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浙江省杭州市新安江中学高二数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设、是曲线上的点,,则必有 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
2. 已知流程图如图所示,该程序运行后,为使输出的b值为16,则循环体的判断框内①处应填( )
A.2 B.3 C.4 D.5
参考答案:
B
【考点】E7:循环结构.
【分析】写出每次循环a,b的取值,根据退出循环的条件即可判定答案.
【解答】解:a=1,b=1
第1次循环:b=2,a=2,继续执行循环;
第2次循环:b=4,a=3,继续执行循环;
第3次循环:b=16,a=4;
所以,为使输出的b值为16,循环体的判断框内应填a≤3,即满足a≤3则执行循环,否则退出循环,输出b=16;
故答案为:B.
3. 设a,b,c都是实数.已知命题若,则;命题若,则.则下列命题中为真命题的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
4. 椭圆2x2+y2=6的焦点坐标是( )
A.(±,0) B.(0,±) C.(±3,0) D.(0,±3)
参考答案:
B
【考点】K4:椭圆的简单性质.
【分析】根据题意,将椭圆的方程变形为标准方程,分析可得其焦点位置以及c的值,由焦点坐标公式即可得答案.
【解答】解:根据题意,椭圆2x2+y2=6的标准方程为+=1,
其焦点在y轴上,且c==,
则其焦点坐标为(0,±),
故选:B.
5. 某几何体的正视图和侧视图均如图1所示,则该几何体的俯视图不可能是 ( )
参考答案:
D
6. 已知直线l过点,且在x轴和y轴上的截距相等,则直线l的方程为( )
A.
B.或
C.或
D.或或
参考答案:
B
7. 已知椭圆,若此椭圆上存在不同的两点A,B关于直线对称,则实数m的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案:
B
8. 命题“?x>0,lnx>0”的否定是( )
A.?x>0,lnx>0 B.?x>0,lnx>0 C.?x>0,lnx≥0 D.?x>0,lnx≤0
参考答案:
D
【考点】命题的否定.
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.
【解答】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题“?x>0,lnx>0“的否定是?x>0,lnx≤0.
故选:D
【点评】本题考查命题的否定,全称命题与特称命题的否定关系,是基础题.
9. 空间四边形中,互相垂直的边最多有( )
A、1对 B、2对 C、3对 D、4对
参考答案:
C
10. 在半径为2圆形纸板中间,有一个边长为2的正方形孔,现向纸板中随机投飞针,则飞针能从正方形孔中穿过的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【分析】
根据面积比的几何概型,即可求解飞针能从正方形孔中穿过的概率,得到答案.
【详解】由题意,边长为2的正方形的孔的面积为,
又由半径为2的圆形纸板的面积为,
根据面积比的几何概型,可得飞针能从正方形孔中穿过的概率为,
故选D.
【点睛】本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算,以及正方形的面积和圆的面积公式的应用,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数 f(x)=+xlnx,g(x)=x3﹣x2﹣5,若对任意的x1,x2∈[,2],都有f(x1)﹣g(x2)≥2成立,则a的取值范围是 .
参考答案:
[1,+∞)
【考点】6E:利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】对任意的x1,x2∈[,2],都有f(x1)﹣g(x2)≥2成立等价于f(x)≥2+g(x)max.求得g(x)的最大值,进一步利用分离参数法,构造函数法,求得单调区间和最值,即可求得实数a的取值范围.
【解答】解:对任意的x1,x2∈[,2],都有f(x1)﹣g(x2)≥2成立
等价于f(x)≥2+g(x)max.
由g(x)=x3﹣x2﹣5的导数g′(x)=3x2﹣2x=x(3x﹣2),
在[,)上,g′(x)<0,g(x)递减;在(,2)上,g′(x)>0,g(x)递增.
g(2)=﹣1,g()=﹣,可得g(x)max=﹣1,
可得在[,2]上,f(x)=+xlnx≥1恒成立,等价于a≥x﹣x2lnx恒成立.
记h(x)=x﹣x2lnx,则h′(x)=1﹣2xlnx﹣x且h′(1)=0,
∴当<x<1时,h′(x)>0;当1<x<2时,h′(x)<0,
∴函数h(x)在(,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,
∴h(x)max=h(1)=1.
∴a≥1.
故答案为:[1,+∞).
12. 已知是虚数单位,则
参考答案:
-1+i
略
13. 复数z满足=1﹣2i(i是虚数单位),则z的虚部是 .
参考答案:
0
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】利用复数定义是法则、虚部的定义即可得出.
【解答】解:复数z满足=1﹣2i(i是虚数单位),
∴z=(1+2i)(1﹣2i)=12+22=5,
则z的虚部为0.
故答案为:0.
14. 一个五位数满足且(如37201,45412),则称这个五位数符合“正弦规律”.那么,其中五个数字互不相同的五位数共有 ▲ 个.
参考答案:
略
15. 如果把个位数是1,且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”,
那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中,“好数”共有 个.
参考答案:
12
略
16. 直线x﹣ysinθ+1=0(θ∈R)的倾斜角范围是 .
参考答案:
【考点】I2:直线的倾斜角.
【分析】由直线的倾斜及和斜率的关系,以及正切函数的值域可得.
【解答】解:设直线x﹣ysinθ+1=0的倾斜角为α,
当时,则sinθ=0,符合题意,
当时,sinθ≠0,
可得直线的斜率k=,
又∵0<α<π,∴或.
综上满足题意的倾斜角范围为:
故答案为:
17. 在△ABC中, AB=1,AC=,,则 .
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 为了参加奥运会,对自行车运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试,测得他们的最大速度的数据如表所示:请判断:谁参加这项重大比赛更合适,并阐述理由。
参考答案:
略
19. (本小题满分8分)设
(1)求函数的单调区间与极值;
(2)当时,恒成立,求实数的取值范围.
参考答案:
(1)
令得的增区间为
令得的减区间为.
当时, 取极大值;当时取极小值.
(2)即求的最大值.令得或
略
20. 袋中装有4个白棋子、3个黑棋子,从袋中随机地取棋子,设取到一个白棋子得2分,取到一个黑棋子得1分,从袋中任取4个棋子.
(1)求得分X的分布列;
(2)求得分大于6的概率.
参考答案:
(1)X的取值为5、6、7、8.
,,
,.
X的分布列为
(2)根据X的分布列,可得到得分大于6的概率为
略
21. 在直角坐标系xOy中,直线C1:x=﹣2,圆C2:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求C1,C2的极坐标方程;
(Ⅱ)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.
参考答案:
【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程.
【分析】(Ⅰ)由条件根据x=ρcosθ,y=ρsinθ求得C1,C2的极坐标方程.
(Ⅱ)把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0,求得ρ1和ρ2的值,结合圆的半径可得C2M⊥C2N,从而求得△C2MN的面积?C2M?C2N的值.
【解答】解:(Ⅰ)由于x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴C1:x=﹣2 的
极坐标方程为 ρcosθ=﹣2,
故C2:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1的极坐标方程为:
(ρcosθ﹣1)2+(ρsinθ﹣2)2=1,
化简可得ρ2﹣(2ρcosθ+4ρsinθ)+4=0.
(Ⅱ)把直线C3的极坐标方程θ=(ρ∈R)代入
圆C2:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1,
可得ρ2﹣(2ρcosθ+4ρsinθ)+4=0,
求得ρ1=2,ρ2=,
∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|=,由于圆C2的半径为1,∴C2M⊥C2N,
△C2MN的面积为?C2M?C2N=?1?1=.
【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程,点的极坐标的定义,属于基础题.
22. (本小题满分15分)
如图,过点的两直线与抛物线相切于A、B两点, AD、BC垂直于直线,垂足分别为D、C..
(1)若,求矩形ABCD面积;
(2)若,求矩形ABCD面积的最大值.
参考答案:
解:(1)时, (详细过程见第(2)问) --------6分
(2)设切点为,则,
因为,所以切线方程为, 即,
因为切线过点,所以,即,于是.
将代入得.
(若设切线方程为,代入抛物线方程后由得到切点坐标,亦予认可.)
所以, 所以矩形面积为, .
所以当时,;当时,;
故当时,S有最大值为. -------15分
略
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