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湖南省娄底市涟源第三中学高二数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若,且满足,则的最小值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
2. 假设濮阳市市民使用移动支付的概率都为p,且每位市民使用支付方式都是相互独立的,已知X是其中10位市民使用移动支付的人数,且,则p的值为( )
A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8
参考答案:
C
【分析】
由已知得X服从二项分布,直接由期望公式计算即可.
【详解】由已知条件每位市民使用移动支付的概率都为p,看做是独立重复事件,
满足X~B(10,p),=6,
则p=0.6
故选:C
【点睛】本题考查离散型随机变量期望的求法,属于基础题.
3. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点,点P为椭圆和双曲线的一个交点,则的值为( )
A、16 B、25 C、9 D、不为定值
参考答案:
B
略
4. 若椭圆的离心率为,则实数等于
A. B. C. D.
参考答案:
A
5. 已知函数f(x)=x3+bx2+cx的图象如图所示,则x12+x22等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】6C:函数在某点取得极值的条件;6A:函数的单调性与导数的关系.
【分析】先利用函数的零点,计算b、c的值,确定函数解析式,再利用函数的极值点为x1,x2,利用导数和一元二次方程根与系数的关系计算所求值即可
【解答】解:由图可知,f(x)=0的三个根为0,1,2
∴f(1)=1+b+c=0,f(2)=8+4b+2c=0
解得b=﹣3,c=2
又由图可知,x1,x2为函数f(x)的两个极值点
∴f′(x)=3x2﹣6x+2=0的两个根为x1,x2,
∴x1+x2=2,x1x2=
∴=(x1+x2)2﹣2x1x2=4﹣=
故选 C
【点评】本题主要考查了导数在函数极值中的应用,一元二次方程根与系数的关系,整体代入求值的思想方法
6. 中国古代第一部数学名著《九章算术》中,将一般多面体分为阳马、鳖臑、堑堵三种基本立体图形,其中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖,若三棱锥Q-ABC为鳖臑,QA⊥平面ABC,AB⊥BC,QA=BC=3,AC=5,则三棱锥Q-ABC外接球的表面积为
A. 16π B. 20π C. 30π D. 34π
参考答案:
D
补全为长方体,如图,则,所以,故外接球得表面积为.
7. 若命题p的否命题为r,命题r的逆命题为s,则s是p的( )
A.逆否命题 B.逆命题 C.否命题 D.原命题
参考答案:
A
略
8. 若f(x)=xex,则f′(1)=( )
A.0 B.e C.2e D.e2
参考答案:
C
【考点】63:导数的运算.
【分析】直接根据基本函数的导数公式和导数的运算法则求解即可.
【解答】解:∵f(x)=xex,
∴f′(x)=ex+xex,
∴f′(1)=2e.
故选:C.
9. 在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,则acosB+bcosA=( )
A.a B.b C.c D.不确定
参考答案:
C
略
10. 函数在区间上的零点个数是( )
A 3个 B 5个 C 7个 D 9个
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,与AC成异面直线且夹角为45°棱的条数为 .
参考答案:
4
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系.
【分析】如图所示,正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,与AC成异面直线且夹角为45°棱为A1B1,B1C1,C1D1,D1A1,即可得出结论.
【解答】解:如图所示,正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,与AC成异面直线且夹角为45°棱为A1B1,B1C1,C1D1,D1A1,
故答案为4.
12. 用2个0,2个1,2个2组成一个六位数(如102012),则这样的六位数的总个数为 .
参考答案:
60
13. 由一组样本数据得到的回归直线方程为,
若已知回归直线的斜率是1.05,且则此回归直线方程是___________
参考答案:
14. 过点作圆的弦,其中最短的弦长为_________.
参考答案:
略
15. 已知三角形的三边满足条件,则∠A= 。
参考答案:
60°()
16. 下列说法:(1)命题“”的否定是“”;
(2)关于的不等式恒成立,则的取值范围是;
(3)对于函数,则有当时,,使得函数在上有三个零点;
(4)已知,且是常数,又的最小值是,则7.
其中正确的个数是 。
参考答案:
3
略
17. 若a∈N,又三点A(a,0),B(0,a+4),C(1,3)共线,则a= .
参考答案:
2
【考点】三点共线.
【分析】利用三点共线,结合向量平行,求解即可.
【解答】解:三点A(a,0),B(0,a+4),C(1,3)共线,
可得,
=(1﹣a,3),=(1,﹣a﹣1),
可得3=(1﹣a)(﹣a﹣1),a∈N,解得a=2.
故答案为:2.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,圆锥SO中,AB,CD为底面圆的两条直径,,且,,P为SB的中点.
(1)求证:SA∥平面PCD;
(2)求圆锥SO的表面积和体积;
参考答案:
(1)见证明;(2);
【分析】
(1)连接,利用三角形中位线性质,可得线线平行,从而可得线面平行;
(2)分别计算圆锥底面、侧面面积、高,即可求得圆锥的表面积和体积。
【详解】(1)连接,
、分别为、的中点,
在中,、分别为、的中点,则 ,
由于平面,平面,,
平面;
(2), ,为圆锥的高,为圆锥底面圆的半径,
,
由于为圆锥的高,则母线,
,,
故
【点睛】本题主要考查线面平行的判定,圆锥表面与体积的计算,考查学生的推理论证能力与运算能力。
19. 已知向量,,设函数的图象关于直线对称,其中,为常数,且.
(Ⅰ)求函数的最小正周期;
(Ⅱ)若的图象经过点,求函数在区间上的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)因为
.
由直线是图象的一条对称轴,可得,
所以,即.
又,,所以,故.
所以的最小正周期是.
(Ⅱ)由的图象过点,得,
即,即.
故,
由,有,
所以,得,
故函数在上的取值范围为.
20. 求曲线,,所围成图形的面积.
参考答案:
平面图形的面积
分析:先确定交点坐标,可得积分区间,再利用定积分求面积即可;
详解:由曲线,,可得的横坐标为1,由,可得的横坐标为3.
∴所求面积为
点睛:本题考查利用定积分求面积,解题的关键是确定积分区间与被积函数,属于中档题.
21. 设f(x)=,其中a为正实数.
(Ⅰ)当a=时,求f(x)的极值点;
(Ⅱ)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围.
参考答案:
【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.
【分析】(1)先求f(x)的导函数,再利用f'(x)=0,根据单调性求极值点.
(2)根据导函数与单调性的关系判断f'(x)≥0在R上恒成立,再利用二次函数图象和性质讨论解决.
【解答】解:对f(x)求导f′(x)=ex①
(I)a=,f′(x)=0则4x2﹣8x+3=0解得x1=,x2=
综合①,可知
x
(﹣∞,)
(,)
(,+∞)
f′(x)=
+
0
﹣
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以,x1=是极小值点,x2=是极大值点.
(II)若f(x)为R上的单调函数,则f′(x)在R上不变号,结合①与条件a>0,ax2﹣2ax+1≥0
在R上恒成立,因为△=4a2﹣4a≤0由此并结合a>0,得0<a≤1
22. 经过点并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条?请求出这些直线的方程。
参考答案:
解析:当截距为时,设,过点,则得,即;
当截距不为时,设或过点,
则得,或,即,或
这样的直线有条:,,或。
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