湖南省长沙市湖橡学校2022年高二数学理期末试题含解析

湖南省长沙市湖橡学校2022年高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知，且，则的最大值是    （A）           （B）            （C）              （D） 参考答案： C 略 2. 双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是(     ) A．2 B． C．4 D． 参考答案： C 【考点】双曲线的标准方程． 【专题】计算题． 【分析】将双曲线方程化为标准方程，求出实轴长． 【解答】解：2x2﹣y2=8即为 ∴a2=4 ∴a=2 故实轴长为4 故选C 【点评】本题考查双曲线的标准方程、由方程求参数值． 3. 下列函数中，图象如右图的函数可能是 (A)                              (B) (C)                            (D) 参考答案： C 4. 有下列一列数：1，8，27，64，      ，216，343，…，按照此规律，横线中的数应为（　　） A．75 B．100 C．125 D．150 参考答案： C 【考点】F1：归纳推理． 【分析】由题意可知，该数列为13，23，33，43，53，63，73，…即可知道横线中的数 【解答】解：数列为13，23，33，43，53，63，73，… 故选：C 【点评】本题考查了归纳推理的问题，关键找到规律，属于基础题 5. 若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则?的最小值为(     ) A． B．6 C．8 D．12 参考答案： B 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】综合题；向量与圆锥曲线． 【分析】可设P（x，p），可求得与的坐标，利用向量的数量积的坐标公式结合椭圆的方程即可求得其答案． 【解答】解：∵点P为椭圆+=1上的任意一点，设P（x，y）（﹣3≤x≤3，﹣2≤y≤2）， 依题意得左焦点F（﹣1，0）， ∴=（x，y），=（x+1，y）， ∴?=x（x+1）+y2， =x2+x+， =（x+）2+， ∵﹣3≤x≤3， ∴≤x+≤， ∴≤（x+）2≤， ∴≤（x+）2≤， ∴6≤（x+）2+≤12， 即6≤?≤12． 故选：B． 【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查平面向量数量积的坐标运算，考查转化思想与解决问题的能力，属于中档题． 6. 下列四个结论： （1）两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行； （2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行； （3）两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行； （4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行． 其中错误的结论序号是　　． 参考答案： （1）（2）（3）（4） 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系． 【分析】在（1）中，平行于同一个平面的两条直线平行、相交或异面；在（2）没有公共点的两条直线平行或异面；在（3）中，垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异面；（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，如果这无数条直线都是平行线，则这条直线和这个平面有可能相交． 【解答】解：（1）两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行、相交或异面，故（1）错误； （2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，故（2）错误； （3）两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行、相交或异面，故（3）错误； （4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，如果这无数条直线都是平行线， 则这条直线和这个平面有可能相交，故（4）错误． 故答案为：（1）（2）（3）（4） 7. 随机变量X的分布列如右表，若，则（    ） X 0 1 2 P a b A．           B．        C．        D． 参考答案： B 8. 已知数列满足，则                       （    ） A．    B．   C．    D． 参考答案： D 9. 已知函数f（x）的导数为f′（x），且（x+1）f（x）+xf′（x）≥0对x∈[0，+∞）恒成立，则下列不等式一定成立的是（　　） A．f（1）＜2ef（2） B．ef（1）＜f（2） C．f（1）＜0 D．ef（e）＜2f（2） 参考答案： A 【考点】函数的单调性与导数的关系；导数的运算． 【分析】构造函数F（x）=xexf （x），则F′（x）=ex[（x+1）f（x）+xf′（x）]≥0对x∈[0，+∞）恒成立，得出函数F（x）=xexf （x）在[0，+∞）上单调递增，即可得出结论、 【解答】解：构造函数F（x）=xexf （x），则F′（x）=ex[（x+1）f（x）+xf′（x）]≥0对x∈[0，+∞）恒成立， ∴函数F（x）=xexf （x）在[0，+∞）上单调递增， ∴F（1）＜F（2）， ∴f（1）＜2ef（2）， 故选A． 【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，正确构造函数是关键． 10. 命题“存在实数,使”的否定是（  ） （A） 对任意实数, 都有      （B）不存在实数，使x1 （C） 对任意实数, 都有     （D）存在实数，使 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数且，则a=_______. 参考答案： 或 【分析】 对a分两种情况a≤0和a＞0讨论得解. 【详解】当a≤0时，由题得. 当a＞0时，由题得2a-1=1,所以a=1. 综合得a=0或1. 故答案为：或 【点睛】本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 12. 已知a>0，b>0，m＝lg，n＝lg，则m与n的大小关系为___▲_____； 参考答案： 略 13. 在中，已知，则＝              . 参考答案： 30° 14. 抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是　　． 参考答案： 2 【考点】抛物线的简单性质． 【专题】计算题． 【分析】根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到准线的距离． 【解答】解：根据题意可知焦点F（1，0），准线方程x=﹣1， ∴焦点到准线的距离是1+1=2 故答案为2． 【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用．属基础题． 15. 若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m，则实数m的取值范围是  ▲   ． 参考答案： (2，＋∞) 钝角三角形内角的度数成等差数列，则 ，可设三个角分别为，故 ，又，令，且 ，则 ，在 上是增函数，，故答案为.   16. 在400ml自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率是________________________________。 参考答案： 0.005 17. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为               参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分10分） 设命题，使；命题，函数 图象与x轴没有交点．如果命题“”是真命题，求实数a的取值范围．   参考答案： 解：“”是真命题，至少有一个是真命题.             ………………1分 命题,使为真，则，解得或；…4分 命题，函数图象与轴没有交点，则，解得.            ………………………………7分 所以由“”是真命题,得或.           ………………………10分   19. 某市2017年房地产价格因“棚户区改造”实行货币化补偿，使房价快速走高，为抑制房价过快上涨，政府从2018年2月开始采用实物补偿方式（以房换房），3月份开始房价得到很好的抑制，房价渐渐回落，以下是2018年2月后该市新建住宅销售均价的数据： 月份x 3 4 5 6 7 y（百元价格/平方米） 83 82 80 78 77     （1）研究发现，3月至7月的各月均价y（百元/平方米）与月份x之间具有较强的线性相关关系，求y（百元价格/平方米）关于月份x的线性回归方程； （2）用表示用（1）中所求的线性回归方程得到的与对应的销售均价的估计值，3月份至7月份销售均价估计值与实际相应月份销售均价差的绝对值记为，即，．现从5个数据，，，，中任取2个，记取到的2个数据和为，求的分布列和数学期望． 注意几点：①可供选择的数据，； ②参考公式：回归方程系数公式，； 参考答案： （1）（2）见解析 【分析】 （1）由表格中的数据，求得，根据公式求得，进而得到，即可求得关于的回归方程。 （2）利用（1）中的回归方程，求得，得到随机变量的值，进而求得的可能取值为，求出相应的概率，列出分布列，利用公式，即可求解数学期望。 【详解】（1）由表格中的数据，可得， 所以，则， 所以关于的回归方程。 （2）利用（1）中的回归方程， 可得， 所以， 所以的可能取值为， 则，， ，， 所以随机变量的分布列为： 0.2 0.4 0.6 0.8 P   期望。 【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解，以及离散型随机变量的分布列与数学期望的计算，其中解答中认真审题，求得随机变量的取值，准确计算相应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。 20. 已知，满足. （1）求的最大值和最小值；（2）求的最小值 参考答案： 不等式组表示的可行域如图所示： （1）目标函数变为， 它表示斜率为，截距为的直线， 当直线平行移动到点时，截距最小， 此时，； 当直线平行移动到点时，截距最大，此时，； （2）变为，表示点与点两点间距离的平方，由图可知，   21. （本小题满分13分） 已知圆C：过点A（3，1），且过点P（4，4）的直线PF与圆C相切并和x轴的负半轴相交于点F． （1）求切线PF的方程； （2）若抛物线E的焦点为F,顶点在原点，求抛物线E的方程。 （3）若Q为抛物线E上的一个动点，求的取值范围． 参考答案： 解：（1）点A代入圆C方程，得．∵m＜3，∴m＝1．圆C：．设直线PF的斜率为k，则PF：， 即．∵直线PF与圆C相切，∴．解得． 当k＝时，直线PF与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去． 当k＝时，直线PF与x轴的交点横坐标为－4，∴符合题意，∴直线PF的方程为y=x+2, (2)设抛物线标准方程为y2=-2px, ∵F（－4，0）, ∴p=8, ∴抛物线标准方程为y2=-16x (3) ，设Q（x，y），，． ∵y2=-16x, ∴． ∴的取值范围是(－∞，30]． 略 22. 已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，直线l的方程为：. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知直线l与椭圆相交于、两点. ①若线段中点的横坐标为，求斜率的值； ②已知点，求证：为定值. 参考答案： 略