湖南省郴州市三合中学高二数学理下学期期末试卷含解析

湖南省郴州市三合中学高二数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. P是双曲线左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则的内切圆的圆心的横坐标为（   ） A．         B．      C．        D． 参考答案： A 略 2. 已知为三条不同的直线，且平面，平面，． (1)若与是异面直线，则至少与、中的一条相交； (2)若不垂直于，则与一定不垂直； (3)若∥，则必有∥； (4)若，，则必有． 其中正确的命题的个数是（    ） A．        B．            C．         D． 参考答案： C 3. 已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是(　 　) A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n 参考答案： D 略 4. 过双曲线的右焦点F2的一条弦PQ，|PQ|=7，F1是左焦点，那么△F1PQ的周长为（     ） A．18             B．      C．     D． 参考答案： C 5. 设点A，B的坐标分别为（4，0），（﹣4，0），直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为实数m，关于点P的轨迹下列说法正确的是（　　） A．当m＜﹣1时，轨迹为焦点在x轴上的椭圆（除与x轴的两个交点） B．当﹣1＜m＜0时，轨迹为焦点在y轴上的椭圆（除与y轴的两个交点） C．当m＞0时，轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除与x轴的两个交点） D．当0＜m＜1时，轨迹为焦点在y轴上的双曲线（除与y轴的两个交点） 参考答案： C 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】把m＜﹣1代入mx2﹣y2=16m，轨迹为焦点在y轴上的椭圆（除与y轴的两个交点），判断A不正确，把﹣1＜m＜0代入mx2﹣y2=16m，轨迹为焦点在在x轴上的椭圆（除与x轴的两个交点），判断B不正确，把0＜m＜1代入mx2﹣y2=16m，轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除与x轴的两个交点），判断D不正确，设出P点坐标，由向量之积等于m列式，可得P的轨迹方程，核对四个选项得答案． 【解答】解：设P（x，y），则=（x≠4），（x≠﹣4）， 由kBP?kAP=m，得， ∴mx2﹣y2=16m． 当m＞0时，方程化为（x≠±4），轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除与x轴的两个交点）． 故选：C． 6. 把函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的一个单调递增区间为（    ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 利用三角函数的图象变换可得函数，再由 ，，可解得单调增区间，即可得解. 【详解】函数 的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍， 可得的图象，再向左平移， 得到函数 的图象. 由 ，，得，. 当时，函数的一个单调递增区间， 故选B. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数的单调性，注意三角函数的平移变换，平移是针对自变量“x”而言的，所以需要将x的系数提出，属于中档题. 7. 圆x2+y2-4x-2y-5=0的圆心坐标是：（     ） A.(-2,-1);      B.(2,1);      C.(2,-1);      D.(1,-2). 参考答案： B 略 8. 已知奇函数在区间[0，+∞)上单调递增，则满足以<0的菇的取值范围是 A．(，+∞)  B．(，+∞)  C．(-∞，)  D．(-∞，) 参考答案： C 9. 已知命题：，则                                        A.   B.    C.   D.   参考答案： C 略 10. 双曲线的焦距为                         （　  ） A.    B.    C.     D. 参考答案： B. 试题分析：由题意得，，则，故焦距，故选B. 考点：双曲线的性质. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数，若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为_____________________.   参考答案： ． 因为双曲线的渐近线方程为，又因为函数在处的切线方程为，根据图像可知:． 12. 已知函数对于任意实数x都有，且当时，，若实数a满足，则a的取值范围是________． 参考答案： 【分析】 先证明函数在[0,+∞ 上单调递增，在上单调递减，再利用函数的图像和性质解不等式||＜1得解. 【详解】由题得，当x≥0时，， 因为x≥0，所以， 所以函数在[0,+∞ 上单调递增， 因为，所以函数是偶函数， 所以函数在上单调递减， 因为， 所以||＜1，所以-1＜＜1， 所以. 故答案为： 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查对数不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 13. 如图，已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点恰好是椭圆的右焦点F，且两条曲线的交点连线也过焦点F，则该椭圆的离心率为   ▲   ． 参考答案： －1 14. 若椭圆+=1的一个焦点坐标为（1，0），则实数m的值等于         ． 参考答案： 4 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】计算题；规律型；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用椭圆的焦点坐标，列出方程即可求出m的值． 【解答】解：椭圆+=1的一个焦点坐标为（1，0）， 可得，解得m=4． 故答案为：4． 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力． 15. 把圆周4等分，A是其中一个分点，动点P在四个分点上按逆时针方向前进，掷一个各面分别写有数字1,2,3,4且质地均匀的正四面体，P从点A出发按照正四面体底面上所掷的点数前进（数字为n就前进n步），转一周之前继续投掷，转一周或超过一周即停止投掷。则点P恰好返回A点的概率是             参考答案： 16. 如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于__________． 参考答案：   17. 若数列{an}的前n项和Sn=2n2＋n，那么它的通项公式是           参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数是奇函数，并且函数的图像经过点（1，3） （1）求实数的值； （2）求函数的值域. 参考答案： （1） （2）由（1）知        当时，当且仅当即时取等号        当时，        当且仅当即时取等号        综上可知函数的值域为. 19. （本小题满分12分） (1)求证： (2)已知：，,证明： 参考答案： 略   略 20. 已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是一条渐近线的方程是     （Ⅰ）求双曲线C的方程；     （Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围. 参考答案： 解：设双曲线C的方程为由题设得    解得   所以双曲线C的方程为 （Ⅱ）解：设直线l方程为点M，N的坐标满足方程组                             将①式代入②式，得整理得 此方程有两个不等实根，于是，且 整理得    .   ③ 由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（）满足         从而线段MN的垂直平分线的方程为 此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为由题设可得         整理得 将上式代入③式得，整理得 解得所以k的取值范围是 21. 已知三点A（1，2），B（﹣3，0），C（3，﹣2）． （1）求证△ABC为等腰直角三角形； （2）若直线3x﹣y=0上存在一点P，使得△PAC面积与△PAB面积相等，求点P的坐标． 参考答案： （1）∵ ∴                 ………………………3分     显然………………………4分 ∵，且 ………………………5分     ∴是以为顶点的等腰直角三角形…………………6分 （2）直线的方程为，即………………7分      直线的方程为，即………………8分      ∵点在直线上，∴可设      ∵，的面积与面积相等，∴点到直线的距离与到直线距离相等      即，即………………10分   解得，，∴点的坐标为………………12分 22. 已知曲线C的参数方程为（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹． （2）若直线的极坐标方程为sinθ﹣cosθ=，求直线被曲线C截得的弦长． 参考答案： 【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）由sin2α+cos2α=1，能求出曲线C的普通方程，再由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲线C的极坐标方程，由此得到曲线C是以（3，1）为圆心，以为半径的圆． （2）先求出直线的直角坐标为x﹣y+1=0，再求出圆心C（3，1）到直线x﹣y+1=0的距离d，由此能求出直线被曲线C截得的弦长． 【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为（α为参数）， ∴由sin2α+cos2α=1， 得曲线C的普通方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10， 即x2+y2=6x+2y， 由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y， 得曲线C的极坐标方程为ρ2=6ρcosθ+2ρsinθ， 即ρ=6cosθ+2sinθ， 它是以（3，1）为圆心，以为半径的圆． （2）∵直线的极坐标方程为sinθ﹣cosθ=， ∴ρsinθ﹣ρcosθ=1， ∴直线的直角坐标为x﹣y+1=0， ∵曲线C是以（3，1）为圆心，以r=为半径的圆， 圆心C（3，1）到直线x﹣y+1=0的距离d==， ∴直线被曲线C截得的弦长|AB|=2=2=．