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福建省福州市东张中学高二数学理测试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 当时，用秦九韶算法计算多项式的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（ ）
A. 6，6 B. 5，6 C. 5，5 D. 6，5
参考答案：
A
2. 在三角形ABC中，A、B、C的对应边分别是a、b、c，若acos C＝ccos A，且a、b、c成等比，则三角形ABC是
A.等边三角形 B.直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形
参考答案：
A
∵sin Acos C＝sin Ccos Asin(A－C)＝0A＝Ca＝c，由b2＝ac，故a＝b＝c，选A.
3. 将全体正奇数排成一个三角形数阵：
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
……
按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为
A、 B、
C、 D、
参考答案：
D
4. 已知条件：，条件：圆与圆相切，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
参考答案：
A
略
5. 由直线y＝2x及曲线y＝3－x2围成的封闭图形的面积为( )
A．2 B．9－2 C. D.
参考答案：
D
注意到直线y＝2x与曲线y＝3－x2的交点A，B的坐标分别是(－3，－6)，(1,2)，因此结选D.
6. 设是椭圆E： 的左右焦点，P在直线上一点，是底角为的等腰三角形，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B. C. D.
参考答案：
B
7. 一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比为（ ）
Ａ． Ｂ． C． D．
参考答案：
D
8. 已知直线与抛物线相交于两点，F为抛物线的焦点，若，则k的值为（ ）。
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
9. 若直线与曲线有公共点,则b的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
参考答案：
C
略
10. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是（ ）
A． B． C． D．3
参考答案：
C
【考点】余弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】将“c2=（a﹣b）2+6”展开，另一方面，由余弦定理得到c2=a2+b2﹣2abcosC，比较两式，得到ab的值，计算其面积．
【解答】解：由题意得，c2=a2+b2﹣2ab+6，
又由余弦定理可知，c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，
∴﹣2ab+6=﹣ab，即ab=6．
∴S△ABC==．
故选：C．
【点评】本题是余弦定理的考查，在高中范围内，正弦定理和余弦定理是应用最为广泛，也是最方便的定理之一，高考中对这部分知识的考查一般不会太难，有时也会和三角函数，向量，不等式等放在一起综合考查．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知全集U={1,2,3,4}，集合A={1,2} ，B={2,3}，则CU(A∪B)= _______。
参考答案：
{4}
由,得：，则，故答案为.
12. 已知点（﹣4，0）是椭圆kx2+3ky2=1的一个焦点，则k= ．
参考答案：
【考点】K4：椭圆的简单性质．
【分析】利用椭圆的焦点坐标，列出方程求解即可．
【解答】解：点（﹣4，0）是椭圆kx2+3ky2=1的一个焦点，
可得：，
解得k=．
故答案为：．
13. 设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且，则
的面积等于 ▲ ．
参考答案：
24
【分析】
先由双曲线的方程求出|F1F2|=10，再由3|PF1|=4|PF2|，求出|PF1|=8，|PF2|=6，由此能求出△PF1F2的面积．
【详解】双曲线的两个焦点F1（﹣5，0），F2（5，0），|F1F2|=10，
由3|PF1|=4|PF2|，设|PF2|=x，则|PF1|=x，
由双曲线的性质知x﹣x=2，解得x=6．
∴|PF1|=8，|PF2|=6，
∵|F1F2|=10，∴∠F1PF2=90°，
∴△PF1F2的面积=×8×6=24．
故答案为：24．
【点睛】本题考查双曲线的性质和应用，考查三角形面积的计算，属于基础题．
14. 已知动点到点的距离等于它到直线的距离，则点的轨迹方程是 ▲ .
参考答案：
略
15. 在 中，，求的面积________ 。
参考答案：
略
16. 三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
参考答案：
略
17. 已知中，分别为内角的对边，且，则______．
参考答案：
，∴利用余弦定理可得，整理可得：，
∴由余弦定理可得：，故答案为．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，AC=BC，D、E、F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．
（1）证明：EF∥平面A1CD；
（2）证明：平面A1CD⊥平面ABB1A1．
参考答案：
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明EF∥A1D即可证明EF∥平面A1CD；
（2）根据面面垂直的判定定理即可证明平面A1CD⊥平面ABB1A1．
【解答】证明：（1）连结DE，
∵D，E分别是AB，BC的中点
∴DE∥AC，DE=AC，
∵F为棱A1C1的中点．
∴A1F=A1C1，
∴A1F∥AC，
即DE∥A1F，DE=A1F，
∴四边形A1DEF为平行四边形，
∴A1D∥EF
又∵EF?平面A1CD，A1D?平面A1CD，
∴EF∥平面A1CD．
（2）∵A1A⊥平面ABC，CD?平面ABC，
∴AA1⊥CD，
∵AC=BC，D为AB的中点，
∴AB⊥CD，
∵A1A∩AB=A
∴CD⊥平面ABB1A1
∵CD?平面A1CD，
∴平面A1CD⊥平面ABB1A1．
【点评】本题主要考查空间直线和平面平行以及平面和平面垂直的判定，要求熟练掌握相应的判定定理．
19. 函数
（1）若函数在内有两个极值点，求实数a的取值范围；
（2）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案：
（1） 或．（2）
【分析】
（1）先对函数求导、然后因式分解，根据函数在在内有两个极值点列不等式组，解不等式组求得的取值范围.（2）先对函数求导并因式分解.对分成三种情况，利用的单调性，结合不等式在上恒成立列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】解：（1）由题意知，．
有得： 或．
（2）．
①当时，，符合题意．
②当时，令，得或，
此时函数的增区间为，减区间为．
此时只需：
解得：或，故．
③当时，令，得或，
此时函数的增区间为，，减区间为，
此时只需：解得：，故，
由上知实数a的取值范围为．
【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间、极值，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，综合性很强，属于难题.
20. （普通班）.（本小题满分12分）
已知数列满足．
(1)求；
(2)求数列的通项公式．
参考答案：
21. （本小题满分14分）
数列{an}满足Sn＝2n+2an(n∈N*)．
(1)计算a1、a2、a3，
（2）有同学猜想an＝；请根据你的计算确定的值，并用数学归纳法证明。
参考答案：
(1)当n＝1时，a1＝S1＝2+2a1，∴a1＝－2 ……………………1分
当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2+2a2，∴a2＝－6 ……………………2分
当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3+2a3，∴a3＝－14 ……………………3分
当n＝4时，a1＋a2＋a3+＝S4＝2×4+2a4，∴a4＝－30 ……………………4分
（2）＝n+1,由此猜想an＝ (n∈N*) ………………7分
证明：①当n＝1时，a1＝－2，结论成立， ……………………8分
②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时，猜想成立，
即ak＝成立，
当n＝k＋1时， ……………………9分
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)+2ak＋1－2k－2ak＝2－2ak+2ak＋1，
∴ak＋1＝－2＋2ak＝－2+2（）＝2－
即，当n＝k＋1时，猜想成立， ……………………12分
根据，①和②对于一切的自然数n∈N*，猜想成立． ……………………14分
22. （本题满分10分）命题关于的不等式,对一切恒成立，:函数是增函数。若或为真，且为假，求实数的取值范围
参考答案：
p为真：△=4-16<0 -2<<2, q为真：3-2>1 <1 ...............2分
因为p或q为真，p且q为假 p,q一真一假 ...............4分
当p真q假时， 1≤ ...............6分
当p假q真时， ...............8分
的取值范围为 ...............10分
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