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福建省漳州市古湖中学高一数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知,,则( ).
A. B. C. D.
参考答案:
A
2. 已知x>1,则函数y=x+的最小值是_________.
参考答案:
5
3. 设m,n为两条不同的直线,α,β,γ为三个不同的平面,则下列四个命题中为真命题的是( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m∥α,m∥β,则α∥β
C.若m∥α,n∥β,m∥n,则α∥β D.若α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n,则m∥n
参考答案:
D
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.
【专题】整体思想;综合法;空间位置关系与距离.
【分析】根据空间直线和平面平行的判定定理和性质定理分别进行判断即可.
【解答】解:A.平行同一平面的两个平面不一定平行,故A错误,
B.平行同一直线的两个平面不一定平行,故B错误,
C.根据直线平行的性质可知α∥β不一定成立,故C错误,
D.根据面面平行的性质定理得,若α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n,则m∥n成立,故D正确
故选:D
【点评】本题主要考查空间直线和平面平行的位置的关系的判定,根据相应的性质定理和判定定理是解决本题的关键.
4. 若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是( )
A. B.a2>b2 C. D.a|c|>b|c|
参考答案:
C
略
5. 如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图,斜边O′B′=2,则这个平面图形的面积是( )
A. B.1 C. D.
参考答案:
D
【考点】平面图形的直观图.
【分析】根据所给的直观图是一个等腰直角三角形且斜边长是2,得到直角三角形的直角边长,做出直观图的面积,根据平面图形的面积是直观图的2倍,得到结果.
【解答】解:∵Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图,斜边O'B'=2,
∴直角三角形的直角边长是,
∴直角三角形的面积是,
∴原平面图形的面积是1×2=2
故选D.
6. 已知,且在第三象限,则 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
7. c已知与的夹角为,若,,D为BC中点,则=( )
A. B. C.7 D.18
参考答案:
A
略
8. 平行四边形ABCD中,,若,且,则的值为
A. B. C. D.
参考答案:
A
,,所以:,即,
整理得:,得:
9. 下列函数中,图象的一部分如右图所示的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
【分析】由函数图象可求周期T,里周期公式可求ω,根据x=时,y=1,代入验证,即可得解.
【解答】解:由函数图象可得: T=﹣(﹣),解得T=π,ω==2,故A,D错误;
又x=时,y=1,代入验证,
对于C,cos(2×﹣)=1,故正确;
对于D,sin(2×﹣)=0,故错误;
故选:B.
10. 设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a1=4,则公差d等于( )
A.﹣2 B.1 C. D.3
参考答案:
A
【考点】等差数列的前n项和.
【分析】由题意和等差数列的求和公式可得的方程,解方程即可.
【解答】解:由题意和等差数列的求和公式可得
S3=3a1+d=3×4+3d=6,
解得d=﹣2
故选:A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. (6分)(2015秋淮北期末)过点(2,1)且与直线x+3y+4=0垂直的直线方程为 .
参考答案:
3x﹣y﹣5=0
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.
【专题】方程思想;综合法;直线与圆.
【分析】由题意和垂直关系可得直线的斜率,可得点斜式方程,化为一般式可得.
【解答】解:∵直线x+3y+4=0的斜率为﹣,
∴与直线x+3y+4=0垂直的直线斜率为3,
故点斜式方程为y﹣1=3(x﹣2),
化为一般式可得3x﹣y﹣5=0,
故答案为:3x﹣y﹣5=0.
【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系,属基础题.
12. 若,则a+b=
参考答案:
5
13. 在钝角中,a=2,b=3,则最大边c的取值范围为
参考答案:
略
14. 右边流程图表示的是求最小正整数n的算法,则(1)处应填_____________.
参考答案:
_输出I-2
15. 已知sinα﹣cosβ=﹣,cosα+sinβ=,则sin(α﹣β)= .
参考答案:
【考点】GQ:两角和与差的正弦函数.
【分析】可将两式平方相加,运用同角的平方关系和两角差的正弦公式,即可得到所求的值.
【解答】解:∵sinα﹣cosβ=﹣,①
cosα+sinβ=,②
∴①2+②2,得(sin2α+cos2α)+(sin2β+cos2β)+2(sinβcosα﹣cosβsinα)=,
即有2+2sin(β﹣α)=,
即sin(β﹣α)=﹣,
即sin(α﹣β)=.
故答案为:.
16. 已知,且,则的值用a表示为__________.
参考答案:
2a
17. (5分)已知f(x)=在区间(m2﹣4m,2m﹣2)上能取得最大值,则实数m的取值范围为 .
参考答案:
(1,3]
考点: 函数的最值及其几何意义.
专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用.
分析: 作函数f(x)=的图象,结合图象及指数函数与二次函数的性质可得,从而解得.
解答: 作函数f(x)=的图象如下,
结合图象可知,
;
解得,1<m≤3;
故实数m的取值范围为(1,3];
故答案为:(1,3].
点评: 本题考查了基本初等函数的图象的作法及数形结合的应用,同时考查了函数的最值,属于中档题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数,
(1)求,的值;
(2)解方程.
参考答案:
解:(1)=6++2=8+ …………3分
= ………………6分
(2) 即 …………………9分
…………………………12分
19. 已知函数,其最小正周期为.
(I)求f(x)的表达式;
(II)将函数f(x)的图象向右平移个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,若关于x的方程g(x)+k=0,在区间上有且只有一个实数解,求实数k的取值范围.
参考答案:
【考点】HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;GQ:两角和与差的正弦函数;GS:二倍角的正弦;GT:二倍角的余弦;HK:由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
【分析】(I)利用三角函数的恒等变换化简函数f(x)的表达式为2sin(2ωx+),再根据它的最小正周期为,求得ω=2,从而求得f(x)的表达式.
(Ⅱ)根据函数y=Asin(ωx+?)的图象变换规律,可得,由题意可得函数y=g(x)与y=k在区间[0,]上有且只有一个交点,结合正弦函数的图象求得实数k的取值范围.
【解答】解:(I)=.…
由题意知f(x)的最小正周期,,所以ω=2…
所以,…
(Ⅱ)将f(x)的图象向右平移个单位后,得到的图象,
再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到的图象.
所以…
因为0≤x≤,所以.
g(x)+k=0 在区间[0,]上有且只有一个实数解,
即函数y=g(x)与y=k在区间[0,]上有且只有一个交点,
由正弦函数的图象可知,或k=﹣1,
所以,或k=﹣1.…
20. (12分) 己知圆C:(x-xo)2+(y-y0)2=R2(R>0)与y轴相切,圆心C在直线l:x-3y=0上,且圆C截直线m:x-y=0所得的弦长为2,求圆C方程.
参考答案:
圆C:(x-xo)2+(y-y0)2=R2(R>0)与y轴相切,则|x0|=R………(1)
圆心C在直线l:x-3y=0上,则x0=3y0 ……………………(2)
圆C截直线m:x-y=0所得的弦长为2,则
把(1)(2)代入上式消去x0,y0得:R=3,则x0=3,y0=1 或x0=-3,y0=-1
故所求圆C的方程为:(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9
21. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明:当时,车流速度是车流密度x的一次函数.
(1)当时,求函数的表达式;
(2)当车流密度为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数,单位:辆/每小时)可以达到最大,并求出最大值(精确到1辆/小时)。
参考答案:
解:(1)由题意:当;当
再由已知得
故函数的表达式为………………6分
(2)依题意并由(1)可得
当为增函数,故当时,其最大值为60×20=1200;
当时,
当且仅当,即时,等号成立。
所以,当在区间[20,200]上取得最大值.
综上,当时,在区间[0,200]上取得最大值
即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/小时.
……………12分
略
22. (本题8分)
在给定的坐标系内作出函数的图像,并回答下列问题
(Ⅰ)判断函数的奇偶性;
(Ⅱ)写出函数的单调减区间,并用函数单调性的定义证明.
参考答案:
24(Ⅰ)定义域为.且是偶函数。
(Ⅱ)单调减区间是。
证明:设是上任意两个不相等的实数,且,即。
则
,,,,即。
函数在区间上是减函数。
略
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