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河南省南阳市耒阳中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 正实数x,y使4 x 2 + y 2 – 4 x y – 4 x + 4 y – 4 ≤ 0成立,则( )
(A)2 x – y的最小值为1 – (B)2 x – y的最大值为1 +
(C)x – y的最小值为 – 1 (D)x – y的最大值为1
参考答案:
C
2. 直线L过点B(3,3),若A(1,2)到直线L的距离为2,则直线L的方程为( )
A.y=3或 3x+4y-21=0 B.3x+4y-21=0
C.x=3或 3x+4y-21=0 D. x=3
参考答案:
C
3. .LZ新闻台做“一校一特色”访谈节目,分A,B,C三期播出,A期播出两间学校,B期,C期各播出1间学校,现从8间候选学校中选出4间参与这三项任务,不同的选法共有( )
A. 140种 B. 420种 C. 840种 D. 1680种
参考答案:
C
【分析】
从8间候选学校中选出4间,共有方法
种方法,4所选出2所,共有方法 种方法,再进行全排,共有方法种方法,利用乘法原理可得结论.
【详解】从8间候选学校中选出4间,共有方法种方法,4所选出2所,共有方法种方法,再进行全排,共有方法种方法,共有 种方法,
故选:C.
【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题,考查组合知识,属于中档题.
4. 如图给出的是计算1+++…+的值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是( )
A. i≤2011 B. i>2011
C. i≤1005 D. i>1005
参考答案:
A
5. 设是等比数列,公比,为的前项和。记,设为数列的最大项,则=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
参考答案:
B
略
6. 已知函数= ,=,若至少存在一个∈[1,e],使得成立,则实数a的范围为
A.[1,+∞) B.(0,+∞) C.[0,+∞) D.(1,+∞)
参考答案:
B
略
7. 若等边△ABC的边长为2,平面内一点M满足=( )
A. B.— C. D.—
参考答案:
D
8. 函数y=x2+x+2单调减区间是---------------------------------------------------------( )
A、[-,+∞] B、(-1,+∞) C、(-∞,-) D、(-∞,+∞)
参考答案:
C
略
9. 某班有48名学生,在一次考试中统计出平均分为70分,方差为75,后来发现有2名同学的分数登错了,甲实得80分却记成了50分,乙实得70分却记成了100分,则更正后平均分和方差分别是( )
A.70,50 B.70,75 C.70,72.5 D.65,70
参考答案:
A
10. 已知点,,直线上有两个动点M,N,始终使,三角形的外心轨迹为曲线C,P为曲线C在一象限内的动点,设,,
,则( )
A、 B、
C、 D、
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. “”是“”的 条件(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选择一个填空).
参考答案:
充分不必要
12. 已知是函数的导数,有,,若,则实数的取值范围为 .
参考答案:
.
13. 某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据:
产量x(千件)
2
3
5
6
成本y(万元)
7
8
9
12
则该产品的成本y与产量x之间的线性回归方程为 .
参考答案:
=1.10x+4.60
【考点】线性回归方程.
【分析】根据表中数据先求出平均数,再由公式求出a,b的值,即可写出回归直线方程.
【解答】解:由题意,计算=×(2+3+5+6)=4,
=×(7+8+9+12)=9,
b==1.10,
且回归直线过样本中心点(,),
∴a=9﹣1.10×4=4.60,
故所求的回归直线方程为: =1.10x+4.60.
故答案为: =1.10x+4.60.
【点评】本题考查了利用公式求线性回归直线方程的应用问题,是基础题目.
14. (几何证明选讲)若直角的内切圆与斜边相切于点,且,则的面积为_________.
参考答案:
略
15. 圆截直线所得的弦长为 .
参考答案:
16. 幂函数的图象经过点(一2,一),则满足的x的值是 .
参考答案:
17. 若,i是虚数单位,则复数z的虚部为 ▲ .
参考答案:
﹣2;
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题14分)如图,已知△ABC是正三角形,EA、CD都垂直于平面ABC,且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点.
(1)FD∥平面ABC;
(2)AF⊥平面EDB.
参考答案:
证明:(1)取AB的中点M,连FM,MC,
∵ F、M分别是BE、BA的中点,
∴ FM∥EA,FM=EA.
∵ EA、CD都垂直于平面ABC,
∴ CD∥EA,∴ CD∥FM. ………………3分
又 DC=a,∴FM=DC.
∴四边形FMCD是平行四边形,
∴ FD∥MC.即FD∥平面ABC. ……………7分
(2)∵M是AB的中点,△ABC是正三角形,
∴CM⊥AB,又CM⊥AE,
∴CM⊥面EAB,CM⊥AF,FD⊥AF, ………………………………11分
又F是BE的中点,EA=AB,∴AF⊥EB.
即由AF⊥FD,AF⊥EB,FD∩EB=F,
可得AF⊥平面EDB. ……………………………………………………14分
19. (14分)已知关于x的一元二次方程 (m∈Z) ① mx2-4x+4=0,
② x2-4mx+4m2-4m-5=0,求方程①和②都有整数解的充要条件.
参考答案:
方程①有实根的充要条件是解得m1.
方程②有实根的充要条件是,
解得
故m=-1或m=0或m=1.
当m=-1时,①方程无整数解.
当m=0时,②无整数解;
当m=1时,①②都有整数.从而①②都有整数解m=1.反之,m=1①②都有整数解.
∴①②都有整数解的充要条件是m=1
20. (本小题满分14分)
在平面直角坐标系中,点与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于.(Ⅰ)求动点P的轨迹方程;
(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线交于点M,N,问:是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由。
参考答案:
……………………………………………………………………………………4分
(Ⅱ)解法一:设点P的坐标为,点的坐标分别为
则直线的方程式为,直线的方程式为
令得………………………………6分
于是的面积 …………………………………7分
又直线AB的方程为
点P到直线AB的距离…………………………………………8分
于是的面积………………………………9分
当时,得…………………………10分
又,所以,解得………………………12分
因为,所以。……………………………………13分
故存在点使得与的面积相等,此时点的坐标为
………………………………………………………………………………………14分
略
21. (本小题满分10分)设的三个内角的对边分别为,向量
,且
(1)求角的大小
(2)若,试判断b·c取得最大值时△ABC形状
参考答案:
(Ⅰ)
………………………………5分
(Ⅱ)
………10分
22. 已知向量,.
(I)计算和.
(II)求.
参考答案:
见解析
解:(I).
.
(),
又,
故.
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