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河南省驻马店市汝南县留盆镇第二中学高二数学理月考试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知,且,则下列不等式成立的是
A、 B、
C、 D、
参考答案：
D
2. 命题：“若x2<1，则－11，或x<－1，则x2>1 D．若x≥1，或x≤－1，则x2≥1
参考答案：
D
略
3. 复数在复平面内所对应的点位于第（ ）象限.
A．一 B．二 C．三 D．四
参考答案：
B
4. 六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体．已知在平行四边形ABCD中（如图1），有AC2+BD2=2（AB2+AD2），则在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中（如图2），AC12+BD12+CA12+DB12等于（ ）
A．2（AB2+AD2+AA12） B．3（AB2+AD2+AA12）
C．4（AB2+AD2+AA12） D．4（AB2+AD2）
参考答案：
C
【考点】棱柱的结构特征．
【分析】根据平行六面体的性质，可以得到它的各个面以及它的对角面均为平行四边形，多次使用已知条件中的定理，再将所得等式相加，可以计算出正确结论．
【解答】解：如图，平行六面体的各个面以及对角面都是平行四边形，
因此，在平行四边形ABCD中，AC2+BD2=2（AB2+AD2）…①；
在平行四边形ACC1A1中，A1C2+AC12=2（AC2+AA12）…②；
在平行四边形BDD1B1中，B1D2+BD12=2（BD2+BB12）…③；
②、③相加，得A1C2+AC12+B1D2+BD12=2（AC2+AA12）+2（BD2+BB12）…④
将①代入④，再结合AA1=BB1得，AC12+B1D2+A1C2+BD12=4（AB2+AD2+AA12）
故选C．
5. 如图，一个质点从原点出发，在与y轴.x轴平行的方向按（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→（2，2）…的规律向前移动，且每秒钟移动一个单位长度，那么到第2011秒时，这个质点所处位置的坐标是 ( ）
A．（13，44） B．（14，44）
C．（44，13） D．（44，14）
参考答案：
A
6. 设P为椭圆上的动点,则P到直线x+y-6=0的最小距离为 ( )
A.1 B.2 C. D.
参考答案：
C
7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．
A．16＋8π B．8＋8π
C．16＋16π D．8＋16π
参考答案：
A
略
8. 已知等比数列中，是方程的两个根，则等于
A. 1或 B. C. 1 D. 2
参考答案：
C
9. 若正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的角是45°，则该正四棱锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
B
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】作出棱锥的高与斜高，得出侧面与底面所成角的平面角，利用勾股定理列方程解出底面边长，代入体积公式计算．
【解答】解：过棱锥定点S作SE⊥AD，SO⊥平面ABCD，则E为AD的中点，O为正方形ABCD的中心．
连结OE，则∠SEO为侧面SAD与底面ABCD所成角的平面角，即∠SEO=45°．
设正四棱锥的底面边长为a，则AE=OE=SO=，
∴SE==．
在Rt△SAE中，∵SA2=AE2+SE2，
∴3=，解得a=2．
∴SO=1，
∴棱锥的体积V==．
故选B．
10. 双曲线的实轴长是（ ）
A. 2； B. ； C. 4； D.
参考答案：
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 命题“”的否定是 ．
参考答案：
12. 设,则二项式展开式中的项的系数为
参考答案：
-160
13. 等差数列{an}中，若a3+a7=16,则a5=_________;
参考答案：
8
略
14. 不等式的解集为____________
参考答案：
略
15. 函数y=xex在其极值点处的切线方程为 ．
参考答案：
y=﹣
【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出极值点，再结合导数的几何意义即可求出切线的方程．
【解答】解：依题解：依题意得y′=ex+xex，
令y′=0，可得x=﹣1，
∴y=﹣．
因此函数y=xex在其极值点处的切线方程为y=﹣．
故答案为：y=﹣．
16. 在复平面内，复数对应的点到直线的距离是
参考答案：
略
17. 如右图,为正方体，棱长为2，下面结论中
正确的结论是________．(把你认为正确的结论都填上, 填序号)
①∥平面； ②⊥平面；
③过点与异面直线AD和成90°角的直线有2条；
④三棱锥的体积．
参考答案：
①②④
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．
(1)求圆心的极坐标；
(2)求面积的最大值．
参考答案：
(1);(2)
【分析】
（1）先把圆的极坐标方程化为直角坐标方程(x－1)2＋(y＋1)2＝2，再把圆心的坐标化为极坐标.(2)先求出弦长AB,再求点P到直线AB距离的最大值，即得面积的最大值.
【详解】(1)圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
所以圆心坐标为(1，－1)，圆心极坐标为.
(2)直线l的普通方程为2x－y－1＝0，
圆心到直线l的距离d＝，
所以|AB|＝2＝，
点P到直线AB距离的最大值为，故最大面积Smax＝.
【点睛】(1)本题主要考查极坐标方程、参数方程和直角坐标方程的互化，考查弦长的计算、圆和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)求圆的弦长经常用到公式.（3）解答本题的关键是利用数形结合求出点P到直线AB的最大值.
19. 为了保护三峡库区的生态环境，凡是坡度在25°以上的坡荒地都要绿化造林。据初步统计，到2004年底库区的绿化率只有30%。计划从2005年开始加大绿化造林的力度，每年原来坡度在25°以上的坡荒面积的16%将被造林绿化，但同时原有绿化面积的4%还是会被荒化。设该地区的面积为1，2004年绿化面积为，经过一年绿化面积为a2，…，经过n年绿化面积为
（I）试写出的关系式，并证明数列是等比数列；
（II）问至少需要经过多少年努力，才能使库区的绿化面积超过60%？
参考答案：
解析：（I）设2004年坡度在25°以上的坡荒地面积为b1，经过n年绿化造林后坡荒地面积为
由 所以数列
（II）由（I）可知 故至少需要5年才能使库区的绿化面积超过60%。
20. 过点（﹣5，﹣4）作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5．
参考答案：
8x﹣5y+20=0或2x﹣5y﹣10=0
略
21. 已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a＜0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[0，1]，函数g（x）=x3+x2[f′（x）+m]在区间（t，2）上总不是单调函数，其中f′（x）为f（x）的导函数，求实数m的取值范围．
参考答案：
解 (Ⅰ)根据题意知，，
当时，的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]．
(Ⅱ)∵，∴，
∴.
∴，
∴.
∵在区间上总不是单调函数，且，
∴
由题意知：对于任意的，恒成立，
∴
∴.
略
22. （本小题满分14分）已知椭圆 的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为.
（i）若，求直线的倾斜角；
（ii）若点Q在线段AB的垂直平分线上，且.求的值.
参考答案：
（Ⅰ）解：由e=，得.再由，解得a=2b.
由题意可知，即ab=2.
解方程组得a=2，b=1. 所以椭圆的方程为.………4分
(Ⅱ)(i)解：由（Ⅰ）可知点A的坐标是（-2,0）.
设点B的坐标为，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k（x+2）.
于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得
.由，得.从而.所以.
由，得.
整理得，即，解得k=.
所以直线l的倾斜角为或.………………………………8分
（ii）解：设线段AB的中点为M，由（i）得到M的坐标为.
以下分两种情况：
（1）当k=0时，点B的坐标是（2,0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是
由，得。…………10分
（2）当时，线段AB的垂直平分线方程为。
令，解得。由，，
，整理得。故。所以。
综上，或 …………14分
略
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