湖南省岳阳市爽口中学高二数学理上学期期末试题含解析

湖南省岳阳市爽口中学高二数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数f(x)=1+log2x与g(x)=在同一直角坐标系下的图象大致是          （   ） 参考答案： C 2. 已知i为虚数单位，则复数i（1－i）所对应点的坐标为 A. （－1，1）    B. （1，1）    C. （1，－1）    D. （－1，－1）   参考答案： B 3. 若函数有极值，则导函数的图象不可能是  (  )           参考答案： D 略 4. 已知和圆C:，点A为直线PC与圆的一个交点（点A、P在圆心C的两侧），PB为圆的一条切线，切点为B，则（      ）     A.         B.          C.        D. 参考答案： D 略 5. 已知有穷数列2，3，，满足2，3，，，且当2，3，，时，若，则符合条件的数列{an}的个数是    A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 先选出三个数确定为，其余三个数从剩下的7个里面选出来，排列顺序没有特殊要求. 【详解】先确定，相当于从10个数值中选取3个，共有种选法，再从剩余的7个数值中选出3个作为，共有种选法，所以符合条件的数列的个数是，故选A. 【点睛】本题主要考查利用排列组合的知识确定数列的个数，有无顺序要求，是选择排列还是组合的依据. 6. 已知抛物线，过点的直线交抛物线与点，交 轴于点，若，则（    ） A.              B.           C.            D. 参考答案： B 略 7. 如图所示，A，B，C表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么此系统的可靠性为（　　） Ａ．0.504        Ｂ．0.06        Ｃ．0.496             Ｄ． 0.994 参考答案： D 略 8. 将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为（　　） A． B． C．0 D． 参考答案： B 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【专题】三角函数的图像与性质． 【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求得φ的一个可能取值． 【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位， 可得到的函数y=sin[2（x+）+φ）]=sin（2x++φ）的图象， 再根据所得图象关于y轴对称，可得+φ=kπ+，即φ=kπ+，k∈z， 则φ的一个可能取值为， 故选：B． 【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题． 9.  在等差数列中，若，则的值为         （   ） A        B    C      D  参考答案： A 10. 若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=（　　） A．21 B．19 C．9 D．﹣11 参考答案： C 考点：圆的切线方程．  专题：直线与圆． 分析：化两圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式求得m值． 解答：解：由C1：x2+y2=1，得圆心C1（0，0），半径为1， 由圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0，得（x﹣3）2+（y﹣4）2=25﹣m， ∴圆心C2（3，4），半径为． ∵圆C1与圆C2外切， ∴， 解得：m=9． 故选：C． 点评：本题考查两圆的位置关系，考查了两圆外切的条件，是基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知, 则的最大值是          ； 参考答案： 10 12. 已知，是夹角为的两个单位向量，，，若，则实数k的值为__________. 参考答案： . 【分析】 直接利用向量数量积公式化简即得解. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以=-7. 故答案为：-7 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 13. 已知正项等比数列{an}中，，则       ． 参考答案： 由题意，∵，∴，∴ ，， ∴． 故答案为．   14. 在极坐标系中，点A（2，）关于直线l：ρcosθ=1的对称点的一个极坐标为　   　． 参考答案： 【考点】极坐标刻画点的位置． 【分析】在直角坐标系中，求出A的坐标以及A关于直线l的对称点B（2，2），由|OB|=2，OB直线的倾斜角等于，且点B 在第一象限，写出B的极坐标，即为所求． 【解答】解：在直角坐标系中，A（ 0，2），直线l：x=1，A关于 直线l的对称点B（2，2）． 由于|OB|=2，OB直线的倾斜角等于，且点B 在第一象限， 故B的极坐标为， 故答案为  ． 15. 已知点P是抛物线上一点，设P到此抛物线准线的距离是，到直线的距离是，则的最小值是                                                      参考答案： 16. 已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率为          .   参考答案： 略 17. 命题p：?x∈R，函数的否定为　　． 参考答案： ?x0∈R，函数f（x0）=2cos2x0+sin2x0＞3 【考点】命题的否定． 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可． 【解答】解：全称命题的否定是特称命题，即为?x0∈R，函数f（x0）=2cos2x0+sin2x0＞3， 故答案为：?x0∈R，函数f（x0）=2cos2x0+sin2x0＞3， 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知左焦点为的椭圆过点，过上顶点作两条互相垂直的动弦交椭圆于两点． (1)  求椭圆的标准方程； (2)  若动弦所在直线的斜率为1，求直角三角形的面积； (3)  试问动直线是否过定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．     参考答案：       略 19. 已知数列的前项和，求 参考答案： 解：当         .         当, 所以. 20. 电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．右图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图．将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性． （1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料判断你是否有95%以上的把握认为“体育迷”与性别有关？   非体育迷 体育迷 合计 男   　30　   　15　   　45　 女   　45　   　10　   　55　 合计   　75　   　25　   　100　 （2）将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率． 附：K2=，其中n=a+b+c+d为样本容量 P（K2≥k） 0.05 0.01 k 3.841 6.0635 参考答案： 【考点】独立性检验；频率分布直方图． 【分析】（1）利用频率分布直方图直接完成2×2列联表，通过计算K2=，说明是否有95%以上的把握认为“体育迷”与性别有关． （2）写出一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω={（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}，用A表示“任取2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A={（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}，事件A由7个基本事件组成，利用古典概型求解即可． 【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，… 从而完成2×2列联表如下：   非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100 … 将2×2列联表中的数据代入公式计算，得… 因为3.030＜3.841，所以我们没有95%的把握认为“体育迷”与性别有关． … （2）由频率分布直方图知“超级体育迷”为5人， 从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω={（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）} 其中ai表示男性，i=1，2，3，bj表示女性j=1，2．Ω由这10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的． 用A表示“任取2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A={（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}… 事件A由7个基本事件组成，因而．                  … 21. 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA． （1）求A； （2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c． 参考答案： 【考点】解三角形． 【分析】（1）由正弦定理有： sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，可以求出A； （2）有三角形面积以及余弦定理，可以求出b、c． 【解答】解：（1）c=asinC﹣ccosA，由正弦定理有： sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，即sinC?（sinA﹣cosA﹣1）=0， 又，sinC≠0， 所以sinA﹣cosA﹣1=0，即2sin（A﹣）=1， 所以A=； （2）S△ABC=bcsinA=，所以bc=4， a=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=b2+c2﹣bc， 即有， 解得b=c=2． 22. 已知a为实数，。 (1)若，求在[－2，2] 上的最大值和最小值； (2)若在(－∞，－2)和(2，+∞)上都是递增的，求a的取值范围。 参考答案： 解：(1)由原式得∴…………2分 由 得,此时有. 由得或x=-1 , 又   所以f(x)在[－2,2]上的最大值为最小值为…………6分 (2)的图象为开口向上且过点(0,－4)的抛物线,由条件得          即  ∴－2≤a≤2.      所以a的取值范围为[－2,2]. …………12分 略