湖南省湘潭市湘乡山坪中学高二数学理期末试题含解析

湖南省湘潭市湘乡山坪中学高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设z的共轭复数是，若，，则等于（　　） A．iB．﹣iC．±1D．±i 参考答案： D 【考点】复数的代数表示法及其几何意义． 【分析】可设，根据即得． 【解答】解：本小题主要考查共轭复数的概念、复数的运算．可设，由 得4+b2=8，b=±2.选D 2. 由小到大排列的一组数据:,其中每个数据都小于,则样本,的中位数可以表示为（   ） A、   B、    C、    D、 w 参考答案： C 3. 下列命题是全称命题的是（　　） A．存在x∈R，使x2﹣x+1＜0 B．所有2的倍数都是偶数 C．有一个实数x，使|x|≤0 D．有的三角形是等边三角形 参考答案： B 【考点】全称命题． 【分析】含有特称量词“有些”，“至少”，“存在”的命题都是特称命题；含有全称量词“任意”的是全称命题． 【解答】解：对于A，C，D中，分别含有特称量词“有一个”，“有的”，“存在”，故A，C，D都是特称命题； 对于B，含有全称量词“所有”，故B是全称命题． 故选B． 4. 已知函数，在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，，且△ABC的面积为3，b+c=2+，则a的值为 A．10       B．    C．       D． 参考答案： B 5. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：根据下表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 广告费用x/万元 4 2 3 5 销售额y/万元 49 26 39 54 、万元       、万元        、万元         、万元 参考答案： B 6. 指数函数是增函数，而是指数函数，所以是增函数，关于上面推理正确的说法是（   ） A．推理的形式错误         B．大前提是错误的       C．小前提是错误的       D．结论是正确的 参考答案： B 指数函数是R上的增函数，这个说法是错误的， 若,则是增函数，若,则是减函数 所以大前提是错误的。 所以B选项是正确的。   7. 若直线x﹣y=2被圆（x﹣a）2+y2=4所截得的弦长为2，则正数a=（　　） A．4或0 B．4 C． D．0 参考答案： B 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】由已知得圆心（a，0）到直线x﹣y=2的距离d==，由此利用点到直线的距离公式能求出实数a的值． 【解答】解：∵直线x﹣y=2被圆（x﹣a）2+y2=4所截得的弦长为2， ∴圆心（a，0）到直线x﹣y=2的距离d==， ∴d==， 解得a=0或a=4， ∵a＞0，∴a=4， 故选B． 8. 椭圆上一点与椭圆的两个焦点、的连线互相垂直，则△的面积为（    ） A．   B．   C．    D． 参考答案： D 略 9. 设双曲线的离心率为，右焦点为F(c，0)，方程的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2) 满足（     ）Ks5u A．必在圆x2＋y2＝2内                B．必在圆x2＋y2＝2上 C．必在圆x2＋y2＝2外                D．以上三种情形都有可能 参考答案： C 10. 等比数列{an}中，a3=7，前3项之和S3=21，则数列{an}的公比为（　　） A．1 B． C．1或 D．﹣1或 参考答案： C 【考点】等比数列的性质． 【分析】将a3=7，S3=21，建立关于a1，q的方程组求解． 【解答】解：由a3=7，S3=21得： 得q=﹣0.5或1 故选C． 【点评】本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，做题时要认真确保确保运算正确，属于基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，则|AB|=　　． 参考答案： 8 【考点】直线与圆锥曲线的关系． 【分析】抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，故|AB|=x1+x2+2，由此易得弦长值． 【解答】解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=﹣1， ∵抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点 ∴|AB|=x1+x2+2， 又x1+x2=6 ∴∴|AB|=x1+x2+2=8 故答案为8． 12. 已知x+2y=4，且x≥0, ,则满足 的x的取值范围为　　　　　　　　　　 。 参考答案：  　解析：由已知得　　 　　 　　 　　 　　∴所求x的取值范围为 13. 表示虚数单位，则的值是             . 参考答案： 0 14. 在等差数列{an}中，a1=45，a3=41，则前n项的和Sn达到最大值时n的值是　   　． 参考答案： 23 【考点】等差数列的前n项和． 【分析】利用等差数列的通项公式可得公差d，令an≥0，解得n即可得出． 【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1=45，a3=41， ∴45+2d=41，解得d=﹣2． ∴an=45﹣2（n﹣1）=47﹣2n． 令an≥0，解得n=23+． 则前n项的和Sn达到最大值时n的值是23． 故答案为：23． 15. 若圆上恰有相异的两点到直线的距离等于，则的取值范围是                      ． 参考答案： 16. 已知点在直线上，则的最小值为　     　； 参考答案： 8 17. 设数列{an}满足a1=7，an+an+1=20，则{an}的前50项和为         . 参考答案： 500 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），当x∈[﹣1，1]时，|f（x）|≤1． （1）求证：|b|≤1； （2）若f（0）=﹣1，f（1）=1，求f（x）的表达式． 参考答案： 【考点】二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法． 【分析】（1）由已知得|f（﹣1）|=|a﹣b+c|≤1，|f（1）|=|a+b+c|≤1，而|2b|=|f（1）﹣f（﹣1）|≤|f（1）|+|f（﹣1）|≤2可证 （2）由f（0）=﹣1，f（1）=1，及|f（x）|≤1对x∈[﹣1，1]时成立可得，函数 的对称轴x=且|f（﹣）|≤1，结合已知f（0）=﹣1，f（1）=1可求a，b，c 【解答】证明：（1）由已知得|f（﹣1）|=|a﹣b+c|≤1，|f（1）|=|a+b+c|≤1 ∴|2b|=|f（1）﹣f（﹣1）|≤|f（1）|+|f（﹣1）|≤2 ∴|b|≤1 （2）若，则f（x）在[﹣1，1]为增函数， ∴f（﹣1）＜f（0），f（0）=﹣1 ∴|f（﹣1）|＞1与|f（﹣1）|≤1矛盾； 若，则f（x）在[﹣1，1]为减函数， ∴f（1）＜f（0）与已知矛盾． 所以，从而由解得 ∴f（x）=2x2﹣1 19. 已知复数z=（m2﹣3m+2）+（2m2﹣3m﹣2）i． （Ⅰ）当实数m取什么值时，复数z是：①实数；②虚数；③纯虚数； （Ⅱ）在复平面内，若复数z所对应的点在第四象限，求m的取值范围． 参考答案： 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算． 【分析】（Ⅰ）当虚部等于0时，复数z是实数；当虚部不等于0时，复数z是虚数；当实部等于0且虚部不等于0时，复数z是纯虚数； （Ⅱ）由复平面内，复数z所对应的点在第四象限，列出不等式组，求解即可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）复数z=（m2﹣3m+2）+（2m2﹣3m﹣2）i． ①当2m2﹣3m﹣2=0，解得或m=2时，复数z是实数； ②当2m2﹣3m﹣2≠0，解得m≠﹣且m≠2时，复数z是虚数； ③当，解得m=1时，复数z是纯虚数； （Ⅱ）∵在复平面内，若复数z所对应的点在第四象限， ∴，解得． 20. 在直角坐标系上取两个定点，再取两个动点且． （I）求直线与交点的轨迹的方程； （II）已知，设直线：与（I）中的轨迹交于、两点，直线、 的倾斜角分别为且，求证：直线过定点，并求该定点的坐标. 参考答案： 略 21. 已知将函数的图像按向量平移，得到函数的图像。 （1）求函数的解析式；   （2）当时，总有恒成立，求的范围 参考答案： 解析：（1）按平移，即将函数向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所以得到解析式为： （2）由得 ，在a>1，且x∈时恒成立.记，则问题等价于 而 令t＝（1－x），t∈，可证得H（x）＝上单调递减. ∴H(t)的最小值为H（1）＝1，又，∴F（x）的最小值为0， 故m的取值范围为 22. （13分）数列{an}满足a1=1，=+1，n∈N*． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=3n?，求数列{bn}的前n项和Sn． 参考答案： 【考点】平面向量的基本定理及其意义． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】（1）判断数列{}是等差数列，然后求解通项公式． （2）利用错位相减法求解数列的和即可． 【解答】（本小题12分） （1）解：由已知可得﹣=1，…． 所以是以=1为首项，1为公差的等差数列．得=1+（n﹣1）?1=n， 所以an=n2，… （2）由（1）得an=n2，从而bn=n?3n…． Sn=1×31+2×32+3×33+…+n?3n① 3Sn=1×32+2×33+3×34+…+（n﹣1）?3n+n?3n+1② ①﹣②得：﹣2Sn=31+32+33+…+3n﹣n?3n+1 =﹣n?3n+1=．…． 所以Sn=．…． 【点评】本题考查数列的通项公式的应用，数列求和的方法，考查计算能力．