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湖南省湘潭市湘乡山坪中学高二数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设z的共轭复数是,若,,则等于( )
A.iB.﹣iC.±1D.±i
参考答案:
D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义.
【分析】可设,根据即得.
【解答】解:本小题主要考查共轭复数的概念、复数的运算.可设,由
得4+b2=8,b=±2.选D
2. 由小到大排列的一组数据:,其中每个数据都小于,则样本,的中位数可以表示为( )
A、 B、 C、 D、 w
参考答案:
C
3. 下列命题是全称命题的是( )
A.存在x∈R,使x2﹣x+1<0 B.所有2的倍数都是偶数
C.有一个实数x,使|x|≤0 D.有的三角形是等边三角形
参考答案:
B
【考点】全称命题.
【分析】含有特称量词“有些”,“至少”,“存在”的命题都是特称命题;含有全称量词“任意”的是全称命题.
【解答】解:对于A,C,D中,分别含有特称量词“有一个”,“有的”,“存在”,故A,C,D都是特称命题;
对于B,含有全称量词“所有”,故B是全称命题.
故选B.
4. 已知函数,在锐角三角形ABC中,A、B、C的对边分别为a,b,c,,且△ABC的面积为3,b+c=2+,则a的值为
A.10 B. C. D.
参考答案:
B
5. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表:根据下表可得回归方程=x+中的为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
广告费用x/万元
4
2
3
5
销售额y/万元
49
26
39
54
、万元 、万元 、万元 、万元
参考答案:
B
6. 指数函数是增函数,而是指数函数,所以是增函数,关于上面推理正确的说法是( )
A.推理的形式错误 B.大前提是错误的
C.小前提是错误的 D.结论是正确的
参考答案:
B
指数函数是R上的增函数,这个说法是错误的,
若,则是增函数,若,则是减函数
所以大前提是错误的。
所以B选项是正确的。
7. 若直线x﹣y=2被圆(x﹣a)2+y2=4所截得的弦长为2,则正数a=( )
A.4或0 B.4 C. D.0
参考答案:
B
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】由已知得圆心(a,0)到直线x﹣y=2的距离d==,由此利用点到直线的距离公式能求出实数a的值.
【解答】解:∵直线x﹣y=2被圆(x﹣a)2+y2=4所截得的弦长为2,
∴圆心(a,0)到直线x﹣y=2的距离d==,
∴d==,
解得a=0或a=4,
∵a>0,∴a=4,
故选B.
8. 椭圆上一点与椭圆的两个焦点、的连线互相垂直,则△的面积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
9. 设双曲线的离心率为,右焦点为F(c,0),方程的两个实根分别为x1和x2,则点P(x1,x2) 满足( )Ks5u
A.必在圆x2+y2=2内 B.必在圆x2+y2=2上
C.必在圆x2+y2=2外 D.以上三种情形都有可能
参考答案:
C
10. 等比数列{an}中,a3=7,前3项之和S3=21,则数列{an}的公比为( )
A.1 B. C.1或 D.﹣1或
参考答案:
C
【考点】等比数列的性质.
【分析】将a3=7,S3=21,建立关于a1,q的方程组求解.
【解答】解:由a3=7,S3=21得:
得q=﹣0.5或1
故选C.
【点评】本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式,做题时要认真确保确保运算正确,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,则|AB|= .
参考答案:
8
【考点】直线与圆锥曲线的关系.
【分析】抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)B(x2,y2)两点,故|AB|=x1+x2+2,由此易得弦长值.
【解答】解:由题意,p=2,故抛物线的准线方程是x=﹣1,
∵抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)B(x2,y2)两点
∴|AB|=x1+x2+2,
又x1+x2=6
∴∴|AB|=x1+x2+2=8
故答案为8.
12. 已知x+2y=4,且x≥0, ,则满足 的x的取值范围为 。
参考答案:
解析:由已知得
∴所求x的取值范围为
13. 表示虚数单位,则的值是 .
参考答案:
0
14. 在等差数列{an}中,a1=45,a3=41,则前n项的和Sn达到最大值时n的值是 .
参考答案:
23
【考点】等差数列的前n项和.
【分析】利用等差数列的通项公式可得公差d,令an≥0,解得n即可得出.
【解答】解:设等差数列{an}的公差为d,∵a1=45,a3=41,
∴45+2d=41,解得d=﹣2.
∴an=45﹣2(n﹣1)=47﹣2n.
令an≥0,解得n=23+.
则前n项的和Sn达到最大值时n的值是23.
故答案为:23.
15. 若圆上恰有相异的两点到直线的距离等于,则的取值范围是 .
参考答案:
16. 已知点在直线上,则的最小值为 ;
参考答案:
8
17. 设数列{an}满足a1=7,an+an+1=20,则{an}的前50项和为 .
参考答案:
500
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),当x∈[﹣1,1]时,|f(x)|≤1.
(1)求证:|b|≤1;
(2)若f(0)=﹣1,f(1)=1,求f(x)的表达式.
参考答案:
【考点】二次函数的性质;函数解析式的求解及常用方法.
【分析】(1)由已知得|f(﹣1)|=|a﹣b+c|≤1,|f(1)|=|a+b+c|≤1,而|2b|=|f(1)﹣f(﹣1)|≤|f(1)|+|f(﹣1)|≤2可证
(2)由f(0)=﹣1,f(1)=1,及|f(x)|≤1对x∈[﹣1,1]时成立可得,函数 的对称轴x=且|f(﹣)|≤1,结合已知f(0)=﹣1,f(1)=1可求a,b,c
【解答】证明:(1)由已知得|f(﹣1)|=|a﹣b+c|≤1,|f(1)|=|a+b+c|≤1
∴|2b|=|f(1)﹣f(﹣1)|≤|f(1)|+|f(﹣1)|≤2
∴|b|≤1
(2)若,则f(x)在[﹣1,1]为增函数,
∴f(﹣1)<f(0),f(0)=﹣1
∴|f(﹣1)|>1与|f(﹣1)|≤1矛盾;
若,则f(x)在[﹣1,1]为减函数,
∴f(1)<f(0)与已知矛盾.
所以,从而由解得
∴f(x)=2x2﹣1
19. 已知复数z=(m2﹣3m+2)+(2m2﹣3m﹣2)i.
(Ⅰ)当实数m取什么值时,复数z是:①实数;②虚数;③纯虚数;
(Ⅱ)在复平面内,若复数z所对应的点在第四象限,求m的取值范围.
参考答案:
【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.
【分析】(Ⅰ)当虚部等于0时,复数z是实数;当虚部不等于0时,复数z是虚数;当实部等于0且虚部不等于0时,复数z是纯虚数;
(Ⅱ)由复平面内,复数z所对应的点在第四象限,列出不等式组,求解即可得答案.
【解答】解:(Ⅰ)复数z=(m2﹣3m+2)+(2m2﹣3m﹣2)i.
①当2m2﹣3m﹣2=0,解得或m=2时,复数z是实数;
②当2m2﹣3m﹣2≠0,解得m≠﹣且m≠2时,复数z是虚数;
③当,解得m=1时,复数z是纯虚数;
(Ⅱ)∵在复平面内,若复数z所对应的点在第四象限,
∴,解得.
20. 在直角坐标系上取两个定点,再取两个动点且.
(I)求直线与交点的轨迹的方程;
(II)已知,设直线:与(I)中的轨迹交于、两点,直线、 的倾斜角分别为且,求证:直线过定点,并求该定点的坐标.
参考答案:
略
21. 已知将函数的图像按向量平移,得到函数的图像。
(1)求函数的解析式;
(2)当时,总有恒成立,求的范围
参考答案:
解析:(1)按平移,即将函数向左平移1个单位,再向上平移2个单位,所以得到解析式为:
(2)由得 ,在a>1,且x∈时恒成立.记,则问题等价于
而
令t=(1-x),t∈,可证得H(x)=上单调递减.
∴H(t)的最小值为H(1)=1,又,∴F(x)的最小值为0,
故m的取值范围为
22. (13分)数列{an}满足a1=1,=+1,n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=3n?,求数列{bn}的前n项和Sn.
参考答案:
【考点】平面向量的基本定理及其意义.
【专题】等差数列与等比数列.
【分析】(1)判断数列{}是等差数列,然后求解通项公式.
(2)利用错位相减法求解数列的和即可.
【解答】(本小题12分)
(1)解:由已知可得﹣=1,….
所以是以=1为首项,1为公差的等差数列.得=1+(n﹣1)?1=n,
所以an=n2,…
(2)由(1)得an=n2,从而bn=n?3n….
Sn=1×31+2×32+3×33+…+n?3n①
3Sn=1×32+2×33+3×34+…+(n﹣1)?3n+n?3n+1②
①﹣②得:﹣2Sn=31+32+33+…+3n﹣n?3n+1
=﹣n?3n+1=.….
所以Sn=.….
【点评】本题考查数列的通项公式的应用,数列求和的方法,考查计算能力.
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