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浙江省衢州市湖镇中学高二数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 过双曲线的右焦点作直线交曲线于A、B两点,若则
这样的直线存在( )
A. 0条 B. 1条 C. 2条 D.3条
参考答案:
B
2. y=cos(x∈R)的最小正周期是( )
A. B.2π C.3π D.6π
参考答案:
D
【考点】三角函数的周期性及其求法.
【分析】直接利用三角函数的周期公式求函数的最小正周期即可.
【解答】解:y=cos(x∈R)
∴函数f(x)的最小正周期T=;
故选D.
3. 若关于的方程有且只有两个不同的实数根,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
4. 已知函数对于满足的任意,,给出下列结论:
①; ②;
③. ④
其中正确结论的个数有
A. B. C. D.
参考答案:
B
5. 已知为等比数列,,,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
6. 已知椭圆的短轴长是焦距的2倍,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】由题意可知:2b=2×2c,即b=2c,a2=b2+c2=4c2+c2=5c2,则a=c,椭圆的离心率e==.
【解答】解:由题意可知:设椭圆的方程为:(a>b>0),
由2b=2×2c,即b=2c,
a2=b2+c2=4c2+c2=5c2,则a=c,
∴椭圆的离心率e==,
椭圆的离心率,
故选D.
【点评】本题考查椭圆的离心率公式,考查计算能力,属于基础题.
7. 在△ABC中,已知a:b:c=3:2:4,那么cosC=( )
A. B. C.﹣ D.﹣
参考答案:
D
【考点】余弦定理.
【分析】根据a:b:c=3:2:4,利用余弦定理求出cosC的值.
【解答】解:△ABC中,a:b:c=3:2:4,
所以设a=3k,b=2k,c=4k,且k≠0;
所以cosC===﹣.
故选:D.
8. 已知函数若方程有两个不相等的实根,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
9. 有一段演绎推理:“因为对数函数是减函数;已知是对数函数,所以是减函数”,结论显然是错误的,这是因为 ( )
A.推理形式错误 B.小前提错误 C.大前提错误 D.非以上错误
参考答案:
C
10. 正数x, y满足2x+y=1,则的最小值为( )
A、3 B、 2 C、 D、
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 把边长为1的正方形纸片ABCD沿对角线AC翻折,使顶点B和D的距离为1,此时D点到平面ABC的距离为 。
参考答案:
略
12. 执行下列程序框图,如果输入的是6,那么输出的是 。
参考答案:
720。
该框图的功能是计算,即
∵ ∴。
13. 不等式的解集为_______________;
参考答案:
14. 已知关于x的二项式的展开式的二项式系数之和为32,常数项为80,则a的值为
参考答案:
2
由已知,,所以,展开式的通项为,
令,得,由得.
考点:二项式定理及二项式系数的性质.
15. 已知函数,若,则实数a的取值范围__________.
参考答案:
(-2,1)
【分析】
设,再求函数的奇偶性和单调性,再利用函数的奇偶性和单调性解不等式得解.
【详解】设,
因为,所以函数是奇函数,其函数图像为
函数在R上单调递增,
由题得,
所以,
所以,
所以,
所以.
故答案为:
【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性及其应用,考查函数的图像和性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
16. .函数的单调递增区间是_____________
参考答案:
17. 的逆矩阵为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 围建一个面积为360m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修),其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口,已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为xm,总费用y(单位:元)
(1)将y表示为x的函数:
(2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。
参考答案:
解:(1)设矩形的另一边长为a m
则-45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360
由已知xa=360,得a=,
所以y=225x+ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(II)
.当且仅当225x=时,等号成立.
即当x=24m时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是10440元. w.w.w.k.s.5.u.
略
19. 已知函数f(x)=cos2x+sinxcosx﹣.
(1)若x∈[0,],求f(x)的最大值及取得最大值时相应的x的值;
(2)在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,若f()=1,b=l,c=4,求a的值.
参考答案:
【考点】GT:二倍角的余弦;GQ:两角和与差的正弦函数;GS:二倍角的正弦;H4:正弦函数的定义域和值域;HR:余弦定理.
【分析】(Ⅰ)利用二倍角公式及辅助角公式对函数化简可得f(x)=,结合,可求sin(2x+)的范围,进而可求函数的最大值及取得最大值的x
(Ⅱ)由,及0<A<π,可求A,结合b=1,c=4,利用余弦定理可求a
【解答】解:(Ⅰ) ==. …(4分)
∵,
∴,
∴,即.
∴f(x)max=1,此时,
∴. …(8分)
(Ⅱ)∵,
在△ABC中,∵0<A<π,,
∴,. …(10分)
又b=1,c=4,
由余弦定理得a2=16+1﹣2×4×1×cos60°=13
故. …(12分)
【点评】本题主要考查了三角函数中二倍角公式、辅助角公式在三角函数化简中的应用,正弦函数的性质的应用,及余弦定理解三角形的应用.
20. (本小题共12分)已知函数()=In(1+)-+ (≥0)。
(Ⅰ)当=2时,求曲线=()在点(1,(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求()的单调区间。
参考答案:
(I)当时,, 由于,, 所以曲线在点处的切线方程为
即
(II),.
当时,.
所以,在区间上,;在区间上,.
故得单调递增区间是,单调递减区间是.
当时,由,得,
所以,在区间和上,;在区间上,
故得单调递增区间是和,单调递减区间是.
当时, 故得单调递增区间是.
当时,,得,.
所以没在区间和上,;在区间上,
故得单调递增区间是和,单调递减区间是
21. (本小题满分12分)如图,设P是圆上的动点,点D是P在x轴上的射影,M为PD上一点,且
(1)求:当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程。
(2)直线l:kx+y-5=0恒与点M的轨迹C有交点,求k的取值范围。
参考答案:
(1)设M的坐标为(x,y)P的坐标为(xp,yp)
由已知得
∵P在圆上, ∴ ,
即C的方程为
(2)联立直线与椭圆方程可的,利用判别式,
求的
22. 已知椭圆C: +=1(a>b>0)的长轴长为4,焦距为2.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过动点M(0,m)(m>0)的直线交x轴于点N,交C于点A,P(P在第一象限),且M是线段PN的中点,过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长QM交C于点B.
(ⅰ)设直线PM,QM的斜率分别为k,k′,证明为定值;
(ⅱ)求直线AB的斜率的最小值.
参考答案:
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.
【分析】(Ⅰ)利用已知条件求出椭圆的几何量,即可求解椭圆C的方程;
(Ⅱ)(ⅰ)设出N的坐标,求出PQ坐标,求出直线的斜率,即可推出结果
(ⅱ)求出直线PM,QM的方程,然后求解B,A坐标,利用AB的斜率求解最小值.
【解答】解:(Ⅰ)椭圆C: +=1(a>b>0)的长轴长为4,焦距为2.可得a=2,c=,b=,
可得椭圆C的方程:;
(Ⅱ)过动点M(0,m)(m>0)的直线交x轴于点N,交C于点A,P(P在第一象限),设N(﹣t,0)t>0,M是线段PN的中点,则P(t,2m),过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,Q(t,﹣2m),
(ⅰ)证明:设直线PM,QM的斜率分别为k,k′,
k==,k′==﹣,
==﹣3.为定值;
(ⅱ)由题意可得,m2=4﹣t2,QM的方程为:y=﹣3kx+m,
PN的方程为:y=kx+m,
联立,可得:x2+2(kx+m)2=4,
即:(1+2k2)x2+4mkx+2m2﹣4=0
可得xA=,yA=+m,
同理解得xB=,
yB=,
xA﹣xB=k﹣=,
yA﹣yB=k+m﹣()=,
kAB===,由m>0,x0>0,可知k>0,
所以6k+,当且仅当k=时取等号.
此时,即m=,符合题意.
所以,直线AB的斜率的最小值为:.
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