福建省泉州市吹楼中学高一数学理下学期期末试卷含解析

福建省泉州市吹楼中学高一数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设为常数，函数，若为偶函数，则等于（   ） A． B．1 C．2 D． 参考答案： D 2. 已知幂函数f（x）=（m﹣3）xm，则下列关于f（x）的说法不正确的是（　　） A．f（x）的图象过原点 B．f（x）的图象关于原点对称 C．f（x）的图象关于y轴对称 D．f（x）=x4 参考答案： B 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据幂函数的定义求出f（x）的解析式，判断四个选项是否正确即可． 【解答】解：∵f（x）=（m﹣3）xm是幂函数， ∴m﹣3=1，解得m=4， ∴函数解析式是f（x）=x4， 且当x=0时，y=f（0）=0，即函数f（x）的图象过原点， 又函数f（x）的图象关于y轴对称； ∴选项A、C、D正确，B错误． 故选：B． 【点评】本题考查了幂函数的定义以及幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题目． 3. 已知集合A={1，2，3，4}，B={x|﹣2≤3x﹣2≤10，x∈R}，则A∩B=（　　） A．{1} B．{1，2，3，4} C．{1，3} D．{1，4} 参考答案： B 【考点】交集及其运算． 【分析】先分别求出集合A，B，由此利用交集的定义能求出A∩B． 【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}， B={x|﹣2≤3x﹣2≤10，x∈R}={x|0≤x≤4}， ∴A∩B={1，2，3，4}． 故选：B． 4. 设，分别为等差数列与等比数列，且，则以下结论正确的是                                                （     ） A．     B．         C.          D. 参考答案： A 略 5. 已知，集合，若A=B，则的值是                                （    ）    A．5               B．4             C．25              D．10   参考答案： A  解析： 由及集合元素的互异性，知，又，知，因此由A=B，必有 解得故 6. 容器A中有升水，将水缓慢注入空容器B，经过t分钟时容器A中剩余水量y满足指数型函数为自然对数的底数，为正常数），若经过5分钟时容器A和容器B中的水量相等，经过n分钟容器A中的水只有，则n的值为   A．7      B．8    C．9            D．10 参考答案： D 7. 函数的图像关于（    ） A．轴对称          B．直线对称  C． 坐标原点对称      D． 直线对称 参考答案： C 略 8. 函数的最小值是(　　) A．1           B.－1            C．            D．－ 参考答案： D 9. 下列说法正确的是          （   ） A．经过定点的直线都可以用方程表示 B．经过定点的直线都可以用方程表示 C．不经过原点的直线都可以用方程表示 D．经过任意两个不同的点的直线都可以用方程      表示 参考答案： D 略 10. 的值为（    ） A．    B．    C．           D． 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在平面直角坐标系中，已知点A（0，0），B（1，1），C（2，﹣1），则∠BAC的余弦值为　　． 参考答案： 【考点】两点间距离公式的应用；正弦定理． 【专题】数形结合；转化思想；解三角形． 【分析】利用两点之间的距离的距离公式、余弦定理即可得出． 【解答】解：|AB|==，|AC|=，|BC|=． ∴cos∠BAC===． 故答案为：． 【点评】本题考查了两点之间的距离的距离公式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12. （5分）已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（7）=       ． 参考答案： ﹣2 考点： 函数的值． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 利用函数周期是4且为奇函数易于解决． 解答： 因为f（x+4）=f（x），所以4为函数f（x）的一个周期， 所以f（7）=f（3）=f（﹣1）， 又f（x）在R上是奇函数， 所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2×12=﹣2，即f（7）=﹣2． 故答案为：﹣2． 点评： 本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，属基础题． 13. 已知一个球的表面积为，则这个球的体积为            。 参考答案： 略 14. 已知，，其中，设与的夹角为：    ① ； ②若，则的最小值为； ③若，且（），则； ④若，记，则将的图象保持纵坐标不变，横坐标向左平移单位后得到的函数是偶函数； ⑤已知，，在以为圆心的圆弧上运动，且满足，（），则；上述命题正确的有             。 参考答案： ①③⑤ 略 15. 设集合A={1,2,3}，B={2,4,5}，则A∩B=___________. 参考答案： {2} 。 答案：   16. 设为实常数,是定义在上的奇函数,当时,,若对一切成立,则的取值范围为________. 参考答案： 略 17. （5分）设函数f（x）=（2a﹣1）x+b是R上的减函数，则a的范围为        ． 参考答案： 考点： 一次函数的性质与图象． 专题： 计算题． 分析： 根据一次函数的单调性知，当一次项的系数2a﹣1＜0时在R上是减函数，求出a的范围． 解答： 解：∵f（x）=（2a﹣1）x+b是R上的减函数， ∴2a﹣1＜0，解得． 故答案为：． 点评： 本题考查了一次函数的单调性，即一次项的系数大于零时是增函数，一次项的系数小于零时是减函数． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知集合A是同时满足下列两个性质的函数f（x）的全体． ①函数f（x）在其定义域上是单调函数； ②f（x）的定义域内存在区间[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域为[，]． （1）判断f（x）=x3是否属于M，若是，求出所有满足②的区间[a，b]，若不是，说明理由； （2）若是否存在实数t，使得h（x）=+t∈M，若存在，求实数t的取值范围；若不存在，说明理由． 参考答案： 【考点】函数单调性的判断与证明． 【分析】（1）可以看出g（x）为增函数，满足条件①，而方程x3=有三个不同的解，从而满足条件②，从而说明g（x）属于M，且可写出所有满足②的区间[a，b]； （2）利用导数可得函数h（x）在定义域[1，+∞）上是增函数．若h（x）∈M，则存在a，b∈[1，+∞），且a＜b，使得h（a）=，h（b）=，即a﹣2﹣2t=0，且b﹣2﹣2t=0．令=y（x≥1），则y≥0，于是关于y的方程y2﹣2y+1﹣2t=0在[0，+∞）上有2个不等实根，利用二次函数的性质求得t的范围． 【解答】解：（1）g（x）=x3在R上为增函数，满足性质①； 解x3=得，x=0，或x=±； ∴满足性质②； ∴g（x）属于M，且满足②的区间[a，b]为[﹣，0]，[0，]，或[﹣，]； （2）函数h（x）的定义域是[1，+∞）， 当x＞1时，h′（x）=＞0，故函数h（x）在[1，+∞）上是增函数， 若h（x）∈M，则存在a，b∈[1，+∞），且a＜b， 使得h（a）=，h（b）=，即a﹣2﹣2t=0，且b﹣2﹣2t=0， 令=y（x≥1），则y≥0， 于是关于y的方程y2﹣2y+1﹣2t=0在[0，+∞）上有两个不等的实根， 记u（y）=y2﹣2y+1﹣2t， ∴，∴t∈（0，]． 19. (本小题满分12分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下： 甲        82      81      79      78      95      88      93      84 乙        92      95      80      75      83      80      90      85 （1）（1）用茎叶图表示这两组数据； （2）（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度（在平均数、方差或标准差中选两个）考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由[ 参考答案： 解 ∵，，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适  略 20. 随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如右图. (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； (2)计算甲班的样本方差； (3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身 高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm 的同学被抽中的概率． 参考答案： 略 21. 函数f（x）=loga（3﹣ax）（a＞0，a≠1） （1）当a=3时，求函数f（x）的定义域； （2）若g（x）=f（x）﹣loga（3+ax），请判定g（x）的奇偶性； （3）是否存在实数a，使函数f（x）在[2，3]递增，并且最大值为1，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】对数函数的图象与性质；函数奇偶性的判断． 【分析】（1）根据对数函数的性质求出函数的定义域即可；（2）根据奇函数的定义证明即可；（3）令u=3﹣ax，求出u=3﹣ax在[2，3]上的单调性，根据f（x）的最大值，求出a的值即可． 【解答】解：（1）由题意：f（x）=log3（3﹣3x）， ∴3﹣3x＞0，即x＜1，… 所以函数f（x）的定义域为（﹣∞，1）．… （2）易知g（x）=loga（3﹣ax）﹣loga（3+ax）， ∵3﹣ax＞0，且3+ax＞0， ∴，关于原点对称，… 又∵g（x）=loga（3﹣ax）﹣loga（3+ax）=， ∴g（﹣x）==﹣=﹣g（x），… ∴g（x）为奇函数．… （3）令u=3﹣ax，∵a＞0，a≠1， ∴u=3﹣ax在[2，3]上单调递减，… 又∵函数f（x）在[2，3]递增，∴0＜a＜1，… 又∵函数f（x）在[2，3]的最大值为1， ∴f（3）=1，… 即f（3）=loga（3﹣3a）=1， ∴．… 22. 已知集合A={x|2＜x＜8}，集合B={x|a＜x＜2a﹣2}，若满足B?A，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】集合的包含关系判断及应用． 【专题】计算题；分类讨论；综合法；集合． 【分析】要分B等于空集和不等于空集两种情况．再根据B?A求出a的取值范围． 【解答】解：∵集合A={x|2＜x＜8}，集合B={x|a＜x＜2a﹣2}，B?A， ∴B=?时，a≥2a﹣2，∴a≤2； B≠?时，….6 ∴2＜a≤5….10 综上述得a的取值范围为{a|a≤5}…12 【点评】本题考查子集的定义，考查分类讨论的数学思想，注意B=?的情况．