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2022年四川省凉山市盐源县中学校高二数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 有10件产品,其中4件是次品,其余都是合格品,现不放回的从中依次抽2件,则在第一次抽到次品的条件下,第二次抽到次品的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】CB:古典概型及其概率计算公式.
【分析】设第一次抽到次品为事件A,第二次抽到次品为事件B,则P(A)=,P(AB)=,由此能求出在第一次抽到次品的条件下,第二次抽到次品的概率P(A|B).
【解答】解:设第一次抽到次品为事件A,第二次抽到次品为事件B,
则P(A)==,
P(AB)==,
∴在第一次抽到次品的条件下,第二次抽到次品的概率P(A|B)===.
故选:A.
2. 在300米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则塔高为( )
A. 200米 B. 米 C. 200米 D. 米
参考答案:
A
3. 将A、B、C、D、E五种不同的文件放入一排编号依次为1,2,3,4,4,5,6,7的七个抽屉内,每个抽屉至多放一种文件,若文件A、B必须放入相邻的抽屉内,文件C、D也必须放入相邻的抽屉内,则文件放入抽屉内的满足条件的所有不同的方法有
(A)60种 (B)120种 (C)240种 (D)480种
参考答案:
C
解析:将放入A、B两个文件的相邻抽屉记为“AB”,将放入C、D两个文件的相邻抽屉记为“CD”,将放入文件E的抽屉记为“E”。于是,“AB”,“CD”,“E”及两个空抽屉可视为五个元素,则这五个元素的全排列,由于文件A、B及文件C、D的排列数均为,而两个空抽屉又是两个相同的元素,
故满足条件的所有不同繁荣方法的种数是(种)
4. 两个变量与的回归直线方程中,分别选择了4个不同模型,它们的相关系数如下,其中拟合效果最好的模型是 ( )
A. 模型1的相关系数为0.98 B. 模型2的相关系数为0.80
C. 模型3的相关系数为0.50 D. 模型4的相关系数为0.25
参考答案:
A
略
5. ( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
略
6. 不等式x<x2的解集是( )
A.(﹣∞,0) B.(0,1) C.(1,+∞) D.(﹣∞,0)∪(1,+∞)
参考答案:
D
【考点】一元二次不等式的解法.
【专题】计算题;方程思想;定义法;不等式的解法及应用.
【分析】把原不等式移项并分解因式后,利用两数相乘异号得负的法则可把不等式转化为两个不等式组,求出两不等式组的解集的并集即为原不等式的解集.
【解答】解:不等式x2>x,
移项得:x2﹣x>0,
因式分解得:x(x﹣1)>0,
可化为:或,
解得:x<0,或x>1,
则原不等式的解集是(﹣∞,0)∪(1,+∞).
故选:D.
【点评】此题考查了一元二次不等式的解法,考查了转化的思想,是一道比较简单的基础题.
7. 圆锥的侧面展开图是一个半圆,则圆锥轴截面的顶角的大小为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
8. 已知命题p:方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根;命题q:函数f(x)=x+的最小值为4.给出下列命题:
①p∧q;②p∨q;③p∧¬q;④¬p∨¬q.
则其中真命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
C
【考点】复合命题的真假.
【分析】先判定命题p,q的真假,再利用复合命题真假的判定方法即可得出.
【解答】解:命题p:方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根,?a∈R,可得△≥0,因此是真命题.
命题q:x<0时,函数f(x)=x+<0,因此是假命题.
下列命题:①p∧q是假命题;②p∨q是真命题;③p∧¬q是真命题;④¬p∨¬q是真命题.
则其中真命题的个数为3.
故选:C.
9. 已知F1、F2为双曲线C:x2﹣y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】根据双曲线的定义,结合|PF1|=2|PF2|,利用余弦定理,即可求cos∠F1PF2的值.
【解答】解:将双曲线方程x2﹣y2=2化为标准方程﹣=1,则a=,b=,c=2,
设|PF1|=2|PF2|=2m,则根据双曲线的定义,|PF1|﹣|PF2|=2a可得m=2,
∴|PF1|=4,|PF2|=2,
∵|F1F2|=2c=4,
∴cos∠F1PF2====.
故选C.
10. 已知函数,,且,当时,是增函数,设,,,则、、的大小顺序是( )。
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 曲线上的点到直线的最短距离是_____________
参考答案:
12. 若,则的最小值等于__________.
参考答案:
13. 在△ABC中,∠ABC=,边BC在平面α内,顶点A在平面α外,直线AB与平面α所成角为θ.若平面ABC与平面α所成的二面角为,则sinθ= .
参考答案:
【分析】过A作AO⊥α,垂足是O,过O作OD⊥BC,交BC于D,连结AD,则AD⊥BC,∠ADO=,∠ABO=θ,由此能求出sinθ.
【解答】解:过A作AO⊥α,垂足是O,过O作OD⊥BC,交BC于D,连结AD,
则AD⊥BC,∴∠ADO平面ABC与平面α所成的二面角为,即∠ADO=,
∠ABO是直线AB与平面α所成角,即∠ABO=θ,
由题意可知,AO=AD,AB=AD,sinθ==
14. 如图,矩形与矩形所在的平面互相垂直,将沿翻折,翻折后的点E恰与BC上的点P重合.设,,,则当_____▲_____时,有最小值.
参考答案:
15. 在△ABC中,若A=120°,AB=5, BC=7,则AC=________.
参考答案:
3
16. 某县中学高二年级文科班共有学生350人,其中,男生70人,女生280人,为了调查男女生数学成绩性别差异,现要从350名学生中抽取50人,则男生应抽取 人.
参考答案:
10
略
17. 若复数(为虚数单位)为实数,则实数 .
参考答案:
1
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知:以点为圆心的圆与轴交于点,与轴交于点,其中为原点.
(Ⅰ)求的面积;
(Ⅱ)设直线与圆交于点,若,求圆的方程.
参考答案:
解:(Ⅰ),.
设圆的方程是 …………2分
令,得;令,得 …………4分
…………6分
(Ⅱ)垂直平分线段.
,直线的方程是
,解得: ……………………8分
当时,圆心的坐标为,,
此时到直线的距离,
圆与直线相交于两点. k*s*5u
………10分
当时,圆心的坐标为,,
此时到直线的距离
圆与直线不相交,
不符合题意舍去.
圆的方程为 ……………………12分.
19. (12分)过点作圆O:的切线,切点为D,且|QD|=4.
(1)求的值.
(2)设P是圆O上位于第一象限内的任意一点,过点P作圆O的切线,且交轴于点A,交轴于点B,设求的最小值(O为坐标原点).
参考答案:
(1)|QO|2=(-2)2+=25, ……1分
由题设知,△QDO是以D为直角顶点的直角三角形
故有 ……3分
(2)设A(a,0),B(0,b),直线l的方程为(a>0,b>0), ……5分
即直线l:bx+ay-ab=0, 且=(a,b), ……7分
∵直线l与圆O相切,
……8分
又∵ ……10分
∴a2+b2≥36, ∴≥6, ……10分
当且仅当a=b=时取到“=”.
∴取得最小值为6. ……12分
20. (本小题共 12 分)从4名女同学和6名男同学中,选出3名女同学和4名男同学,7人排成
一排.
(1)如果选出的7人中,3名女同学必须站在一起,共有多少种排法?
(2)如果选出的7人中,3名女同学互不相邻,共有多少种排法?
(注:必须用数字表示最终结果)
参考答案:
解:(1)先选人,有种选法,再把3名女同学看成一个元素,与其余4名男同学相当于5个
元素进行全排列,,然后3名女同学再进行全排列,由分类计数原理,共有=43200种
排法 (6分)
(2) 选完人后,先让4名男同学全排列,再把3名女同学在每两男生之间(含两端)的5个位置中
插入排列,共有=86400种排法 (12分)
略
21. 如图所示,四棱锥中,底面是个边长为2正方形,侧棱底面,且,是的中点
(1)证明:平面;
(2)求三棱锥的体积.
参考答案:
(1)证明:记, 交于
因为底面为正方形, 所以
又因为底面,所以
所以平面 …………………6分
(2)…………12分
22. 已知函数 (为自然对数的底数).
(1)若,求函数f(x)的单调区间;
(2)在(1)的条件下,求函数f(x)在区间[0,m]上的最大值和最小值.
参考答案:
(1)单调递增区间为,;单调递减区间为;(2)见解析.
【分析】
(1)将代入函数中,求出导函数大于零求出递增区间,导函数小于零求出递减区间;(2)分为和和三种情况分别判断在上的单调性,然后求出最大值和最小值.
【详解】(1)若,则,求导得.
因为,令,即,
解得或
令,即,解得
∴函数在和上递增,在上递减.
即函数的单调递增区间为,;单调递减区间为
(2)①当时,∵在上递减,
∴在区间上的最大值为,
在区间上的最小值为.
②当时,
∵在上递减,在上递增,且,
∴在上的最大值为,
在区间上的最小值为.
③当时,
∵在上递减,在上递增,且,
∴在上的最大值为,
在区间上的最小值为.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值,考查了转化思想和分类讨论思想,属中档题.
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