河南省商丘市永城光明高级中学2022-2023学年高二数学理模拟试卷含解析

河南省商丘市永城光明高级中学2022-2023学年高二数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数在区间的最大值是                  （ ） A．-2        B．0           C．2            D．4 参考答案： C 略 2. 已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面 积为的矩形,则该正方体的正视图的面积等于…………………（▲） A． B．1 C． D． 参考答案： D 略 3. 在中，角所对的边分别是，且，则 （A）       （B）        （C）        （D） 参考答案： B 略 4. 已知F1、F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF1是锐角三角形，则该椭圆离心率e的取值范围是（　　） A．e＞﹣1 B．0＜e＜﹣1 C．﹣1＜e＜1 D．﹣1＜e＜+1 参考答案： C 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】由题意解出点A，B的坐标，从而求出＜1，从而求出该椭圆离心率． 【解答】解：由题意， +=1， 从而可得，y=； 故A（c，），B（c，﹣）； 故由△ABF1是锐角三角形知， ＜1； 故＜1； 即e2+2e﹣1＞0； 故﹣1＜e＜1； 故选C． 5. 已知双曲线满足,且与椭圆有公共焦点，则双曲线C的标准方程为 A．   B．   C． D． 参考答案： A 6. 已知函数，则函数的图象在处的切线方程为（    ） A．         B．       C.         D． 参考答案： C 分析：先根据导数的几何意义求得切线的斜率，再由点斜式方程得到切线方程． 详解：∵， ∴， ∴， 又， ∴所求切线方程为，即． 故选C．   7. 已知A，B是椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左、右顶点，M是E上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为﹣，则E的离心率为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】设出M坐标，由直线AM，BM的斜率之积为﹣得一关系式，再由点M在椭圆上变形可得另一关系式，联立后结合隐含条件求得E的离心率． 【解答】解：由题意方程可知，A（﹣a，0），B（a，0）， 设M（x0，y0），∴， 则，整理得：，① 又，得，即，② 联立①②，得，即，解得e=． 故选：D． 8.  已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为,则的取值范围是（   ） A．    B．       C．     D．    参考答案： D 设三边为则，即      得，即 9. 展开后共有不同的项数为(   ) A.9         B.12         C.18        D.24 参考答案： D 10. 已知点，则它的极坐标是（   ） A．         B．       C.         D． 参考答案： C 设P的极坐标为，因为 则， 由在第四象限可知 所以P的极坐标为 故C选项是正确的. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 定积分      参考答案： 略 12. 在等差数列中已知，a7=8，则a1=_______________ 参考答案： 10 13. 设动点P在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上，记．当∠APC为钝角时，则λ的取值范围是       ． 参考答案： （，1） 【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离． 【专题】综合题；空间位置关系与距离． 【分析】建立空间直角坐标系，利用∠APC不是平角，可得∠APC为钝角等价于cos∠APC＜0，即，从而可求λ的取值范围． 【解答】解：由题设，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz， 则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1） ∴=（1，1，﹣1），∴=（λ，λ，﹣λ）， ∴=+=（﹣λ，﹣λ，λ）+（1，0，﹣1）=（1﹣λ，﹣λ，λ﹣1） =+=（﹣λ，﹣λ，λ）+（0，1，﹣1）=（﹣λ，1﹣λ，λ﹣1） 显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于cos∠APC＜0 ∴ ∴（1﹣λ）（﹣λ）+（﹣λ）（1﹣λ）+（λ﹣1）2=（λ﹣1）（3λ﹣1）＜0，得＜λ＜1 因此，λ的取值范围是（，1） 故答案为：（，1） 【点评】本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于中档题． 14. 给定两个命题，由它们组成四个命题：“”、“”、“”、“”．其中正真命题的个数是 　　 　　　．   参考答案： ２ 略 15. 已知回归直线方程y＝＋x，如果x＝3时，y的估计值是17，x＝8时，y的估计值是22，那么回归直线方程是________． 参考答案： 略 16. 已知函数 ．若，则x=__________． 参考答案： 因为， 所以当时，得，即. 当时，得，即，舍去． 所以所求． 17. 若函数的最小值为，则实数a的取值范围为______. 参考答案： [0,+∞) 【分析】 分析函数的单调性，由题设条件得出，于此求出实数的取值范围。 【详解】当时，，此时，函数单调递减，则； 当时，，此时，函数单调递增。 由于函数的最小值为，则，得，解得. 因此，实数的取值范围是，故答案为：。 【点睛】本题考查分段函数的最值问题，求解时要分析函数的单调性，还要注意分界点处函数值的大小关系，找出一些关键的点进行分析，考查分析问题，属于中等题。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数是函数的导函数，（其中e为自然对数的底数），对任意实数x，都有，则不等式的解集为（    ） A．(－∞,e)         B．(1,+∞)       C.(1, e)         D．(e,+∞) 参考答案： B 分析：由题意构造函数，则可得单调递减．又由可得，即，于是可得不等式的解集． 详解：由题意构造函数，则， ∴函数在R上单调递减． 又， ∴， 而， ∴， ∴， 故不等式的解集为． 故选B．   19. 已知圆台的上下底面半径分别是,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长. 参考答案：  解析： 20. 椭圆C：的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切． （1）求椭圆C的方程； （2）已知点P（0，1），Q（0，2），设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T．求证：点T在椭圆C上． 参考答案： 略 21. （本题12分）某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示. （1）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再在答题卷上完成下列频率分布直方图； （2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？ 参考答案： （1）由题可知，第2组的频数为 人,     第3组的频率为,      频率分布直方图如下:      （2）因为第3、4、5组共有60名学生,所以 利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为: 第3组:人,      第4组:人,      第5组:人,      所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人. 22. 数列{an}满足Sn=2n﹣an（n∈N*）． （Ⅰ）计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an； （Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想． 参考答案： 【考点】RG：数学归纳法；8H：数列递推式；F1：归纳推理． 【分析】（Ⅰ）通过n=1，2，3，4，直接计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式； （Ⅱ）直接利用数学归纳法证明．检验n取第一个值时，等式成立，假设，证明． 【解答】（本小题满分8分） 解：（Ⅰ）当n=1时，a1=s1=2﹣a1，所以a1=1． 当n=2时，a1+a2=s2=2×2﹣a2，所以． 同理：，． 由此猜想… （Ⅱ）证明：①当n=1时，左边a1=1，右边=1，结论成立． ②假设n=k（k≥1且k∈N*）时，结论成立，即， 那么n=k+1时，ak+1=sk+1﹣sk=2（k+1）﹣ak+1﹣2k+ak=2+ak﹣ak+1， 所以2ak+1=2+ak，所以， 这表明n=k+1时，结论成立． 由①②知对一切n∈N*猜想成立．…