河南省平顶山市职业高级中学高二数学理测试题含解析

河南省平顶山市职业高级中学高二数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 某大学的大门蔚为壮观，有个学生想搞清楚门洞拱顶D到其正上方A点的距离，他站在地面C处，利用皮尺量得BC=9米，利用测角仪测得仰角∠ACB=45°，测得仰角∠BCD后通过计算得到sin∠ACD=，则AD的距离为（　　） A．2米 B．2.5米 C．3米 D．4米 参考答案： C 【考点】解三角形的实际应用． 【专题】计算题；应用题；解三角形． 【分析】根据已知条件求出AB=BC=9米，再根据在Rt△BDC中，BD=tan（45°﹣∠ACD）?BC，求出BD的值，最后根据AD=AB﹣BD，即可得出答案． 【解答】解：∵Rt△ACB中，∠ACB=45°， ∴BC=AB=9， ∵sin∠ACD=， ∴可解得cos∠ACD=，tan∠ACD=， ∵在Rt△BDC中，BD=tan（45°﹣∠ACD）?BC=9×=6， ∴AD=AB﹣BD=9﹣6=3（米）， ∴AD的距离为3米． 故选：C． 【点评】本题考查仰角的定义，以及解直角三角形的实际应用问题．此题难度不大，解题的关键是要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意当两个直角三角形有公共边时，利用这条公共边进行求解是解此类题的常用方法． 2. 已知集合（    ） A.        B.           C.           D. 参考答案： D 3. 已知△ABC的周长等于20，面积等于10，a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，∠A=60°，则a为（　　） A．5 B．7 C．6 D．8 参考答案： B 【考点】余弦定理；正弦定理． 【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形． 【分析】由题意可得，a+b+c=20，由三角形的面积公式可得S=bcsin60°，结合已知可求bc，然后由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccos60°可求a 【解答】解：在△ABC中，由题意可得，a+b+c=20， ∵S=bcsin60°=10， ∴bc=40， 由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccos60°=（b+c）2﹣3bc=（20﹣a）2﹣120， 解方程可得，a=7． 故选：B． 【点评】本题主要考查了三角形的面积公式及余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题． 4. 如果椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（　　） A．x﹣2y=0 B．x+2y﹣4=0 C．2x+3y﹣12=0 D．x+2y﹣8=0 参考答案： D 【考点】椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】设这条弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式相减再变形得，又由弦中点为（4，2），可得k=，由此可求出这条弦所在的直线方程． 【解答】解：设这条弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），斜率为k， 则， 两式相减再变形得 又弦中点为（4，2），故k=， 故这条弦所在的直线方程y﹣2=（x﹣4），整理得x+2y﹣8=0； 故选D． 5. 若点A（2，﹣3）是直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共点，则相异两点（a1，b1）和（a2，b2）所确定的直线方程是（　　） A．2x﹣3y+1=0 B．3x﹣2y+1=0 C．2x﹣3y﹣1=0 D．3x﹣2y﹣1=0 参考答案： A 【考点】直线的两点式方程；两条直线的交点坐标． 【分析】把点A（2，﹣3）代入线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的方程，发现点（a1，b1）和（a2，b2）都在同一条直线 2x﹣3y+1=0上， 从而得到点（a1，b1）和（a2，b2）所确定的直线方程． 【解答】解：∵A（2，﹣3）是直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共点， ∴2a1﹣3b1+1=0，且2a2﹣3b2+1=0， ∴两点（a1，b1）和（a2，b2）都在同一条直线 2x﹣3y+1=0上， 故 点（a1，b1）和（a2，b2）所确定的直线方程是2x﹣3y+1=0， 答案选 A． 6. 点关于直线的对称点是（   ） A.   B.   C.D. 参考答案： D 7. 极坐标系中，有点A和点B，曲线C2的极坐标方程为ρ=，设M是曲线C2上的动点，则|MA|2+|MB|2的最大值是（   ） A．24 B．26               C．28  D．30 参考答案： B A， 由ρ=，化为ρ2（4+5sin2θ）=36，∴4ρ2+5（ρsinθ）2=36，化为4（x2+y2）+5y2=36，化为，设曲线C2上的动点M（3cosα，2sinα）， |MA|2+|MB|2=+ =18cos2α+8sin2α+8 =10cos2α+16≤26，当cosα=±1时，取得最大值26． ∴|MA|2+|MB|2的最大值是26． 8. （     ） A．         B.          C.        D. 参考答案： C 9. 如果点（5，b）在两条平行线6x-8y+1=0,3x-4y+5=0之间,则b应取的整数值为（   ）   A.-4         B.4.            C.-5                 D.5. 参考答案： B 略 10. 已知向量，，，则与的值分别为（    ）. A．       B．       C．      D． 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. .已知双曲线的左，右焦点分别为，，双曲线上点P满足，则双曲线的标准方程为          . 参考答案： 12. 已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此三棱锥的体积为   ▲   ． 参考答案： 13. 设，， 全集，则右图中阴影表示的集合中的元素为       。 参考答案： 14. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为          参考答案： 4 15. 在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC=2AD=2AB=4，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为       ． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可得到答案． 【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图： 旋转体是底面半径为2，高为4的圆柱，挖去一个相同底面高为2的倒圆锥， 几何体的体积为： =． 故答案为：． 16. 平面上两点满足，设为实数，令表示平面上满足的所有点组成的图形，又令为平面上以为圆心、为半径的圆．则下列结论中，其中正确的有　▲　（写出所有正确结论的编号）． ① 当时，为直线； ② 当时，为双曲线； ③ 当时，与圆交于两点； ④ 当时，与圆交于四点； ⑤ 当时，不存在． 参考答案： ①②⑤ 17. 若角满足，则 ＝_____； 参考答案： 【分析】 由，得tanα＝-2，由二倍角的正切公式化简后，把tanα的值代入即可． 【详解】∵sina+2cosa=0，得，即tanα＝-2，∴tan2α＝ ． 故答案为： 【点睛】本题考查了二倍角的正切公式，以及同角三角函数间的基本关系，属于基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N， （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【分析】（Ⅰ）根据椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，可建立方程组，从而可求椭圆C的方程； （Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，从而可求|MN|，A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离，利用△AMN的面积为，可求k的值． 【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为， ∴ ∴b= ∴椭圆C的方程为； （Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0 设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=， ∴|MN|== ∵A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离为 ∴△AMN的面积S= ∵△AMN的面积为， ∴ ∴k=±1． 19. 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线x=﹣2与椭圆交于P，Q两点，A，B是椭圆上位于直线x=﹣2两侧的动点． ①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值； ②当动点A，B满足∠APQ=∠BPQ时，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）设椭圆标准方程为（a＞b＞0），由已知得b=2，e==，由此能求出椭圆C的标准方程． （2）①先求出|PQ|=6，设直线AB的方程为，与联立，得x2+mx+m2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、椭圆弦长公式，结合已知能求出四边形APBQ面积的最大值． ②设PA斜率为k，则PB斜率为﹣k．分别设出PA的直线方程和PB的直线方程，分别与椭圆联立，能求出直线AB的斜率是为定值． 【解答】解：（1）∵椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，∴设椭圆标准方程为（a＞b＞0）， ∵椭圆离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点． 焦点为， ∴b=2…e==，a2+b2=c2， ∴解得a2=16，b2=12 ∴椭圆C的标准方程．… （2）①直线 x=﹣2与椭圆交点P（﹣2，3），Q（﹣2，﹣3）或P（﹣2，﹣3），Q（﹣2，3），∴|PQ|=6，… 设A （x1，y1  ），B（ x2，y2），直线AB的方程为， 与联立，得 x2+mx+m2﹣12=0， 由△=m2﹣4（m2﹣12）＞0，得﹣4＜m＜4， 由韦达定理得x1+x2=﹣m，，… 由A，B两点位于直线x=﹣2两侧，得（x1+2）（x2+2）＜0， 即x1x2+2（x1+x2）+4＜0∴m2﹣2m﹣8＜0 解得﹣2＜m＜4，… ∴S=?|PQ|?|x1﹣x2| =?|PQ|? =3， ∴当m=0时，S最大值为．… ②当∠APQ=∠BPQ时直线PA，PB斜率之和为0． 设PA斜率为k，则PB斜率为﹣k． 当P（﹣2，3），Q（﹣2，﹣3）时， PA的直线方程为y﹣3=k（x+2）… 与椭圆联立得（3+4k2）x2+8k（2k+3）x+4（2k+3）2﹣48=0 ∴； 同理 ∴… y1﹣y2=k（x1+2）+3﹣[﹣k（x2+2）+3] 直线AB斜率为… 当P（﹣2，﹣3），Q（﹣2，3）时，同理可得直线AB斜率为．… 【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查四边形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、椭圆弦长公式的合理运用． 20. 如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，且． （Ⅰ）证明：平面平面； （Ⅱ）求棱与所成的角的大小； （Ⅲ）若点为的中点，并求出二面角的平面角的余弦值． 参考答案： 证明：（Ⅰ）∵面∴,