2022年四川省自贡市富顺县第一中学高二数学理上学期期末试卷含解析

2022年四川省自贡市富顺县第一中学高二数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设命题甲：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R；命题乙：0＜a＜1，则命题甲是命题乙成立的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 参考答案： B 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法． 【分析】利用充分必要条件的判断方法判断两命题的推出关系，注意不等式恒成立问题的处理方法． 【解答】解：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R ①a=0，则1＞0恒成立 ②a≠0，则，故0＜a＜1 由①②得0≤a＜1．即命题甲?0≤a＜1．因此甲推不出乙，而乙?甲，因此命题甲是命题乙成立的必要非充分条件． 故选B． 2. 设向量是不共面的三个向量，则下列各组向量不能作为空间向量基底的是 参考答案： A 3. 已知等差数列中，，记，则S13= A．78    B．152    C．156 D．168 参考答案： C 略 4. 位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序 共有 （  ） A.种    B.种    C.种    D.种       参考答案： C 5. 5个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不同的排法种数为(   ) A.72　　    B.48　　　    C.24　　        D.60 参考答案： C 略 6. 统计中有一个非常有用的统计量，用它的大小可以确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”，下表是反映甲、乙两个班级进行数学考试，按学生考试及格与不及格统计成绩后的2×2列联表.   不及格 及格 总计 甲班 12 33 45 乙班 9 36 45 总计 21 69 90 则的值为（  ） A．0.559           B．0.456           C．0.443         D．0.4 参考答案： A 7. 某同学每次投篮命中的概率为，则他连续投篮3次，第3次才投中的概率为（    ） A．         B．       C.         D． 参考答案： B 8. 在100个产品中，一等品20个，二等品30个，三等品50个，用分层抽样的方法抽取一个容量20的样本，则二等品中A被抽取到的概率为(　　) A．        B．       C．        D．不确定   参考答案： C 略 9. 如果方程表示双曲线，则实数的取值范围是（   ）      A.        B.         C.        D. 参考答案： A 略 10. 在中，已知，，，P为线段AB上的一点，且.，则的最小值为(      ) A．            B．           C．         D． 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则           。 参考答案： 略 12. 直线与圆相交于A、B两点，则        . 参考答案： 略 13. 抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为　　． 参考答案： ﹣ 【考点】抛物线的简单性质． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】首先把抛物线方程转化为标准方程x2=my的形式，再根据其准线方程为y=﹣，即可求之． 【解答】解：抛物线y=ax2的标准方程是x2=y， 则其准线方程为y=﹣=2， 所以a=﹣． 故答案为：﹣． 【点评】此题考查了抛物线的简单性质，是一道基础题，也是高考常考的题型，找出抛物线标准方程中的p值是解本题的关键，要求学生掌握抛物线的标准方程． 14. 已知扇形的圆心角为72°，半径为20cm，则扇形的面积为________. 参考答案： 15. 曲线在点（1,2）处的切线方程为 参考答案： x-y+1=0 略 16. 用反证法证明命题：“如果a，b∈N，ab可被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设的内容应为　　． 参考答案： a，b都不能被3整除 【考点】反证法的应用． 【专题】证明题． 【分析】根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面．再由命题：“a，b中至少有一个能被3整除”的否定是：a，b都不能被3整除，从而得到答案． 【解答】解：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定． 命题：“a，b中至少有一个能被3整除”的否定是：“a，b都不能被3整除”， 故答案为  a，b都不能被3整除． 【点评】本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属于中档题． 17. 已知圆过点,且圆心在轴的正半轴上,直线被该圆所截得的弦长为,求圆的标准方程. 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，四棱锥中P-ABCD，四边形ABCD为菱形，，，平面PAD⊥平面ABCD. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 参考答案： （1）见解析；（2） 【分析】 （1）取中点连结，，先证明平面BOP，即可证明； （2）先证明两两垂直.以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.求出平面与平面的法向量，代入公式即可得到结果. 【详解】（1）证明：取中点连结，， ，. 又四边形为菱形，，故是正三角形， 又点是的中点，. 又，平面， 平面，又平面. . （2）解：，点是的中点，. 又平面平面. 平面平面，平面， 平面，又平面. ，.又， 所以两两垂直. 以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系. 设，则各点的坐标分别为，，. 故，，，， 设，分别为平面，平面的一个法向量， 由可得，令，则，，故. 由可得，令，则，，故. . 又由图易知二面角是锐二面角， 所以二面角的余弦值是. 【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 19. 某校随机抽取100名学生调查寒假期间学生平均每天的学习时间，被调查的学生每天用于学习的时间介于1小时和11小时之间，按学生的学习时间分成5组：第一组[1，3），第二组[3，5），第三组[5，7），第四组[7，9），第五组[9，11]，绘制成如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）求学习时间在[7，9）的学生人数； （Ⅱ）现要从第三组、第四组中用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中随机抽取2人交流学习心得，求这2人中至少有1人的学习时间在第四组的概率． 参考答案： 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图． 【分析】（Ⅰ）由频率分布图求出x=0.100，由此能求出学习时间在[7，9）的学生人数． （Ⅱ）第三组的学生人数为40人，利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第三组的人数为4人，第四组的人数为2人，由此能求出这2人中至少有1人的学习时间在第四组的概率． 【解答】解：（Ⅰ）由频率分布图得：0.025×2+0.125×2+0.200×2+2x+0.050×2=1， 解得x=0.100． ∴学习时间在[7，9）的学生人数为0.010×2×100=20人． （Ⅱ）第三组的学生人数为0.200×2×100=40人， 第三、四组共有20+40=60人， 利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为： 第三组的人数为6×=4人，第四组的人数为6×=2人， 则从这6人中抽2人，基本事件总数n==15， 其中2人学习时间都不在第四组的基本事件个数m==6， ∴这2人中至少有1人的学习时间在第四组的概率： p=1﹣=． 20. 已知中心在坐标原点,焦点在轴上的椭圆过点,且它的离心率. (1)求椭圆的标准方程; (2)与圆相切的直线交椭圆于两点,若椭圆上一点满足,求实数的取值范围.     参考答案： (Ⅰ) 设椭圆的标准方程为  由已知得:  解得   ，所以椭圆的标准方程为:   (Ⅱ) 因为直线:与圆相切 所以,  把代入并整理得: ┈7分 设,则有    因为,, 所以,  又因为点在椭圆上, 所以,    因为    所以   所以  ,所以 的取值范围为         略 21. )已知数列{an}满足. (Ⅰ)若a1，a2，a3成等差数列，求a1的值； (Ⅱ)是否存在a1，使数列{an}为等比数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由. 参考答案： 由题意  ， ，，                           ………………2分 若成等差数列，则，即 解得                                                   ………………6分 (2)若数列为等比数列 则必成等比数列，则，即 解得，此时，公比                 ………………10分 又， 所以， 不存在，使数列为等比数列。                       ………………12分 22. 已知函数（为实数，）， ． ⑴若，且函数的值域为，求的表达式； ⑵设，且函数为偶函数，判断是否大0？ ⑶设，当时，证明：对任意实数， (其中是的导函数) ． 参考答案： 解：⑴因为，所以， 因为的值域为，所以，     所以，所以， 所以；       ⑵因为是偶函数，所以， 又，所以，     因为，不妨设，则，又，所以， 此时， 所以；      ⑶因为，所以，又，则， 因为，所以 则原不等式证明等价于证明“对任意实数， ” ， 即 .        先研究 ，再研究. ① 记，，令，得， 当，时，单增；当，时，单减 . 所以，，即. ② 记，，所以在,单减， 所以，，即. 综上①、②知，. 即原不等式得证，对任意实数， 略