河南省开封市西郊中学2022年高二数学理期末试题含解析

河南省开封市西郊中学2022年高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在的展开式中，如果第4项和第项的二项式系数相等，则的值为 A．4            B．5           C．6            D．7 参考答案： A 2. 如图，已知六棱锥的底面是正六边形，，则下列结论正确的是(   ) Ａ.　　             Ｂ.平面          C. 直线∥平面      Ｄ. 参考答案： D 略 3. 的展开式中，的系数是，则的系数是（    ） A.    B．    C．    D． 参考答案： A  解析： ，令         则，再令 4. 若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点在直线x﹣2y﹣2=0上，则该抛物线的准线方程为（　　） A．x=﹣2 B．x=4 C．x=﹣8 D．y=﹣4 参考答案： A 【考点】抛物线的标准方程． 【分析】先根据抛物线是标准方程可确定焦点的位置，再由直线x﹣2y﹣2=0与坐标轴的交点可得到焦点坐标，根据抛物线的焦点坐标和抛物线的标准形式可得到标准方程． 【解答】解：因为抛物线标准方程是y2=2px（p＞0），所以其焦点在x轴的正半轴上， 故其焦点坐标即为直线x﹣2y﹣2=0与坐标轴的交点， 所以其焦点坐标为（2，0）和（0，﹣1） 又抛物线y2=2px（p＞0）的焦点在x轴上， 故焦点为（2，0），可知=2，p=4， 所以抛物线方程为y2=8x，其准线方程为：x=﹣2 故选A． 5. 设为等差数列的前项和，若，则（   ） A．15                         B．30                       C．31                       D．64 参考答案： A   考点：等差数列的通项公式． 6. 下列结论正确的是（  ） A. 若则 B. 若则 C. 若则 D. 若则 参考答案： B 【分析】 利用不等式的性质、函数的性质和举反例逐一判断分析得解. 【详解】A. 若则是假命题，因为c=0时，显然不成立.所以该选项是错误的； B. 若则，因为函数f(x)=在R上是增函数，所以该选项是正确； C. 若则不一定成立，如a=1,b=-1，所以该选项是错误的； D. 若则不一定成立，如：a=2，b=-3，所以该选项是错误的. 故选：B 【点睛】本题主要考查不等式真假命题的判断，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 7. 观察下列（如图）数表规律，则数2007的箭头方向是（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】F1：归纳推理． 【分析】由题意，图中数字所处的位置呈周期性变化，可以观察出位置变化以4为周期，可选定1为开始位置，由周期性即可计算出2012所处的位置，即可选出正确选项 【解答】解：选定1作为起始点，由图看出，位置变化规律是以4为周期， 由于2007=4×501+3，可知第2007个数在3的位置，则发生在数2007附近的箭头方向是和3的方向相同； 故选D． 8. 设为等差数列，公差，为其前项和，若，则（  ） A．18        B．20          C．22           D．24 参考答案： B 9. 已知，则下列函数的图象错误的是               （    ） 参考答案： D 略 10. 在四棱锥S﹣ABCD中，为了推出AB⊥BC，需从下列条件： ①SB⊥面ABCD；②SC⊥CD；③CD∥面SAB；④BC⊥CD中选出部分条件，这些条件可能是(     ) A．②③ B．①④ C．②④ D．③④ 参考答案： D 考点：棱锥的结构特征． 专题：数形结合；分析法；空间位置关系与距离． 分析：逐项分析条件，得出每一个条件推出的结论，然后分析选项，得出答案． 解答：解：若三棱锥满足条件① ∵SB⊥面ABCD，AB?平面ABCD，BC?平面ABCD，CD?平面ABCD，AD?平面ABCD， ∴SB⊥AB，SB⊥BC，SB⊥CD，SB⊥AD； 若三棱锥满足条件② 侧面SCD是直角三角形； 若三棱锥满足条件③ ∵CD∥面SAB，CD?平面ABCD，平面ABCD∩平面SAB=AB， ∴CD∥AB， ∴底面ABCD是梯形； 若三棱锥满足条件④ 则底面ABCD内，∠BCD=90°， 综上，当满足条件③④时，底面ABCD为直角梯形，直腰为BC，∴AB⊥BC． 故选D． 点评：本题考查了空间线面的位置关系，正确分析每一个条件是重点 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图，在侧棱和底面垂直的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，当底面ABCD 满足条件               时，有（写出你认为正确的一种 条件即可。） 参考答案： ABCD是菱形或是正方形或是对角线互相垂直的四边形 略 12. 已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)·(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________. 参考答案： 1+2i 13. 过点（1，1）且与直线2x﹣y+1=0平行的直线方程为　     ． 参考答案： 2x﹣y﹣1=0 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系． 【分析】由直线的平行关系可设要求直线方程为2x﹣y+c=0，代点求c值可得． 【解答】解：由直线的平行关系可设要求直线方程为2x﹣y+c=0， 由直线过点（1，1）可得2×1﹣1+c=0，解得c=﹣1， ∴所求直线方程为2x﹣y﹣1=0， 故答案为：2x﹣y﹣1=0． 【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题． 　 14. 为等差数列的前项和，，则                . 参考答案： 21 15. 从区间（0，1）中随机取两个数，则两数之和小于1的概率为　　． 参考答案： 【考点】几何概型． 【分析】根据题意，设取出的两个数为x、y，分析可得“0＜x＜1，0＜y＜1”表示的区域为纵横坐标都在（0，1）之间的正方形区域，易得其面积为1，而x+y＜1．表示的区域为直线x+y=1下方，且在0＜x＜1，0＜y＜1所表示区域内部的部分，分别计算其面积，由几何概型的计算公式可得答案． 【解答】解：设取出的两个数为x、y； 则有0＜x＜1，0＜y＜1，其表示的区域为纵横坐标都在（0，1）之间的正方形区域，易得其面积为1， 而x+y＜1表示的区域为直线x+y=1下方，且在0＜x＜1，0＜y＜1表示区域内部的部分，如图， 易得其面积为； 则两数之和小于1的概率是 故答案为： 16. 已知a、b是不同的直线，、、是不同的平面，给出下列命题： ①若∥，a，则a∥     ②若a、b与所成角相等，则a∥b ③若⊥、⊥，则∥    ④若a⊥, a⊥，则∥ 其中正确的命题的序号是________________ ． 参考答案： ①④ 17. 不等式 的解集是为          参考答案： （-2,1） 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (12分)在平面直角坐标系中,已知双曲线. （1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及轴围成的三角形的面积; （2）设斜率为1的直线交于P、Q两点,若与圆相切, 求证:OP⊥OQ; （3）设椭圆. 若M、N分别是、上的动点,且OM⊥ON, 求证:O到直线MN的距离是定值. 参考答案： （1）双曲线,左顶点,渐近线方程:. 1分 过点A与渐近线平行的直线方程为 ,即. 2分 解方程组,得  3分 所求三角形的面积为  4分 (2)设直线PQ的方程是. 因直线与已知圆相切, 故,即  5分 由,得. 6分 设P(x1, y1)、Q(x2, y2),则. 又,所以 , 故OP⊥OQ  8分 (3)当直线ON垂直于x轴时, |ON|=1,|OM|=,则O到直线MN的距离为. 9分 当直线ON不垂直于x轴时, 设直线ON的方程为(显然),则直线OM的方程为. 由,得, 所以. 同理 10分 设O到直线MN的距离为d,因为 , 11分 所以,即d=. 综上,O到直线MN的距离是定值。  12分 19. 已知圆C在x轴上的截距为-1和3，在y轴上的一个截距为1。 （1）求圆C的标准方程； （2）若过点（2，-1）的直线l被圆C截得的弦AB的长为4，求直线l的方程。 参考答案： 略 20. （满分12分）已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项;（Ⅱ）求数列的前项和. 参考答案： 解：（Ⅰ）由题设知公差，     由，且成等比数列，得＝，…Ks5u……………3分     解得或（舍去），    故的通项……… 6分     (Ⅱ)由（Ⅰ）知，     由等比数列前项和公式得 ……12分 略 21. 设命题p：函数的定义域为R；命题q：3x﹣9x＜a对一切的实数x恒成立，如果命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】复合命题的真假． 【专题】规律型． 【分析】分别求出命题p，q成立的等价条件，利用p且q为假．确定实数k的取值范围． 【解答】解：要使函数的定义域为R，则不等式ax2﹣x+对于一切x∈R恒成立， 若a=0，则不等式等价为﹣x＞0，解得x＜0，不满足恒成立． 若a≠0，则满足条件， 即，解得，即a＞2，所以p：a＞2． ∵g（x）=3x﹣9x=﹣（）， ∴要使3x﹣9x＜a对一切的实数x恒成立， 则a，即q：a． 要使p且q为假，则p，q至少有一个为假命题． 当p，q都为真命题时，满足，即a＞2， ∴p，q至少有一个为假命题时有a≤2， 即实数a的取值范围是a≤2． 【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出p，q成立的等价条件是解决此类问题的关键．将p且q为假，转化为先求p且q为真是解决本题的一个技巧． 22. 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，右焦点到直线x+y+1=0的距离为. (1)求椭圆的方程； (2)直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于A，B的点，当△AOB面积取得最大值时，求直线l的方程. 参考答案： (1)由        得