河南省南阳市耒阳中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析

河南省南阳市耒阳中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 正实数x，y使4 x 2 + y 2 – 4 x y – 4 x + 4 y – 4 ≤ 0成立，则（   ） （A）2 x – y的最小值为1 –                （B）2 x – y的最大值为1 + （C）x – y的最小值为 – 1                    （D）x – y的最大值为1 参考答案： C 2. 直线L过点B(3,3)，若A(1,2)到直线L的距离为2，则直线L的方程为（  ） A．y=3或 3x+4y－21=0        B．3x+4y－21=0 C．x=3或 3x+4y－21=0        D. x=3 参考答案： C 3. .LZ新闻台做“一校一特色”访谈节目,分A，B，C三期播出，A期播出两间学校，B期，C期各播出1间学校,现从8间候选学校中选出4间参与这三项任务,不同的选法共有（   ） A. 140种 B. 420种 C. 840种 D. 1680种 参考答案： C 【分析】 从8间候选学校中选出4间，共有方法 种方法，4所选出2所，共有方法 种方法，再进行全排，共有方法种方法，利用乘法原理可得结论． 【详解】从8间候选学校中选出4间，共有方法种方法，4所选出2所，共有方法种方法，再进行全排，共有方法种方法，共有 种方法， 故选：C． 【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查组合知识，属于中档题． 4. 如图给出的是计算1+++…+的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（　　　） A. i≤2011            B. i>2011 C. i≤1005            D. i>1005 参考答案： A 5. 设是等比数列，公比，为的前项和。记,设为数列的最大项，则=（     ） A.3                  B.4                 C.5                 D.6 参考答案： B 略 6. 已知函数= ，=，若至少存在一个∈[1，e]，使得成立，则实数a的范围为 A．[1，+∞)       B．(0，+∞)        C．[0，+∞)      D．(1，+∞) 参考答案： B 略 7. 若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足=（    ） A．           B．—          C．             D．— 参考答案： D 8. 函数y=x2+x+2单调减区间是---------------------------------------------------------(    ) A、[-,+∞]     B、（-1，+∞）    C、（-∞，-）    D、（-∞，+∞） 参考答案： C 略 9. 某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登错了，甲实得80分却记成了50分，乙实得70分却记成了100分，则更正后平均分和方差分别是(　　) A．70,50        B．70,75     C．70,72.5  D．65,70 参考答案： A 10. 已知点，，直线上有两个动点M,N，始终使，三角形的外心轨迹为曲线C，P为曲线C在一象限内的动点，设,, ,则（     ） A、             B、 C、           D、 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. “”是“”的      条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）. 参考答案： 充分不必要 12. 已知是函数的导数，有，，若，则实数的取值范围为          ． 参考答案： . 13. 某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据： 产量x（千件） 2 3 5 6 成本y（万元） 7 8 9 12 则该产品的成本y与产量x之间的线性回归方程为　    　． 参考答案： =1.10x+4.60   【考点】线性回归方程． 【分析】根据表中数据先求出平均数，再由公式求出a，b的值，即可写出回归直线方程． 【解答】解：由题意，计算=×（2+3+5+6）=4， =×（7+8+9+12）=9， b==1.10， 且回归直线过样本中心点（，）， ∴a=9﹣1.10×4=4.60， 故所求的回归直线方程为： =1.10x+4.60． 故答案为： =1.10x+4.60． 【点评】本题考查了利用公式求线性回归直线方程的应用问题，是基础题目． 　 14. (几何证明选讲)若直角的内切圆与斜边相切于点,且,则的面积为_________. 参考答案： 略 15. 圆截直线所得的弦长为           . 参考答案： 16. 幂函数的图象经过点（一2，一），则满足的x的值是         . 参考答案： 17. 若，i是虚数单位，则复数z的虚部为    ▲    ． 参考答案： ﹣2；   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题14分）如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2a，DC＝a，F是BE的中点． （1）FD∥平面ABC；     （2）AF⊥平面EDB．   参考答案： 证明：（1）取AB的中点M，连FM，MC， ∵ F、M分别是BE、BA的中点， ∴ FM∥EA，FM=EA． ∵ EA、CD都垂直于平面ABC， ∴ CD∥EA，∴ CD∥FM．            ………………3分 又 DC=a，∴FM=DC． ∴四边形FMCD是平行四边形， ∴ FD∥MC．即FD∥平面ABC．          ……………7分 （2）∵M是AB的中点，△ABC是正三角形， ∴CM⊥AB，又CM⊥AE， ∴CM⊥面EAB，CM⊥AF，FD⊥AF，            ………………………………11分 又F是BE的中点，EA=AB，∴AF⊥EB． 即由AF⊥FD，AF⊥EB，FD∩EB＝F， 可得AF⊥平面EDB．        ……………………………………………………14分 19. （14分）已知关于x的一元二次方程 (m∈Z)   ① mx2－4x＋4＝0,   ② x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求方程①和②都有整数解的充要条件. 参考答案： 方程①有实根的充要条件是解得m1. 方程②有实根的充要条件是， 解得 故m=－1或m=0或m=1. 当m=－1时，①方程无整数解. 当m=0时，②无整数解； 当m=1时，①②都有整数.从而①②都有整数解m=1.反之，m=1①②都有整数解. ∴①②都有整数解的充要条件是m=1 20. （本小题满分14分）   在平面直角坐标系中，点与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.(Ⅰ)求动点P的轨迹方程； (Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。   参考答案： ……………………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）解法一：设点P的坐标为，点的坐标分别为  则直线的方程式为，直线的方程式为    令得………………………………6分   于是的面积                         …………………………………7分   又直线AB的方程为     点P到直线AB的距离…………………………………………8分    于是的面积………………………………9分    当时，得…………………………10分    又，所以，解得………………………12分    因为，所以。……………………………………13分   故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为 ………………………………………………………………………………………14分 略 21. （本小题满分10分）设的三个内角的对边分别为，向量 ，且 （1）求角的大小 （2）若，试判断b·c取得最大值时△ABC形状 参考答案： (Ⅰ) ………………………………5分 (Ⅱ) ………10分 22. 已知向量，． （I）计算和． （II）求． 参考答案： 见解析 解：（I）． ． （）， 又， 故．