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福建省福州市第十五中学2022年高一数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. (3分)如图,在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子,恰有120粒落在阴影区域内,则该阴影部分的面积约为()
A. B. C. D.
参考答案:
B
考点: 几何概型.
专题: 概率与统计.
分析: 设阴影部分的面积约为S,由几何概型可得=,解之可得.
解答: 由题意可得正方形的面积为2×2=4,设阴影部分的面积约为S,
则由几何概型可得=,解得S=
故选:B
点评: 本题考查几何概型,属基础题.
2. 设实数x1、x2是函数f(x)=|lnx|﹣()x的两个零点,则( )
A.x1x2<0 B.0<x1x2<1 C.x1x2=1 D.x1x2>1
参考答案:
B
【考点】函数零点的判定定理.
【分析】能够分析出f(x)的零点便是函数y=|lnx|和函数y=()x交点的横坐标,从而可画出这两个函数图象,由图象懒虫不等式组,然后求解即可.
【解答】解:令f(x)=0,∴|lnx|=()x;
∴函数f(x)的零点便是上面方程的解,即是函数y=|lnx|和函数y=()x的交点,
画出这两个函数图象如下:
由图看出<﹣lnx1<1,﹣1<lnx1<0,0<lnx2<;
∴﹣1<lnx1+lnx2<0;
∴﹣1<lnx1x2<0;
∴0<<x1x2<1
故选:B.
3. 在△ABC中,,则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
C 解析:
4. 已知各项都是正数的等比数列{an}中,存在两项使得且,则的最小值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
5. 从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点,则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】几何概型.
【分析】设正方形边长为1,则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点,共有10条线段,4条长度为1,4条长度为,两条长度为,即可得出结论.
【解答】解:设正方形边长为1,则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点,共有10条线段,4条长度为1,4条长度为,两条长度为,
∴所求概率为=.
故选:B.
6. 设,函数在区间[]上的最大值与最小值之差为,则
A. 4 B. 2 C. D.
参考答案:
A
7. 集合{1,2}的子集共有( )个.
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
D
【考点】子集与真子集.
【分析】直接由子集公式计算公式2n计算即可得出
【解答】解:集合中有两个元素,故其子集的个数是22=4
故选D.
8. 已知等比数列的前项和为,且依次成等差数列,若,则
A.16 B.31 C.32 D.63
参考答案:
B
9. 设a、b∈R+,且,则有 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
10. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. (3分)命题“若x≠3且x≠4,则x2﹣7x+12≠0”的逆否命题是若 .
参考答案:
x2﹣7x+12=0,则x=3或x=4
考点: 四种命题.
专题: 简易逻辑.
分析: 根据四种命题之间的关系写出命题的逆否命题即可.
解答: 逆否命题是:若x2﹣7x+12=0,则 x=3或x=4;
故答案为:若x2﹣7x+12=0,则 x=3或x=4.
点评: 本题考查了四种命题之间的关系,是一道基础题.
12. 已知函数f(x)满足f(x﹣1)=x2﹣x+1,则f(3)= .
参考答案:
13
【考点】函数的值.
【分析】根据f(x﹣1)的解析式,令x﹣1=3,求出x的值,再计算f(3)即可.
【解答】解:∵f(x﹣1)=x2﹣x+1,
∴令x﹣1=3,
解得x=4;
∴f(3)=42﹣4+1=13,
故答案为:13.
13. 已知数列{an}的前n项和,那么它的通项公式为=_________
参考答案:
2n
14. 已知向量=(,1),=(0,﹣1),=(t,),若﹣2与共线,则t= .
参考答案:
1
【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示.
【分析】由向量减法的坐标运算及数乘运算求得若﹣2的坐标,再由向量共线的坐标表示列式求得t的值.
【解答】解:∵ =(,1),=(0,﹣1),
∴﹣2=,
又=(t,),且﹣2与共线,
则,解得:t=1.
故答案为:1.
15. 已知函数f(x)=,则f(f())= ;当f(f(x0))≥时x0的取值范围是 .
参考答案:
,[,1]∪[729,+∞).
【考点】分段函数的应用.
【分析】f()==﹣,即可求出f(f())==;利用f(f(x0))≥,结合分段函数,即可求出当f(f(x0))≥时x0的取值范围.
【解答】解:f()==﹣,∴f(f())==,
,0≥x≥﹣,∴0≥,∴;
x>0时,,∴x≥3,log9x0≥3,∴x0≥729,
综上所述,f(f(x0))≥时x0的取值范围是[,1]∪[729,+∞).
故答案为,[,1]∪[729,+∞).
16. 已知数列{an}中, a1=1, 且nan+1=(n+2)an, (n∈N*), 则a2= , an= .
参考答案:
3
略
17. 已知是偶函数,定义域为,则
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 定义:若函数对于其定义域内的某一数,有,则称是的一个不动点. 已知函数.
(1) 当,时,求函数的不动点;
(2) 若对任意的实数b,函数恒有两个不动点,求a的取值范围;
(3) 在(2)的条件下,若图象上两个点A、B的横坐标是函数的不动点,且A、B的中点C在函数的图象上,求b的最小值.
(参考公式:的中点坐标为)
参考答案:
(1),由,
解得或,所以所求的不动点为或-2.
(2)令,则 ①
由题意,方程①恒有两个不等实根,所以,
即恒成立,
则,故
(3)设A(x1,x1),B(x2,x2)(x1≠x2),,
又AB的中点在该直线上,所以,
∴,
而x1、x2应是方程①的两个根,所以,即,
∴=-=-
∴当 a=∈(0,1)时,bmin=-2
略
19. 等差数列{}的前n项和记为Sn.已知
(Ⅰ)求通项;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅱ)若Sn=242,求n.
参考答案:
解析:(Ⅰ)由得方程组
……4分 解得 所以 ……7分
(Ⅱ)由得方程
……10分 解得
20. 设数列{an}的前项n和为Sn,若对于任意的正整数n都有.
(1)设,求证:数列{bn}是等比数列,并求出{an}的通项公式。
(2)求数列{nan}的前n项和.
参考答案:
(1)见解析 ; (2).
【分析】
(1)利用数列的递推关系式,化简,变形为,即可得到,证得数列为等比数列,进而求得的通项公式;
(2)利用“乘公比错位相减法”,结合等差数列和等比数列的求和公式,即可求解.
【详解】(1)由题意,数列满足,
当时,则,解得,
当时,则,整理得,
所以,即,即,
又由,所以数列是首项为,公比为的等比数列,
所以,即,解得,
即数列的通项公式为.
(2)由(1)可得,
设,
,
所以,
又由,
所以数列的前n项和为:
.
【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用,此类题目是数列问题中的常见题型,解答中确定通项公式是基础,准确计算求和是关键,易错点是在“错位”之后求和时,弄错等比数列的项数,能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.
21. 已知函数.
(Ⅰ)判断并证明函数的奇偶性;
(Ⅱ)判断函数在上的单调性并加以证明.(本小题12分)
参考答案:
(Ⅰ)是偶函数. 定义域是R,
∵
∴ 函数是偶函数.
(Ⅱ)是单调递增函数.当时,
设,则,且,即
∵
∴
所以函数在上是单调递增函数.
22. 已知等差数列满足:,.的前项和为.
(Ⅰ)求 及;
(Ⅱ)令(),求数列的前项和.
参考答案:
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