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湖南省郴州市三合中学高二数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. P是双曲线左支上的一点,F1、F2分别是左、右焦点,且焦距为2c,则的内切圆的圆心的横坐标为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
2. 已知为三条不同的直线,且平面,平面,.
(1)若与是异面直线,则至少与、中的一条相交;
(2)若不垂直于,则与一定不垂直;
(3)若∥,则必有∥;
(4)若,,则必有.
其中正确的命题的个数是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
3. 已知m,n是两条不同直线,α,β,γ是三个不同平面,下列命题中正确的是( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β
C.若m∥α,m∥β,则α∥β
D.若m⊥α,n⊥α,则m∥n
参考答案:
D
略
4. 过双曲线的右焦点F2的一条弦PQ,|PQ|=7,F1是左焦点,那么△F1PQ的周长为( )
A.18 B. C. D.
参考答案:
C
5. 设点A,B的坐标分别为(4,0),(﹣4,0),直线AP,BP相交于点P,且它们的斜率之积为实数m,关于点P的轨迹下列说法正确的是( )
A.当m<﹣1时,轨迹为焦点在x轴上的椭圆(除与x轴的两个交点)
B.当﹣1<m<0时,轨迹为焦点在y轴上的椭圆(除与y轴的两个交点)
C.当m>0时,轨迹为焦点在x轴上的双曲线(除与x轴的两个交点)
D.当0<m<1时,轨迹为焦点在y轴上的双曲线(除与y轴的两个交点)
参考答案:
C
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】把m<﹣1代入mx2﹣y2=16m,轨迹为焦点在y轴上的椭圆(除与y轴的两个交点),判断A不正确,把﹣1<m<0代入mx2﹣y2=16m,轨迹为焦点在在x轴上的椭圆(除与x轴的两个交点),判断B不正确,把0<m<1代入mx2﹣y2=16m,轨迹为焦点在x轴上的双曲线(除与x轴的两个交点),判断D不正确,设出P点坐标,由向量之积等于m列式,可得P的轨迹方程,核对四个选项得答案.
【解答】解:设P(x,y),则=(x≠4),(x≠﹣4),
由kBP?kAP=m,得,
∴mx2﹣y2=16m.
当m>0时,方程化为(x≠±4),轨迹为焦点在x轴上的双曲线(除与x轴的两个交点).
故选:C.
6. 把函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍,再向左平移,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的一个单调递增区间为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
【分析】
利用三角函数的图象变换可得函数,再由 ,,可解得单调增区间,即可得解.
【详解】函数 的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍,
可得的图象,再向左平移,
得到函数 的图象.
由 ,,得,.
当时,函数的一个单调递增区间,
故选B.
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数的单调性,注意三角函数的平移变换,平移是针对自变量“x”而言的,所以需要将x的系数提出,属于中档题.
7. 圆x2+y2-4x-2y-5=0的圆心坐标是:( )
A.(-2,-1); B.(2,1); C.(2,-1); D.(1,-2).
参考答案:
B
略
8. 已知奇函数在区间[0,+∞)上单调递增,则满足以<0的菇的取值范围是
A.(,+∞) B.(,+∞) C.(-∞,) D.(-∞,)
参考答案:
C
9. 已知命题:,则
A. B.
C. D.
参考答案:
C
略
10. 双曲线的焦距为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B.
试题分析:由题意得,,则,故焦距,故选B.
考点:双曲线的性质.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数,若函数有且只有一个零点,则实数的取值范围为_____________________.
参考答案:
.
因为双曲线的渐近线方程为,又因为函数在处的切线方程为,根据图像可知:.
12. 已知函数对于任意实数x都有,且当时,,若实数a满足,则a的取值范围是________.
参考答案:
【分析】
先证明函数在[0,+∞ 上单调递增,在上单调递减,再利用函数的图像和性质解不等式||<1得解.
【详解】由题得,当x≥0时,,
因为x≥0,所以,
所以函数在[0,+∞ 上单调递增,
因为,所以函数是偶函数,
所以函数在上单调递减,
因为,
所以||<1,所以-1<<1,
所以.
故答案为:
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性,考查函数的奇偶性和单调性的应用,考查对数不等式的解法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
13. 如图,已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点恰好是椭圆的右焦点F,且两条曲线的交点连线也过焦点F,则该椭圆的离心率为 ▲ .
参考答案:
-1
14. 若椭圆+=1的一个焦点坐标为(1,0),则实数m的值等于 .
参考答案:
4
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】计算题;规律型;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】利用椭圆的焦点坐标,列出方程即可求出m的值.
【解答】解:椭圆+=1的一个焦点坐标为(1,0),
可得,解得m=4.
故答案为:4.
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,考查计算能力.
15. 把圆周4等分,A是其中一个分点,动点P在四个分点上按逆时针方向前进,掷一个各面分别写有数字1,2,3,4且质地均匀的正四面体,P从点A出发按照正四面体底面上所掷的点数前进(数字为n就前进n步),转一周之前继续投掷,转一周或超过一周即停止投掷。则点P恰好返回A点的概率是
参考答案:
16. 如图,已知球O的面上四点A、B、C、D,DA⊥平面ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC=,则球O的体积等于__________.
参考答案:
17. 若数列{an}的前n项和Sn=2n2+n,那么它的通项公式是
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数是奇函数,并且函数的图像经过点(1,3)
(1)求实数的值;
(2)求函数的值域.
参考答案:
(1)
(2)由(1)知
当时,当且仅当即时取等号
当时,
当且仅当即时取等号
综上可知函数的值域为.
19. (本小题满分12分)
(1)求证:
(2)已知:,,证明:
参考答案:
略
略
20. 已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是一条渐近线的方程是
(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M,N,且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求的取值范围.
参考答案:
解:设双曲线C的方程为由题设得
解得 所以双曲线C的方程为
(Ⅱ)解:设直线l方程为点M,N的坐标满足方程组
将①式代入②式,得整理得
此方程有两个不等实根,于是,且
整理得 . ③
由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标()满足
从而线段MN的垂直平分线的方程为
此直线与x轴,y轴的交点坐标分别为由题设可得
整理得
将上式代入③式得,整理得
解得所以k的取值范围是
21. 已知三点A(1,2),B(﹣3,0),C(3,﹣2).
(1)求证△ABC为等腰直角三角形;
(2)若直线3x﹣y=0上存在一点P,使得△PAC面积与△PAB面积相等,求点P的坐标.
参考答案:
(1)∵
∴
………………………3分
显然………………………4分
∵,且 ………………………5分
∴是以为顶点的等腰直角三角形…………………6分
(2)直线的方程为,即………………7分
直线的方程为,即………………8分
∵点在直线上,∴可设
∵,的面积与面积相等,∴点到直线的距离与到直线距离相等
即,即………………10分
解得,,∴点的坐标为………………12分
22. 已知曲线C的参数方程为(α为参数),以直角坐标系原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹.
(2)若直线的极坐标方程为sinθ﹣cosθ=,求直线被曲线C截得的弦长.
参考答案:
【考点】QH:参数方程化成普通方程;Q4:简单曲线的极坐标方程.
【分析】(1)由sin2α+cos2α=1,能求出曲线C的普通方程,再由ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,ρsinθ=y,能求出曲线C的极坐标方程,由此得到曲线C是以(3,1)为圆心,以为半径的圆.
(2)先求出直线的直角坐标为x﹣y+1=0,再求出圆心C(3,1)到直线x﹣y+1=0的距离d,由此能求出直线被曲线C截得的弦长.
【解答】解:(1)∵曲线C的参数方程为(α为参数),
∴由sin2α+cos2α=1,
得曲线C的普通方程为(x﹣3)2+(y﹣1)2=10,
即x2+y2=6x+2y,
由ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,ρsinθ=y,
得曲线C的极坐标方程为ρ2=6ρcosθ+2ρsinθ,
即ρ=6cosθ+2sinθ,
它是以(3,1)为圆心,以为半径的圆.
(2)∵直线的极坐标方程为sinθ﹣cosθ=,
∴ρsinθ﹣ρcosθ=1,
∴直线的直角坐标为x﹣y+1=0,
∵曲线C是以(3,1)为圆心,以r=为半径的圆,
圆心C(3,1)到直线x﹣y+1=0的距离d==,
∴直线被曲线C截得的弦长|AB|=2=2=.
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