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河南省开封市西郊中学2022年高二数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在的展开式中,如果第4项和第项的二项式系数相等,则的值为
A.4 B.5 C.6 D.7
参考答案:
A
2. 如图,已知六棱锥的底面是正六边形,,则下列结论正确的是( )
A. B.平面
C. 直线∥平面 D.
参考答案:
D
略
3. 的展开式中,的系数是,则的系数是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A 解析: ,令
则,再令
4. 若抛物线y2=2px(p>0)的焦点在直线x﹣2y﹣2=0上,则该抛物线的准线方程为( )
A.x=﹣2 B.x=4 C.x=﹣8 D.y=﹣4
参考答案:
A
【考点】抛物线的标准方程.
【分析】先根据抛物线是标准方程可确定焦点的位置,再由直线x﹣2y﹣2=0与坐标轴的交点可得到焦点坐标,根据抛物线的焦点坐标和抛物线的标准形式可得到标准方程.
【解答】解:因为抛物线标准方程是y2=2px(p>0),所以其焦点在x轴的正半轴上,
故其焦点坐标即为直线x﹣2y﹣2=0与坐标轴的交点,
所以其焦点坐标为(2,0)和(0,﹣1)
又抛物线y2=2px(p>0)的焦点在x轴上,
故焦点为(2,0),可知=2,p=4,
所以抛物线方程为y2=8x,其准线方程为:x=﹣2
故选A.
5. 设为等差数列的前项和,若,则( )
A.15 B.30 C.31 D.64
参考答案:
A
考点:等差数列的通项公式.
6. 下列结论正确的是( )
A. 若则 B. 若则
C. 若则 D. 若则
参考答案:
B
【分析】
利用不等式的性质、函数的性质和举反例逐一判断分析得解.
【详解】A. 若则是假命题,因为c=0时,显然不成立.所以该选项是错误的;
B. 若则,因为函数f(x)=在R上是增函数,所以该选项是正确;
C. 若则不一定成立,如a=1,b=-1,所以该选项是错误的;
D. 若则不一定成立,如:a=2,b=-3,所以该选项是错误的.
故选:B
【点睛】本题主要考查不等式真假命题的判断,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
7. 观察下列(如图)数表规律,则数2007的箭头方向是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】F1:归纳推理.
【分析】由题意,图中数字所处的位置呈周期性变化,可以观察出位置变化以4为周期,可选定1为开始位置,由周期性即可计算出2012所处的位置,即可选出正确选项
【解答】解:选定1作为起始点,由图看出,位置变化规律是以4为周期,
由于2007=4×501+3,可知第2007个数在3的位置,则发生在数2007附近的箭头方向是和3的方向相同;
故选D.
8. 设为等差数列,公差,为其前项和,若,则( )
A.18 B.20 C.22 D.24
参考答案:
B
9. 已知,则下列函数的图象错误的是 ( )
参考答案:
D
略
10. 在四棱锥S﹣ABCD中,为了推出AB⊥BC,需从下列条件:
①SB⊥面ABCD;②SC⊥CD;③CD∥面SAB;④BC⊥CD中选出部分条件,这些条件可能是( )
A.②③ B.①④ C.②④ D.③④
参考答案:
D
考点:棱锥的结构特征.
专题:数形结合;分析法;空间位置关系与距离.
分析:逐项分析条件,得出每一个条件推出的结论,然后分析选项,得出答案.
解答:解:若三棱锥满足条件①
∵SB⊥面ABCD,AB?平面ABCD,BC?平面ABCD,CD?平面ABCD,AD?平面ABCD,
∴SB⊥AB,SB⊥BC,SB⊥CD,SB⊥AD;
若三棱锥满足条件②
侧面SCD是直角三角形;
若三棱锥满足条件③
∵CD∥面SAB,CD?平面ABCD,平面ABCD∩平面SAB=AB,
∴CD∥AB,
∴底面ABCD是梯形;
若三棱锥满足条件④
则底面ABCD内,∠BCD=90°,
综上,当满足条件③④时,底面ABCD为直角梯形,直腰为BC,∴AB⊥BC.
故选D.
点评:本题考查了空间线面的位置关系,正确分析每一个条件是重点
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图,在侧棱和底面垂直的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面ABCD
满足条件 时,有(写出你认为正确的一种
条件即可。)
参考答案:
ABCD是菱形或是正方形或是对角线互相垂直的四边形
略
12. 已知a,b∈R,i是虚数单位.若(a+i)·(1+i)=bi,则a+bi=________.
参考答案:
1+2i
13. 过点(1,1)且与直线2x﹣y+1=0平行的直线方程为 .
参考答案:
2x﹣y﹣1=0
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.
【分析】由直线的平行关系可设要求直线方程为2x﹣y+c=0,代点求c值可得.
【解答】解:由直线的平行关系可设要求直线方程为2x﹣y+c=0,
由直线过点(1,1)可得2×1﹣1+c=0,解得c=﹣1,
∴所求直线方程为2x﹣y﹣1=0,
故答案为:2x﹣y﹣1=0.
【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系,属基础题.
14. 为等差数列的前项和,,则 .
参考答案:
21
15. 从区间(0,1)中随机取两个数,则两数之和小于1的概率为 .
参考答案:
【考点】几何概型.
【分析】根据题意,设取出的两个数为x、y,分析可得“0<x<1,0<y<1”表示的区域为纵横坐标都在(0,1)之间的正方形区域,易得其面积为1,而x+y<1.表示的区域为直线x+y=1下方,且在0<x<1,0<y<1所表示区域内部的部分,分别计算其面积,由几何概型的计算公式可得答案.
【解答】解:设取出的两个数为x、y;
则有0<x<1,0<y<1,其表示的区域为纵横坐标都在(0,1)之间的正方形区域,易得其面积为1,
而x+y<1表示的区域为直线x+y=1下方,且在0<x<1,0<y<1表示区域内部的部分,如图,
易得其面积为;
则两数之和小于1的概率是
故答案为:
16. 已知a、b是不同的直线,、、是不同的平面,给出下列命题:
①若∥,a,则a∥ ②若a、b与所成角相等,则a∥b
③若⊥、⊥,则∥ ④若a⊥, a⊥,则∥
其中正确的命题的序号是________________ .
参考答案:
①④
17. 不等式 的解集是为
参考答案:
(-2,1)
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分)在平面直角坐标系中,已知双曲线.
(1)过的左顶点引的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及轴围成的三角形的面积;
(2)设斜率为1的直线交于P、Q两点,若与圆相切,
求证:OP⊥OQ;
(3)设椭圆. 若M、N分别是、上的动点,且OM⊥ON,
求证:O到直线MN的距离是定值.
参考答案:
(1)双曲线,左顶点,渐近线方程:. 1分
过点A与渐近线平行的直线方程为
,即. 2分
解方程组,得 3分
所求三角形的面积为 4分
(2)设直线PQ的方程是.
因直线与已知圆相切, 故,即 5分
由,得. 6分
设P(x1, y1)、Q(x2, y2),则.
又,所以
, 故OP⊥OQ 8分
(3)当直线ON垂直于x轴时, |ON|=1,|OM|=,则O到直线MN的距离为. 9分
当直线ON不垂直于x轴时, 设直线ON的方程为(显然),则直线OM的方程为.
由,得,
所以. 同理 10分
设O到直线MN的距离为d,因为
, 11分
所以,即d=.
综上,O到直线MN的距离是定值。 12分
19. 已知圆C在x轴上的截距为-1和3,在y轴上的一个截距为1。
(1)求圆C的标准方程;
(2)若过点(2,-1)的直线l被圆C截得的弦AB的长为4,求直线l的方程。
参考答案:
略
20. (满分12分)已知是公差不为零的等差数列,,且成等比数列.(Ⅰ)求数列的通项;(Ⅱ)求数列的前项和.
参考答案:
解:(Ⅰ)由题设知公差,
由,且成等比数列,得=,…Ks5u……………3分
解得或(舍去), 故的通项……… 6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
由等比数列前项和公式得 ……12分
略
21. 设命题p:函数的定义域为R;命题q:3x﹣9x<a对一切的实数x恒成立,如果命题“p且q”为假命题,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】复合命题的真假.
【专题】规律型.
【分析】分别求出命题p,q成立的等价条件,利用p且q为假.确定实数k的取值范围.
【解答】解:要使函数的定义域为R,则不等式ax2﹣x+对于一切x∈R恒成立,
若a=0,则不等式等价为﹣x>0,解得x<0,不满足恒成立.
若a≠0,则满足条件,
即,解得,即a>2,所以p:a>2.
∵g(x)=3x﹣9x=﹣(),
∴要使3x﹣9x<a对一切的实数x恒成立,
则a,即q:a.
要使p且q为假,则p,q至少有一个为假命题.
当p,q都为真命题时,满足,即a>2,
∴p,q至少有一个为假命题时有a≤2,
即实数a的取值范围是a≤2.
【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系,利用条件先求出p,q成立的等价条件是解决此类问题的关键.将p且q为假,转化为先求p且q为真是解决本题的一个技巧.
22. 已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,右焦点到直线x+y+1=0的距离为.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于A,B的点,当△AOB面积取得最大值时,求直线l的方程.
参考答案:
(1)由 得
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