福建省泉州市榜头中学2022年高一数学理上学期期末试题含解析

福建省泉州市榜头中学2022年高一数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知三点A（－2,－1）、B（x，2）、C（1，0）共线，则x为：                                               A、7        B、-5         C、3        D、-1 参考答案： A 2. 当点P在圆上变动时，它与定点Q (3,0)相连，线段PQ的中点M的轨迹方程是　　 A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 设，，利用中点坐标公式可以求出，代入圆方程中，可以求出中点M的轨迹方程. 【详解】设，，因为M是线段PQ中点，所以有 ，点P在圆上，所以有，故本题选B. 【点睛】本题考查了求线段中点的轨迹方程，考查了中点坐标公式、代入思想. 3. 数列的通项公式，其前项和为，则=………………（  ▲  ） A．       B．        C．          D． 参考答案： C 略 4. 已知集合到集合的映射，那么集合中元素的集合中所对应的元素是（    ）． A． B． C． D． 参考答案： B 集合到的映射， ∴当时，，即集合中元素在集合中所对应的元素是．故选． 5. 已知关于x的不等式对任意恒成立，则k的取值范围是（    ） A. B. C. 或 D. 或 参考答案： A 【分析】 按，，分类讨论. 【详解】当时，不等式为恒成立，符合题意； 当时，若不等式对任意恒成立， 则，解得； 当时，不等式不能对任意恒成立。 综上，的取值范围是. 【点睛】二次型不等式恒成立问题，要按二次项的系数分类，再结合二次函数的性质分类讨论. 6. 若，,，则的值等于（    ） A．          B． C．         D．   参考答案： A 略 7. 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，，，那么异面直线AD1与DC1所成角的余弦值是（   ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 可证得四边形为平行四边形，得到，将所求的异面直线所成角转化为；假设，根据角度关系可求得的三边长，利用余弦定理可求得余弦值. 【详解】连接，     四边形为平行四边形    异面直线与所成角即为与所成角，即 设 ，    ， ，， 在中，由余弦定理得： 异面直线与所成角的余弦值为： 本题正确选项： 【点睛】本题考查异面直线所成角的求解问题，关键是能够通过平行关系将问题转化为相交直线所成角，在三角形中利用余弦定理求得余弦值. 8. 设，，，则a、b、c的大小顺序是（    ） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与和的大小关系，可得出这三个数的大小关系. 【详解】对数函数在上为减函数，则； 指数函数为减函数，则，即； 指数函数为增函数，则. 因此，. 故选：D. 【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性，结合中间值法来比较大小，考查推理能力，属于中等题. 9. 已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若，则的值是（   ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 由等差数列和等比数列的性质可得a5和b5，再利用性质将所求化为，即可得到答案. 【详解】数列是等比数列,由等比数列性质得，即a5＝﹣2， 数列是等差数列，由等差数列性质得，b5＝2π， ＝sin（﹣）＝sin． 故选：C 【点睛】本题考查等比数列及等差数列的性质，考查特殊角的三角函数值，考查计算能力，属于中档题． 10. 已知直线与圆相切，那么实数b的值是(  ) A. 0 B. 2 C. ±1 D. ±2 参考答案： D 【分析】 由圆的方程找出圆心坐标和半径r，根据直线与圆相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于b的方程，求出方程的解即可得到b的值． 【详解】解：由圆x2+y2＝2，得到圆心（0，0），半径r＝， ∵圆与直线＝0相切， ∴圆心到直线的距离d＝r，即， 整理得：b＝±， 则实数b的值为±， 故选：D． 【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，以及点到直线的距离公式，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知数列{an}，，且，则________． 参考答案： 【分析】 由题意可得{}是以+1为首项，以2为公比的等比数列，再由已知求得首项，进一步求得即可． 【详解】在数列中，满足得， 则数列是以+1为首项，以公比为2的等比数列， 得，由，则，得． 由，得，故． 故答案为： 【点睛】本题考查了数列的递推式，利用构造等比数列方法求数列的通项公式，属于中档题． 12. 对于任意实数、，定义运算*为：*=，其中、、为常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算，现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零常数，使得对于任意实数，都有*=，则=___________________________________. 参考答案： 4 13. 一个总体中有100个个体，随机编号0,1,2，…，99.依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3，…，10，现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第一组随机抽取的号码为t，则在第k组中抽取的号码个位数字与t＋k的个位数字相同，若t＝7，则在第8组中抽取的号码应是____ 参考答案： 75 略 14. 我们把满足（是常数）的数列叫做等和数列，常数叫做数列的公和．若等和数列的首项为1，公和为3，则该数列前2010项的和为            ． 参考答案： 3015 略 15. 已知△PBD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，,若点P、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的表面积等于__________． 参考答案： 16 16. 设等比数列{an}的公比为q，已知，，则____，q=____ 参考答案： 2    3 【分析】 由可得关于和的方程组，解方程组即可。 【详解】由题得解得，因此，。 【点睛】本题考查求等比数列的首项和公比，通项公式是解题的关键，属于基础题。   17. 已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是____________________ 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某网店对一应季商品过去20天的销售价格及销售量进行了监测统计发现，第天                                ()的销售价格(单位：元)为，第天的销售量为，已知该商品成本为每件25元.    （Ⅰ）写出销售额关于第天的函数关系式；    （Ⅱ）求该商品第7天的利润；    （Ⅲ）该商品第几天的利润最大？并求出最大利润. 参考答案： 解：（Ⅰ）           ---------------------------4分 （Ⅱ）元   -----------------------------------6分 （Ⅲ）设该商品的利润为                                             -----------------------------------8分 当时， 当时， 当时， ∴第6天利润最大，最大利润为1050元.         -----------------------------------12分 19. 已知函数. （Ⅰ）求函数f(x)的单调区间； （Ⅱ）求函数f(x)在区间上的最小值和最大值. 参考答案： （Ⅰ）的递调递增区间为，；单调递减区间为，.（Ⅱ）最小值和最大值分别为-1，. 【分析】 （Ⅰ）根据余弦函数的单调区间为；和，即可求出的单调区间（Ⅱ）当时，，利用余弦函数的图象和性质可求出函数的最大值和最小值. 【详解】（Ⅰ）令，，得，， 令，，得，， 故函数的递调递增区间为，；单调递减区间为，. （Ⅱ）当时，， ∴当，即时，取得最大值，， 当，即时，取得最小值，， ∴函数在区间上的最小值和最大值分别为-1，. 20. （5分）设函数f（x）=，则： （1）f（x）+f（1﹣x）=1， （2）f（）+f（）+f（）+…+f（）=． 参考答案： 考点： 函数的值． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 根据条件，先计算f（x）+f（1﹣x）是常数，然后按照条件分别进行计算即可得到结论． 解答： （1）∵f（x）=， ∴f（x）+f（1﹣x）=+=+=+=； （2）∵f（x）+f（1﹣x）=1， ∴设f（）+f（）+f（）+…+f（）=m， 则f（）+f（）+??+f（）=m， 两式相加得2m=2013， 则m=， 故答案为： 点评： 本题主要考查函数值的计算，根据指数函数的运算法则计算出f（x）+f（1﹣x）=1是解决本题的关键． 21. 为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度（单位：毫克/立方米）随着时间(单位：天)变化的函数关系式近似为。若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和。由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用． （1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天? （2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a（）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）。 参考答案： （1）， 当时，有，解得； 当时，有，解得； 综上可知，所以若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达8天。 （2）设从第一次喷洒起，经过天（） 浓度 因为，，所以，当时，有最小值。令，解得，所以得最小值为。 22. 已知函数f（x）=2x+2ax+b，且f（1）=、f（2）=． （1）求a、b的值；（2）判断f（x）的奇偶性并证明； （3）先判断并证明函数f（x）在[0，+∞）上的单调性，然后求f（x）的值域． 参考答案： 【考点】函数单调性的判断与证明；函数的值域． 【分析】（1）由f（1）=、f（2）=列方程组，解这个指数方程组即可得a、b的值；（2）先求函数的解析式，在求函数的定义域，最后利用函数奇偶性的定义证明函数的奇偶性；（3）利用函数单调性的定义，通过设变量，作差比较函数值的大小证明函数的单调性，利用函数的单调性求函数的值域即可 【解答】解：（1）由得 解得； （2）∵f（x）=2x+2﹣x，f（x）的定义域为R， 由f（﹣x）=2﹣x+2x=f（x）， 所以f（x）为偶函数． （3）f（x）在[0，+∞）上为增函数．证明如下： 设x1＜x2，且x1，x2∈[0，+∞） == 因为x1＜x2且x1，x2∈[0，+∞） 所以， 所以f（x1）﹣f（x2）＜