河南省郑州市巩义第四高级中学高二数学理下学期期末试题含解析

河南省郑州市巩义第四高级中学高二数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列说法中错误的个数为                                             （     ） ①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②若一个命题的否命题为假，则它本身一定为真；③是的充要条件；④与是等价的；⑤“”是“”成立的充分条件.   A． 2    B． 3           C．4     D．5 参考答案： C 略 2. 如图，在圆心角为，半径为1的扇形中，在弦AB上任取一点C，则的概率为（  ）. A.     B.     C.    D. 参考答案： D 3. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示， 则函数在开区间内有极小值点（　  ）                      A．个       B．个        C．个       D．个 参考答案： A 略 4. 右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（       ） A．62                       B．63 C．64                       D．65 参考答案： C 5. 某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间的人数为             参考答案： B 略 6. 在边长为的正方形中裁去如图的扇形，再将剩余的阴影部分绕AB旋转一周，所得几何体的表面积为 A．3π          B．4π          C．5π         D．6π 参考答案： C 7. 已知F1，F2是椭圆E：与双曲线E2的公共焦点，P是E1，E2在第一象限内的交点，若，则E2的离心率是（   ） A．3                   B．2              C．          D． 参考答案： B 8. 在平面直角坐标系中，为不等式组，所表示的区域上一动点，则直线斜率的最小值为 A.       B.       C.        D. 参考答案： C 略 9. 已知两条直线y=ax﹣2和y=（2﹣a）x+1互相平行，则a等于（　　） A．﹣1 B．2 C．1 D．0 参考答案： C 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系． 【专题】计算题；规律型；直线与圆． 【分析】直接利用平行线的充要条件列出方程求解即可． 【解答】解：两条直线y=ax﹣2和y=（2﹣a）x+1互相平行， 可知：1=，解得a=1． 故选：C． 【点评】本题考查平行线之间的关系，考查计算能力． 10. 已知函数的图象与x轴恰有两个公共点，则c= A. －2或2 B. －9或3 C. －1或1 D. －3或1 参考答案： A 【分析】 利用导数判断函数的单调性求出极值点为，利用或可得结果. 【详解】因为,所以f(x)的增区间为,减区间为,所以的极大值为，极小值为，因为函数的图象与轴恰有两个公共点,所以只须满足或，即或,故选A. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的极值以及函数的零点，属于中档题.对于与“三次函数”的零点个数问题，往往考虑函数的极值符号来解决,设函数的极大值为 ，极小值为 ：一个零点或；两个零点或；三个零点且. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 1 若则---- 参考答案： 16 略 12. 已知一个算法的流程图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x的值为________．     参考答案： －2或1 13. 在△ABC中，若||=1，||=，|+|=||，=       ． 参考答案： 1 考点：平面向量数量积的运算． 专题：平面向量及应用． 分析：利用|+|=||=|﹣|可知∠A=90°，进而计算可得结论． 解答： 解：∵|+|=||， ∴+2?+===﹣2?+， ∴?=0，即∠A=90°， 又∵||=1，||=， ∴==2， ∴cos∠B==， ∴==2||=1， 故答案为：1． 点评：本题考查平面向量数量积的运算，找出∠A=90°是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于基础题． 14. 设随机变量的分布列为P()=,(k=1,2,3), 其中c为常数， 则E           . 参考答案： 略 15. 直线x﹣y﹣2=0的倾斜角为　　． 参考答案：   【考点】直线的倾斜角． 【分析】设直线的倾斜角为α，则tanα=，α∈[0，π），即可得出． 【解答】解：设直线的倾斜角为α， 则tanα=，α∈[0，π）， ∴α=． 故答案为． 16. 设F1、F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上满足∠F1PF2=90°，那么△F1PF2的面积是______________. 参考答案： 1 略 17. 已知集合，则实数a的取值范围是                  参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知点（1，2）是函数的图象上一点，数列的前项和． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若，求数列的前项和． 参考答案： 略 19. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，分别是线段的中点，P是线段AD的中点。 (1)在平面ABC内，试作出过点P与平面平行的直线，说明理由，并证明直线; (2)设(1)中的直线交于点M， 交AC于点N，求二面角的余弦值。 参考答案： 20. (本题12分)若点，在中按均匀分布出现.（1）点横、纵坐标分别由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，则点落在上述区域的概率？（2）试求方程有两个实数根的概率.   参考答案： 略 21. 已知函数f（x）=x﹣lnx，g（x）=x3+x2（x﹣lnx）﹣16x． （1）求f（x）的单调区间及极值； （2）求证：g（x）＞﹣20． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）先求出函数的定义域，求出函数f（x）的导函数，在定义域下令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间； （2）求出g（x）≥x3+x2﹣16x，（x＞0），设h（x）=x3+x2﹣16x，（x＞0），根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而证出结论即可． 【解答】解：（1）∵f′（x）=1﹣=，（x＞0）， 由f′（x）=0得x=1． 当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；      当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；    ∴x=1是函数f（x）的极小值点， 故f（x）的极小值是1． （2）证明：由（1）得：f（x）≥1， ∴g（x）≥x3+x2﹣16x，（x＞0），当且仅当x=1时“=”成立， 设h（x）=x3+x2﹣16x，（x＞0）， 则h′（x）=（3x+8）（x﹣2）， 令h′（x）＞0，解得：x＞2，令h′（x）＜0，解得：0＜x＜2， ∴h（x）min=h（2）=﹣20， ∴h（x）≥﹣20，当且仅当x=2时“=”成立， 因取条件不同， 故g（x）＞﹣20． 22. 已知函数. （Ⅰ）求f（x）的最小值； （Ⅱ）若对所有都有，求实数a的取值范围. 参考答案： （Ⅰ）最小值；（Ⅱ） 【分析】 （Ⅰ）由导数的应用，研究函数的单调性，再求其最值， （Ⅱ）构造函数，由导数的应用求函数的最值即可得解. 【详解】解：（Ⅰ）的定义域为，的导数. 令， 解得；令，解得.从而在单调递减，在单调递增. 所以，当时，取得最小值. （Ⅱ）依题意，得在上恒成立，即不等式对于恒成立. 令， 则. 当时，因为， 故是上的增函数，所以的最小值是， 从而的取值范围是. 【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值及利用导数研究不等式，属中档题.