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福建省厦门市翔安区第一中学高一数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知a,b表示两条不同的直线,α、β表示两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )
A.若α∥β,a?α,b?β,则a∥b
B.若a⊥α,a与α所成角等于b与β所成角,则a∥b
C.若a⊥α,a⊥b,α∥β,则b∥β
D.若a⊥α,b⊥β,α⊥β,则a⊥b
参考答案:
D
2. 若任取x1、x2∈[a,b],且x1≠x2,都有f()>成立,则称f(x) 是[a,b]上的凸函数.试问:在下列图象中,是凸函数图象的为( )
A. B. α C. D.
参考答案:
C
考点: 函数的图象与图象变化.
专题: 新定义.
分析: 由已知中凸函数的定义,结合四个答案中的图象,逐一分析任取x1、x2∈[a,b],且x1≠x2时,f()与大小关系,比照定义可得答案.
解答: 解:∵任取x1、x2∈[a,b],且x1≠x2,都有f()>成立
∴函数f(x)是[a,b]上的凸函数
任取x1、x2∈[a,b],且x1≠x2,
则A中,f()=成立,故A不满足要求;
则B中,f()<成立,故B不满足要求;
则C中,f()>成立,故C满足要求;
则D中,f()与大小不确定,故D不满足要求;
故选C
点评: 本题考查的知识点是函数的图象与图象变化,其中正确理解已知中凸函数的定义,是解答本题的关键.
3. 湖面上漂着一球,湖结冰后将球取出,冰面上留下了一个直径为,深为的空穴,则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
4. 函数(其中)的图像不可能是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
(1)当时,,其图象为选项A所示;
(2)当时,.若,则图象如选项D所示;若,则图象如选项B所示.
综上,选项C不正确.选C.
5. 若实数x,y满足约束条件,则的最大值为( )
A. -3 B. 1 C. 9 D. 10
参考答案:
C
【分析】
画出可行域,向上平移基准直线到可行域边界的位置,由此求得目标函数的最大值.
【详解】画出可行域如下图所示,由图可知,向上平移基准直线到的位置,此时目标函数取得最大值为.
故选C.
【点睛】本小题主要考查利用线性规划的知识求目标函数的最大值,考查数形结合的数学思想方法,属于基础题.
6. 已知a=2,b=log2,c=log,则( )
A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a
参考答案:
C
【考点】对数值大小的比较.
【分析】利用对数函数和指数函数的单调性求解.
【解答】解:∵0<a=2<20=1,
b=log2<=0,
c=log>=1,
∴c>a>b.
故选:C.
【点评】本题考查三个数的大小的比较,是基础题,解题时要认真审题,注意对数函数和指数函数的单调性的合理运用.
7. 已知集合A= {1,2,3},,则A∩B=
A. {-2,-1,0,1,2,3} B. {-2,-1,0,1,2} C. {1,2,3} D. {1,2}
参考答案:
D
试题分析:由得,所以,因为,所以,故选D.
【考点】 一元二次不等式的解法,集合的运算
【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简再计算,常常借助数轴或韦恩图处理.
8. 若,且,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
略
9. .已知集合 , ,则 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
10. 函数y=x|x|的图象大致是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
考点: 函数的图象.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 先判断函数的奇偶性,可知函数为奇函数,排除A,B,当x>0时,y=x2,根据y=x2的图象排除D,问题得以解决.
解答: 解:∵f(x)=x|x|
∴f(﹣x)=﹣x|x|=﹣f(x)
∴函数f(x)=x|x|为奇函数,排除A,B,
当x>0时,y=x2,根据y=x2的图象排除D
故选C.
点评: 本题考查了奇函数的性质,以及常见函数的图象,本题有助于使学生更好的掌握分析函数图象的一般方法,属于基础题
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知是定义在∪上的奇函数,当时,
的图象如右图所示,那么的值域是
参考答案:
略
12. 已知全集U={-2,-1,0,1,2},集合A={-1,0,1},B={-2,-1,0},则A∩(?UB)=____________.
参考答案:
{1}
13. 如图,在边长为1的正六边形中,,
,,则 .
参考答案:
-1
14. 已知m,n是不重合的直线,α,β是不重合的平面,给出下列命题:
①若m⊥α,m?β,则α⊥β;
②若m?α,n?α,m∥β,n∥β,则α∥β;
③如果m?α,n?α,m,n是异面直线,则n与α相交;
④若α∩β=m,n∥m,且n?α,n?β,则n∥α且n∥β.
其中正确命题的序号是________(把所有正确命题的序号都填上).
参考答案:
①④
15. 已知正四棱锥的底面边长为2,侧棱长为,则侧面与底面所成的二面角为 .
参考答案:
60°
【考点】二面角的平面角及求法.
【分析】过S作SO⊥平面ABCD,垂足为O,则O为ABCD的中心,取CD中点E,连接OE,则OE⊥CD,易证∠SEO为侧面与底面所成二面角的平面角,通过解直角三角形可得答案.
【解答】解:过S作SO⊥平面ABCD,垂足为O,则O为ABCD的中心,取CD中点E,连接OE,则OE⊥CD,
由三垂线定理知CD⊥SE,
所以∠SEO为侧面与底面所成二面角的平面角,
在Rt△SOE中,SE===2,OE=1,
所以cos∠SEO=,则∠SEO=60°,
故答案为:60°.
【点评】本题考查二面角的平面角及其求法,考查学生推理论证能力,属中档题.
16. 一几何体的三视图,如图,它的体积为 .
参考答案:
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】三视图复原的几何体是放倒的四棱柱,底面是直角梯形,根据三视图的数据,求出几何体的体积.
【解答】解:三视图复原的几何体是放倒的四棱柱,底面是直角梯形,侧棱垂直底面,
所以几何体的体积是:SH==
故答案为:
17. 从甲、乙、丙三名同学中选2人参加普法知识竞赛,则甲被选中的概率为________.
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数满足.
(1)若,对任意都有,求x的取值范围;
(2)是否存在实数a,b,c,使得不等式对一切实数恒成立?若存在,请求出a,b,c;若不存在,请说明理由.
参考答案:
(1)(2)存在,使不等式恒成立,详见解析.
【分析】
(1)由知函数关于对称,求出后,通过构造函数求出;
(2)利用不等式的两边夹定理,令,得,结合已知条件,解出;然后设存在实数,,命题成立,运用根的判别式建立关于实数的不等式组,解得.
【详解】(1)由得此时,
,
构造函数,
.
即的取值范围是.
(2)由对一切实数恒成立,得
由得
由得恒成立,
也即,此时,.
把,.代入,不等式也恒成立,
所以,
【点睛】本题第(1)问,常用“反客为主法”,即把参数当成主元,而把看成参数;
第(2)问,不等式对任意实数恒成立,常用赋值法切入问题.
19. 在边长为4的正方形ABCD边上有一点P,由点B(起点)沿着折线BCDA,向点A(终点)运动,设点P运动的路程为x, 的面积为y,求y与x之间函数解析式
参考答案:
解:当时,
当时,
当时,
略
20. △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设.
(1)求A;
(2)若,求C.
参考答案:
(1) (2)
【分析】
(1)由正弦定理得,再利用余弦定理的到.
(2)将代入等式,化简得到答案.
【详解】解:(1)由
结合正弦定理得;
∴
又,∴.
(2)由,∴
∴,
∴∴
又∴
解得:,
【点睛】本题考查了正弦定理,余弦定理,和差公式,意在考查学生的计算能力.
21. 求经过直线L1:3x + 4y – 5 = 0与直线L2:2x – 3y + 8 = 0的交点M,且满足下列条件的直线方程
(1)与直线2x + y + 5 = 0平行 ;
(2)与直线2x + y + 5 = 0垂直;
参考答案:
(1);(2)。
试题分析:先通过两直线方程联立解方程组求出交点坐标.(1)根据两直线平行,斜率相等,设出所求直线方程,将交点坐标代入即可求出平行直线的方程.
(2)根据两直线垂直,斜率之积等于-1,设出所求直线的斜截式方程,然后将交点坐标代入所求直线的方程,即可得解.
解得--------2分
所以交点(-1,2)
(1)-----4分
直线方程--------6分
(2)---------8分
直线方程为--------10分.
考点:两直线平行与垂直的判定..
点评:两直线平行:斜率都不存在或斜率相等.两直线垂直:斜率之积等于-1或一条直线的斜率不存在,另一条斜率等于0.
22. (12分)设f(x)=+m,x∈R,m为常数.
(1)若f(x)为奇函数,求实数m的值;
(2)判断f(x)在R上的单调性,并用单调性的定义予以证明.
参考答案:
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【分析】(1)法一:由奇函数的性质:f(0)=0列出方程,化简后求出m的值;
法二:由奇函数的性质:f(x)+f(﹣x)=0列出方程组,化简后求出m的值;
(2)利用指数函数的单调性,以及函数单调性的定义:取值、作差、变形、定号、下结论进行证明.
【解答】解:(1)法一:由函数f(x)为奇函数,得f(0)=0即m+1=0,
所以m=﹣1…
法二:因为函数f(x)为奇函数,所以f(﹣x)=﹣f(x),
即f(﹣x)+f(x)=0…(2分)
∴
=,
所以m=﹣1…
(2)证明:任取x1,x2∈R,且x1<x2…(6分)
则
= …(8分)
∵x1<x2,∴,,∴,
f(x1)﹣f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)…(10分)
所以,对任意的实数m,函数f(x)在(﹣∞,+∞)上是减函数…(12分)
【点评】本题考查了奇函数的性质,利用单调性的定义证明函数的单调性,考查方程思想,函数思想,化简、变形能力.
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