2022年广东省潮州市高堂中学高二数学理上学期期末试题含解析

2022年广东省潮州市高堂中学高二数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数的图象如图(其中是函数的导函数),下面四个图象中,的图象可能是B                   A．          B．          C．        D． 参考答案： B 2. 取一根长度为3cm的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪的两段的长都不小于m的概率是（    ） A、               B、            C、 D、不能确定 参考答案： B 3. 已知椭圆与抛物线的交点为A，B，A，B连线经过抛物线的焦点F，且线段AB的长度等于椭圆的短轴长，则椭圆的离心率为（    ） A．         B．       C.         D． 参考答案： B 分析：由题意求得点A,B的坐标后代入椭圆的方程，可得间的关系式，于是可得椭圆的离心率． 详解：由题意得抛物线的焦点为， ∵连线经过抛物线的焦点，且， ∴点的坐标分别为，不妨设点B坐标为． 由点B在抛物线上可得， ∴，故点B坐标为， 又点B在椭圆上， ∴，整理得， ∴． 故选B．   4. 容量为的样本数据，按从小到大的顺序分为组，如下表： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 频数 10 13 x 14 15 13 12 9 第三组的频数和频率分别是 (   ) A.14和0.14     B.  0.14和14    C. 和0.14    D.和 参考答案： A 5. 已知直线，直线.有下面四个命题：（  ） ①       ② ③       ④ 其中正确的两个命题是 A．①与②   B.③与④    C.②与④   D.①与③ 参考答案： D 略 6. 函数是 （    ） A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为2π的奇函数 D．最小正周期为2π的偶函数 参考答案： A 略 7. 命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题是（　　） A．若x+y是偶数，则x与y不都是偶数 B．若x+y是偶数，则x与y都不是偶数 C．若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数 D．若x+y不是偶数，则x与y都不是偶数 参考答案： C 【考点】四种命题间的逆否关系． 【分析】若命题为“若p则q”，命题的逆否命题为“若非q，则非p”，而x，y都是偶数的否定应为x与y不都是偶数． 【解答】解：若命题为“若p则q”，命题的逆否命题为“若非q，则非p”， 所以原命题的逆否命题是“若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数” 故选C 【点评】本题考查命题的逆否命题，属基础知识的考查，在写逆否命题时，注意量词的变化． 8. 如图，在直角梯形中，，∥， ，，动点在以点为圆心，且与直 线相切的圆上或圆内移动，设 （，），则取值范围是（    ）    A．   B．   C．   D． 参考答案： B 略 9. 过点（4，0）和点（0，3）的直线的倾斜角为                                                      A.         B.         C.         D. 参考答案： B 10. “x<2”是“”的  （  ） A、充分不必要条件   B、必要不充分条件   C、充要条件   D、既不充分也不必要条件 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，若关于x的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围为__________. 参考答案： 【分析】 由方程可解得f（x）＝1或f（x）＝m﹣1；分析函数f（x）的单调性与极值，画出f（x）的大致图像，数形结合即可得到满足4个根时的m的取值范围． 【详解】解方程得， f（x）＝1或f（x）＝m﹣1； 又当x>0时， ，f′（x）； 故f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增； 且f（1）， 当x＜0时， ，f′（x）>0,所以在（﹣∞，0）上是增函数，画出的大致图像： 若有四个不相等的实数解，则f（x）＝1有一个根记为t， 只需使方程f（x）＝m﹣1有3个不同于t的根， 则m﹣1； 即1； 故答案为 【点睛】本题考查了利用导数研究方程根的问题，考查了函数的单调性、极值与图像的应用，属于中档题． 12. .如图二面角内一点P到平面的距离为PC=1,到平面 的距离为PD=3,且CD=，则二面角的大小为______________ .   参考答案： 120o 略 13. 已知函数，则f (4) =_________. 参考答案： 3 略 14.             . 参考答案： 2 ，，则：，，∴答案是2  15. 已知点P（2，1），若抛物线y2=4x的一条弦AB恰好是以P为中点，则弦AB所在直线方程是　　． 参考答案： 2x﹣y﹣3=0 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】计算题． 【分析】先设出直线方程，再联立直线方程与抛物线方程整理可得A，B的横坐标与直线的斜率之间的关系式，结合弦AB恰好是以P为中点，以及中点坐标公式即可求出直线的斜率，进而求出直线方程． 【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB所在直线方程为：y﹣1=k（x﹣2） 即y=kx+1﹣2k 联立整理得k2x2+[2k（1﹣2k）﹣4]x+（1﹣2k）2=0． 所以有x1+x2=﹣ ∵弦AB恰好是以P为中点， ∴﹣=4 解得k=2． 所以直线方程为 y=2x﹣3，即2x﹣y﹣3=0． 故答案为：2x﹣y﹣3=0． 【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题．解决本题的关键在于利用中点坐标公式以及韦达定理得到关于直线的斜率的等式． 16. 设椭圆的左,右焦点分别为F1,F2,过焦点F1的直线交椭圆于两点,若△ABF2的内切圆的面积为π,则            参考答案： 3 17. 如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，底面为直角三角形，∠ACB=90°，AC=2，BC=1，CC1=，P是BC1上一动点，则A1P+PC的最小值是　　． 参考答案： 【考点】棱柱的结构特征． 【分析】连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，利用两点之间线段最短，即可求出满足条件的P的位置，然后利用余弦定理即可求解． 【解答】解：连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，如图所示， 连A1C，则A1C的长度就是所求的最小值． 在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，底面为直角三角形，∠ACB=90°，AC=2，BC=1，CC1=， ∴BC1=2，A1C1=2，A1B=2，BC=1，CC1=， 即∠A1C1B=90°，∠CC1B=30°， ∴∠A1C1C=90°+30°=120°， 由余弦定理可求得A1C2==， ∴A1P+PC的最小值是， 故答案为：． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在圆锥PO中，已知PO＝2，⊙O的直径AB＝4，点C在底面圆周上，且∠CAB＝30°，D为AC的中点．(1)证明：AC⊥平面POD；(2)求点O到面PAD的距离。 参考答案： （1）证明：面， 且面 ―――――――――――――2分              由于是直径，且点在圆周上，故有                                 点分别是的中点              ∥              ―――――――――――5分           又             面――――――――――7分 （2）解：由（1）知面，又有面         面面 ――――――――――――9分 面面＝        作，垂足为，则有 面            从而面 ―――――――――――――11分ks5u       在中，               ―――――――――――――――――－13分            ―――――――――――14分 略 19. 已知椭圆=1  （）的离心率. 直线（）与曲线交于不同的两点M,N,以线段MN为直径作圆,圆心为．                ⑴求椭圆的方程； ⑵若圆与轴相交于不同的两点，且的面积为，求圆的标准方程. 参考答案： 解：（1）∵椭圆的离心率,     ∴ .    解得. ∴ 椭圆的方程为． （2）依题意，圆心为．     由 得.     ∴ 圆的半径为．      ∵ 圆与轴相交于不同的两点，且圆心到轴的距离， ∴ ，即．  ∴ 弦长．     ∴的面积. ∴ 圆的标准方程为．   20. （满分12分）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．    （I）证明：平面PQC⊥平面DCQ；    （II）求二面角Q—BP—C的余弦值． 参考答案： 如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系 D—xyz. （I）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）. 则 所以 即PQ⊥DQ，PQ⊥DC. 故PQ⊥平面DCQ. 又PQ平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.  …………6分    （II）依题意有B（1，0，1）， 设是平面PBC的法向量，则 因此可取 设m是平面PBQ的法向量，则 可取ks5u 故二面角Q—BP—C的余弦值为   ………………12分 21. 已知函数．  （Ⅰ）当时，讨论的单调性. （Ⅱ）若的两个极值点为，且，求 的最小值. 参考答案： (Ⅰ)增区间为，，减区间为；(Ⅱ) 【分析】 （Ⅰ）对函数求导，解导数方程，得两根和，然后讨论与的大小关系，结合导数符号的变化得出函数的单调区间； （Ⅱ）由题意得出导数方程的两根为、，利用韦达定理得，将关系式代入并化简，转化为以为自变量的函数，然后构造以为自变量的新函数，利用导数求出该函数的最小值。 【详解】（Ⅰ）函数定义域：，。 ①时，由，增区间为， ②时，由得，或， 由得，， 增区间为，，减区间为， ③时，由得，或， 得，， 增区间为，，减区间为； （Ⅱ）， ， 方程两根为，， ， = = ， 令， ， 在单调递减，时，取到最小值， ，的最小值是。 【点睛】本题考查利用导数来求函数的单调区间，以及处理函数的极值问题，本题的关键点在于将函数的两个极值点转化为二次方程的两个根，巧妙地利用韦达定理将两个极值点联系了起来，并利用韦达定理进行化简，从而构造新函数来求解，也是本题的难点所在，考查化归与转化思想，属于难题。 22. （本小题满分12分）若数列{an}满足a1=2，an+1=. （1）设bn=，问：{bn}是否为等差数列？若是，请说明理由并求出通项bn； （2）设cn=an an+1，求{cn}的前n项和. 参考答案： （1）∵bn+1－bn=－=－=3 ∴{bn}是公差为3的等差数列 又b1== ∴bn=3n－ （2）∵bn= ∴an= 由an+1=得：3an+1 an+an+1=an                 an an+1=(an－an+1) ∴Cn=(an