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河南省驻马店市汝南县留盆镇第二中学高二数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知,且,则下列不等式成立的是
A、 B、
C、 D、
参考答案:
D
2. 命题:“若x2<1,则-11,或x<-1,则x2>1 D.若x≥1,或x≤-1,则x2≥1
参考答案:
D
略
3. 复数在复平面内所对应的点位于第( )象限.
A.一 B.二 C.三 D.四
参考答案:
B
4. 六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体.已知在平行四边形ABCD中(如图1),有AC2+BD2=2(AB2+AD2),则在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中(如图2),AC12+BD12+CA12+DB12等于( )
A.2(AB2+AD2+AA12) B.3(AB2+AD2+AA12)
C.4(AB2+AD2+AA12) D.4(AB2+AD2)
参考答案:
C
【考点】棱柱的结构特征.
【分析】根据平行六面体的性质,可以得到它的各个面以及它的对角面均为平行四边形,多次使用已知条件中的定理,再将所得等式相加,可以计算出正确结论.
【解答】解:如图,平行六面体的各个面以及对角面都是平行四边形,
因此,在平行四边形ABCD中,AC2+BD2=2(AB2+AD2)…①;
在平行四边形ACC1A1中,A1C2+AC12=2(AC2+AA12)…②;
在平行四边形BDD1B1中,B1D2+BD12=2(BD2+BB12)…③;
②、③相加,得A1C2+AC12+B1D2+BD12=2(AC2+AA12)+2(BD2+BB12)…④
将①代入④,再结合AA1=BB1得,AC12+B1D2+A1C2+BD12=4(AB2+AD2+AA12)
故选C.
5. 如图,一个质点从原点出发,在与y轴.x轴平行的方向按(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)→(2,0)→(2,2)…的规律向前移动,且每秒钟移动一个单位长度,那么到第2011秒时,这个质点所处位置的坐标是 ( )
A.(13,44) B.(14,44)
C.(44,13) D.(44,14)
参考答案:
A
6. 设P为椭圆上的动点,则P到直线x+y-6=0的最小距离为 ( )
A.1 B.2 C. D.
参考答案:
C
7. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).
A.16+8π B.8+8π
C.16+16π D.8+16π
参考答案:
A
略
8. 已知等比数列中,是方程的两个根,则等于
A. 1或 B. C. 1 D. 2
参考答案:
C
9. 若正四棱锥的侧棱长为,侧面与底面所成的角是45°,则该正四棱锥的体积是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.
【分析】作出棱锥的高与斜高,得出侧面与底面所成角的平面角,利用勾股定理列方程解出底面边长,代入体积公式计算.
【解答】解:过棱锥定点S作SE⊥AD,SO⊥平面ABCD,则E为AD的中点,O为正方形ABCD的中心.
连结OE,则∠SEO为侧面SAD与底面ABCD所成角的平面角,即∠SEO=45°.
设正四棱锥的底面边长为a,则AE=OE=SO=,
∴SE==.
在Rt△SAE中,∵SA2=AE2+SE2,
∴3=,解得a=2.
∴SO=1,
∴棱锥的体积V==.
故选B.
10. 双曲线的实轴长是( )
A. 2; B. ; C. 4; D.
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 命题“”的否定是 .
参考答案:
12. 设,则二项式展开式中的项的系数为
参考答案:
-160
13. 等差数列{an}中,若a3+a7=16,则a5=_________;
参考答案:
8
略
14. 不等式的解集为____________
参考答案:
略
15. 函数y=xex在其极值点处的切线方程为 .
参考答案:
y=﹣
【考点】函数在某点取得极值的条件;利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】求出极值点,再结合导数的几何意义即可求出切线的方程.
【解答】解:依题解:依题意得y′=ex+xex,
令y′=0,可得x=﹣1,
∴y=﹣.
因此函数y=xex在其极值点处的切线方程为y=﹣.
故答案为:y=﹣.
16. 在复平面内,复数对应的点到直线的距离是
参考答案:
略
17. 如右图,为正方体,棱长为2,下面结论中
正确的结论是________.(把你认为正确的结论都填上, 填序号)
①∥平面; ②⊥平面;
③过点与异面直线AD和成90°角的直线有2条;
④三棱锥的体积.
参考答案:
①②④
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为,直线l的参数方程为(t为参数),直线l与圆C交于A,B两点,P是圆C上不同于A,B的任意一点.
(1)求圆心的极坐标;
(2)求面积的最大值.
参考答案:
(1);(2)
【分析】
(1)先把圆的极坐标方程化为直角坐标方程(x-1)2+(y+1)2=2,再把圆心的坐标化为极坐标.(2)先求出弦长AB,再求点P到直线AB距离的最大值,即得面积的最大值.
【详解】(1)圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x+2y=0,
即(x-1)2+(y+1)2=2.
所以圆心坐标为(1,-1),圆心极坐标为.
(2)直线l的普通方程为2x-y-1=0,
圆心到直线l的距离d=,
所以|AB|=2=,
点P到直线AB距离的最大值为,故最大面积Smax=.
【点睛】(1)本题主要考查极坐标方程、参数方程和直角坐标方程的互化,考查弦长的计算、圆和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)求圆的弦长经常用到公式.(3)解答本题的关键是利用数形结合求出点P到直线AB的最大值.
19. 为了保护三峡库区的生态环境,凡是坡度在25°以上的坡荒地都要绿化造林。据初步统计,到2004年底库区的绿化率只有30%。计划从2005年开始加大绿化造林的力度,每年原来坡度在25°以上的坡荒面积的16%将被造林绿化,但同时原有绿化面积的4%还是会被荒化。设该地区的面积为1,2004年绿化面积为,经过一年绿化面积为a2,…,经过n年绿化面积为
(I)试写出的关系式,并证明数列是等比数列;
(II)问至少需要经过多少年努力,才能使库区的绿化面积超过60%?
参考答案:
解析:(I)设2004年坡度在25°以上的坡荒地面积为b1,经过n年绿化造林后坡荒地面积为
由 所以数列
(II)由(I)可知 故至少需要5年才能使库区的绿化面积超过60%。
20. 过点(﹣5,﹣4)作一直线l,使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5.
参考答案:
8x﹣5y+20=0或2x﹣5y﹣10=0
略
21. 已知函数f(x)=alnx﹣ax﹣3(a<0).
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的t∈[0,1],函数g(x)=x3+x2[f′(x)+m]在区间(t,2)上总不是单调函数,其中f′(x)为f(x)的导函数,求实数m的取值范围.
参考答案:
解 (Ⅰ)根据题意知,,
当时,的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1].
(Ⅱ)∵,∴,
∴.
∴,
∴.
∵在区间上总不是单调函数,且,
∴
由题意知:对于任意的,恒成立,
∴
∴.
略
22. (本小题满分14分)已知椭圆 的离心率,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆相交于不同的两点A、B,已知点A的坐标为.
(i)若,求直线的倾斜角;
(ii)若点Q在线段AB的垂直平分线上,且.求的值.
参考答案:
(Ⅰ)解:由e=,得.再由,解得a=2b.
由题意可知,即ab=2.
解方程组得a=2,b=1. 所以椭圆的方程为.………4分
(Ⅱ)(i)解:由(Ⅰ)可知点A的坐标是(-2,0).
设点B的坐标为,直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k(x+2).
于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理,得
.由,得.从而.所以.
由,得.
整理得,即,解得k=.
所以直线l的倾斜角为或.………………………………8分
(ii)解:设线段AB的中点为M,由(i)得到M的坐标为.
以下分两种情况:
(1)当k=0时,点B的坐标是(2,0),线段AB的垂直平分线为y轴,于是
由,得。…………10分
(2)当时,线段AB的垂直平分线方程为。
令,解得。由,,
,整理得。故。所以。
综上,或 …………14分
略
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