判别式， 求的 22. 已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B． （ⅰ）设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明为定值； （ⅱ）求直线AB的斜率的最小值． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出椭圆的几何量，即可求解椭圆C的方程； （Ⅱ）（ⅰ）设出N的坐标，求出PQ坐标，求出直线的斜率，即可推出结果 （ⅱ）求出直线PM，QM的方程，然后求解B，A坐标，利用AB的斜率求解最小值． 【解答】解：（Ⅰ）椭圆C： +=1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2．可得a=2，c=，b=， 可得椭圆C的方程：； （Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），设N（﹣t，0）t＞0，M是线段PN的中点，则P（t，2m），过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，Q（t，﹣2m）， （ⅰ）证明：设直线PM，QM的斜率分别为k，k′， k==，k′==﹣， ==﹣3．为定值； （ⅱ）由题意可得，m2=4﹣t2，QM的方程为：y=﹣3kx+m， PN的方程为：y=kx+m， 联立，可得：x2+2（kx+m）2=4， 即：（1+2k2）x2+4mkx+2m2﹣4=0 可得xA=，yA=+m， 同理解得xB=， yB=， xA﹣xB=k﹣=，   yA﹣yB=k+m﹣（）=， kAB===，由m＞0，x0＞0，可知k＞0， 所以6k+，当且仅当k=时取等号． 此时，即m=，符合题意． 所以，直线AB的斜率的最小值为：．