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河南省商丘市黄岗乡中学高二数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 给出下列四个命题,其中假命题的序号是( )
①垂直于同一条直线的两条直线互相平行
②两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内
③若一个平面内有两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面互相平行
④与两条异面直线都相交的两条直线是异面直线.
A.①③④ B.②③④ C.①②③ D.①②③④
参考答案:
A
【考点】2K:命题的真假判断与应用.
【分析】①,在空间垂直于同一条直线的两条直线不一定互相平行;
②,利用直线与平面的基本性质判断A的正误;
③,若一个平面内有两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面互相平行‘’
④,根据空间两条直线的位置关系分别判断即可.
【解答】解;对于①,在同一平面垂直于同一条直线的两条直线互相平行,在空间垂直于同一条直线的两条直线不一定互相平行,故①错
对于②,如图:∵a∩b=A,b∩c=B,a∩c=C,∴由两条相交直线a、b确定一个平面,不妨记为α,
∴a?α,b?α;又∵C∈a,B∈b,∴B∈α,C∈α;又∵B∈c,C∈c,
∴c?α;∴a、b、c三条直线共面.所以②正确.
对于③,若一个平面内有两条相交直线与另一个平面都平行,
那么这两个平面互相平行,故③错
对于④:如图(1)a、b是异面直线,c、d与a、b都相交,但是cd是相交直线,所以A不正确;
如图(2)c、d是异面直线,所以C不正确;
如果c、d 平行则c、d确定唯一平面,所以a、b都在这个平面内,与a、b是异面直线矛盾,所以④不正确.
故选:A
【点评】本题考查空间直线与直线的位置关系,异面直线的判断,考查空间想象能力.属于中档题.
2. 椭圆的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
3. 执行下面的程序框图,如果输入的n是4,则输出的p是( )
A.8 B.5
C.3 D.2
参考答案:
C
4. 复数z满足, 则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
5. 命题“存在”的否定是 ( )
A. 存在 B.不存在
C. 对任意 D.对任意
参考答案:
D
略
6. 2010年,我国南方省市遭遇旱涝灾害,为防洪抗旱,某地区大面积植树造林,如图,在区域内植树,第一棵树在点,第二棵树在点,第三棵树在点,第四棵树在点,接着按图中箭头方向,每隔一个单位种一颗树,那么,第2011棵树所在的点的坐标是( )
A. ; B. ; C.; D.
参考答案:
A
略
7. 已知命题p、q,如果?p是?q的充分而不必要条件,那么q是p的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要
参考答案:
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】根据逆否命题的等价性即可得到结论.
【解答】解:∵?p是?q的充分而不必要条件,
∴根据逆否命题的等价性可知,q是p的充分而不必要条件,
故选B.
8. 已知函数,当自变量由变化到时函数值的增量与相应的自变量的增量比是函数
A、在处的变化率 B、在区间上的平均变化率
C、在处的变化率 D、以上结论都不对
参考答案:
B
略
9. “﹣1≤x≤2”是“x2﹣x﹣2=0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.冲要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】解方程,求出方程的根,根据充分必要条件的定义判断即可.
【解答】解:由x2﹣x﹣2=0,解得:x=2或x=﹣1,
故“﹣1≤x≤2”是“x2﹣x﹣2=0”的必要不充分条件,
故选:B.
【点评】本题考查了充分必要条件的定义,考查集合的包含关系,是一道基础题.
10. 执行下面的程序框图,如果输入的n是4,则输出的p是( )
A.8 B.5
C.3 D.2
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
15. (几何证明选讲选做题)如图,是圆的直径,点在圆上,延长到使,过作圆的切线交于.若,则_________.
参考答案:
12. 若直线(为实常数)与函数 (为自然对数的底数) 的图象相切,则切点坐标为 ▲ .
参考答案:
13. 设m是常数,若点F(0,5)是双曲线的一个焦点,则________.
参考答案:
14. 抛物线x2=4y的焦点坐标为 .
参考答案:
(0,1)
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】由抛物线x2=4y的焦点在y轴上,开口向上,且2p=4,即可得到抛物线的焦点坐标.
【解答】解:抛物线x2=4y的焦点在y轴上,开口向上,且2p=4,∴
∴抛物线x2=4y的焦点坐标为(0,1)
故答案为:(0,1)
15. 杨辉三角,又称帕斯卡三角,是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律.现把杨辉三角中的数从上到下,从左到右依次排列,得数列:.记作数列{an},若数列{an}的前n项和为Sn,则___ .
参考答案:
2059
【分析】
将数列排列成杨辉三角数阵,使得每行的项数与行的相等,并计算出每行的各项之和,然后确定数列第所处的行数与项的序数,然后利用规律将这些项全部相加可得答案。
【详解】将数列中的项从上到下,从左到右排成杨辉三角形数阵,如下所示:
使得每行的序数与该行的项数相等,则第行最后项在数列中的项数为,
设位于第,则,所以,,
且第行最后一项在数列中的项数为,
所以,位于杨辉三角数阵的第行第个,
第一行各项和为,第二行各项和为,第三行各项的和为,依此类推,第行各项的和为,
因此,
,故答案为:。
【点睛】本题考查合情推理,考查二项式系数与杨辉三角,解决这类问题关键在于确定所找的项所在杨辉三角所处的位置,并利用规律来解题,考查推理论证能力与计算能力,属于难题。
16. 在ΔABC中,AB=3,BC=4,CA=6,则CA边上的中线长为_____________。
参考答案:
17. 已知抛物线的顶点在坐标原点,且焦点在轴上.若抛物线上的点到焦点的距离是5,则抛物线的准线方程为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?
参考答案:
解:设长方体的宽为x(m),则长为2x(m),高为
.-------2分
故长方体的体积为
---------4分
从而---------------6分
令V′(x)=0,解得x=0(舍去)或x=1,因此x=1.------7分
当0<x<1时,V′(x)>0;当1<x<时,V′(x)<0,--------9分
故在x=1处V(x)取得极大值,并且这个极大值就是V(x)的最大值。
从而最大体积V=9×12-—6×13=3(m3),此时长方体的长为2 m,高为1.5 m.---11分
答:当长方体的长为2 m时,宽为1 m,高为1.5 m时,体积最大,
最大体积为3 m3。-----------12分
略
19. 已知圆.
(1)过点作圆的切线,求切线的方程;
(2)若圆的弦的中点,求所在直线方程.
参考答案:
解:由得圆的标准方程为 …………2分
(1)显然为圆的切线. ……………………………4分
另一方面,设过的圆的切线方程为,即;
所以解得
于是切线方程为和. ……………………………7分
(2)设所求直线与圆交于两点,其坐标分别为
则有
两式作差得 ……………………………10分
因为, 所以
故所求直线方程为 ……………………………15分
20. 设函数f(x)=2xlnx﹣1.
(1)求函数f(x)的最小值及曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若不等式f(x)≤3x3+2ax恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;函数恒成立问题.
【分析】(1)求出函数的导数,求得单调区间,可得极值、最值;求得切线的斜率和切点坐标,由点斜式方程可得切线方程;
(2)由题意可得a≥lnx﹣﹣,在(0,+∞)上恒成立,构造函数h(x)=lnx﹣﹣,h′(x)=﹣+=﹣,求解最大值,即可求解a的取值范围.
【解答】解:(1)函数f(x)=2xlnx﹣1的导数为f′(x)=2(lnx+1),
当x>时,f′(x)>0,f(x)递增;
当0<x<时,f′(x)<0,f(x)递减.
即有x=取得极小值,也为最小值,且为﹣﹣1;
可得曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为k=f′(1)=2,
切点为(1,﹣1),曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y+1=2(x﹣1),
即为2x﹣y﹣3=0;
(2)不等式f(x)≤3x3+2ax恒成立,
可得:a≥lnx﹣﹣,在(0,+∞)上恒成立,
设h(x)=lnx﹣﹣,h′(x)=﹣+=﹣,
h′(x)=0,得:x=1,x=﹣(舍去),
当0<x<1时,h′(x)>0,
当x>1时,h′(x)<0,
∴当x=1时,h(x)max=﹣2,
∴a≥﹣2,
∴实数a的取值范围:[﹣2,+∞).
21. (本小题满分12分)设关于的函数,其中为实数集上的常数,函数在处取得极值.
(Ⅰ)已知函数的图象与直线有两个不同的公共点,求实数的取值范围;
(Ⅱ)设函数,其中,若对任意的,总有成立,求的取值范围.
参考答案:
解:(Ⅰ)
因为函数在处取得极值
得:
解得………………………………3分
则
令得或(舍去)
当时,;当时,.
所以函数在区间上单调递增,在区间上单调递减.
所以当时,函数取得极大值,
即最大值为 ……………………………5分
所以当时,函数的图象与直线有两个交点………………6分
(Ⅱ)设
若对任意的,恒成立,
则的最小值()……………………………8分
(1)当时,,在递增
所以的最小值,不满足()式
所以不成立…………………………………………10分
(2)当时
①当时,,此时在递增,
的最小值,不满足()式
②当时,,在递增,
所以,解得 ,此时满足()式
③当时,在递增,,满足()式
综上,所求实数的取值范围为…………………………
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