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河南省商丘市永城光明高级中学2022-2023学年高二数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数在区间的最大值是 ( )
A.-2 B.0 C.2 D.4
参考答案:
C
略
2. 已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面
积为的矩形,则该正方体的正视图的面积等于…………………(▲)
A. B.1 C. D.
参考答案:
D
略
3. 在中,角所对的边分别是,且,则
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
B
略
4. 已知F1、F2是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点,若△ABF1是锐角三角形,则该椭圆离心率e的取值范围是( )
A.e>﹣1 B.0<e<﹣1 C.﹣1<e<1 D.﹣1<e<+1
参考答案:
C
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】由题意解出点A,B的坐标,从而求出<1,从而求出该椭圆离心率.
【解答】解:由题意, +=1,
从而可得,y=;
故A(c,),B(c,﹣);
故由△ABF1是锐角三角形知,
<1;
故<1;
即e2+2e﹣1>0;
故﹣1<e<1;
故选C.
5. 已知双曲线满足,且与椭圆有公共焦点,则双曲线C的标准方程为
A. B. C. D.
参考答案:
A
6. 已知函数,则函数的图象在处的切线方程为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
分析:先根据导数的几何意义求得切线的斜率,再由点斜式方程得到切线方程.
详解:∵,
∴,
∴,
又,
∴所求切线方程为,即.
故选C.
7. 已知A,B是椭圆E: +=1(a>b>0)的左、右顶点,M是E上不同于A,B的任意一点,若直线AM,BM的斜率之积为﹣,则E的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】设出M坐标,由直线AM,BM的斜率之积为﹣得一关系式,再由点M在椭圆上变形可得另一关系式,联立后结合隐含条件求得E的离心率.
【解答】解:由题意方程可知,A(﹣a,0),B(a,0),
设M(x0,y0),∴,
则,整理得:,①
又,得,即,②
联立①②,得,即,解得e=.
故选:D.
8. 已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
设三边为则,即
得,即
9. 展开后共有不同的项数为( )
A.9 B.12 C.18 D.24
参考答案:
D
10. 已知点,则它的极坐标是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
设P的极坐标为,因为
则,
由在第四象限可知
所以P的极坐标为
故C选项是正确的.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 定积分
参考答案:
略
12. 在等差数列中已知,a7=8,则a1=_______________
参考答案:
10
13. 设动点P在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上,记.当∠APC为钝角时,则λ的取值范围是 .
参考答案:
(,1)
【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离.
【专题】综合题;空间位置关系与距离.
【分析】建立空间直角坐标系,利用∠APC不是平角,可得∠APC为钝角等价于cos∠APC<0,即,从而可求λ的取值范围.
【解答】解:由题设,建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz,
则有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1)
∴=(1,1,﹣1),∴=(λ,λ,﹣λ),
∴=+=(﹣λ,﹣λ,λ)+(1,0,﹣1)=(1﹣λ,﹣λ,λ﹣1)
=+=(﹣λ,﹣λ,λ)+(0,1,﹣1)=(﹣λ,1﹣λ,λ﹣1)
显然∠APC不是平角,所以∠APC为钝角等价于cos∠APC<0
∴
∴(1﹣λ)(﹣λ)+(﹣λ)(1﹣λ)+(λ﹣1)2=(λ﹣1)(3λ﹣1)<0,得<λ<1
因此,λ的取值范围是(,1)
故答案为:(,1)
【点评】本题考查了用空间向量求直线间的夹角,一元二次不等式的解法,属于中档题.
14. 给定两个命题,由它们组成四个命题:“”、“”、“”、“”.其中正真命题的个数是 .
参考答案:
2
略
15. 已知回归直线方程y=+x,如果x=3时,y的估计值是17,x=8时,y的估计值是22,那么回归直线方程是________.
参考答案:
略
16. 已知函数 .若,则x=__________.
参考答案:
因为,
所以当时,得,即.
当时,得,即,舍去.
所以所求.
17. 若函数的最小值为,则实数a的取值范围为______.
参考答案:
[0,+∞)
【分析】
分析函数的单调性,由题设条件得出,于此求出实数的取值范围。
【详解】当时,,此时,函数单调递减,则;
当时,,此时,函数单调递增。
由于函数的最小值为,则,得,解得.
因此,实数的取值范围是,故答案为:。
【点睛】本题考查分段函数的最值问题,求解时要分析函数的单调性,还要注意分界点处函数值的大小关系,找出一些关键的点进行分析,考查分析问题,属于中等题。
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数是函数的导函数,(其中e为自然对数的底数),对任意实数x,都有,则不等式的解集为( )
A.(-∞,e) B.(1,+∞) C.(1, e) D.(e,+∞)
参考答案:
B
分析:由题意构造函数,则可得单调递减.又由可得,即,于是可得不等式的解集.
详解:由题意构造函数,则,
∴函数在R上单调递减.
又,
∴,
而,
∴,
∴,
故不等式的解集为.
故选B.
19. 已知圆台的上下底面半径分别是,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.
参考答案:
解析:
20. 椭圆C:的离心率为,以原点为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点P(0,1),Q(0,2),设M,N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点,直线PM与QN相交于点T.求证:点T在椭圆C上.
参考答案:
略
21. (本题12分)某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如图所示.
(1)请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据,再在答题卷上完成下列频率分布直方图;
(2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试,求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?
参考答案:
(1)由题可知,第2组的频数为 人,
第3组的频率为,
频率分布直方图如下:
(2)因为第3、4、5组共有60名学生,所以
利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:
第3组:人,
第4组:人, 第5组:人,
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人.
22. 数列{an}满足Sn=2n﹣an(n∈N*).
(Ⅰ)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an;
(Ⅱ)用数学归纳法证明(Ⅰ)中的猜想.
参考答案:
【考点】RG:数学归纳法;8H:数列递推式;F1:归纳推理.
【分析】(Ⅰ)通过n=1,2,3,4,直接计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式;
(Ⅱ)直接利用数学归纳法证明.检验n取第一个值时,等式成立,假设,证明.
【解答】(本小题满分8分)
解:(Ⅰ)当n=1时,a1=s1=2﹣a1,所以a1=1.
当n=2时,a1+a2=s2=2×2﹣a2,所以.
同理:,.
由此猜想…
(Ⅱ)证明:①当n=1时,左边a1=1,右边=1,结论成立.
②假设n=k(k≥1且k∈N*)时,结论成立,即,
那么n=k+1时,ak+1=sk+1﹣sk=2(k+1)﹣ak+1﹣2k+ak=2+ak﹣ak+1,
所以2ak+1=2+ak,所以,
这表明n=k+1时,结论成立.
由①②知对一切n∈N*猜想成立.…
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