河南省南阳市荆关镇高级中学2022-2023学年高二数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知命题p:方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根;命题q:函数f(x)=x+的最小值为4.给出下列命题:
①p∧q;②p∨q;③p∧¬q;④¬p∨¬q.
则其中真命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
C
【考点】复合命题的真假.
【分析】先判定命题p,q的真假,再利用复合命题真假的判定方法即可得出.
【解答】解:命题p:方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根,?a∈R,可得△≥0,因此是真命题.
命题q:x<0时,函数f(x)=x+<0,因此是假命题.
下列命题:①p∧q是假命题;②p∨q是真命题;③p∧¬q是真命题;④¬p∨¬q是真命题.
则其中真命题的个数为3.
故选:C.
2. 若满足|x-2|<a的x都适合不等式|x2-4|<1,则正数a的取值范围是 ( )
A、(0,-2] B、(-2,+∞)
C、[-2,+∞) D、(-2,+2)
参考答案:
A
3. 已知m,n是两条直线,α,β是两个平面,有以下命题:
①m,n相交且都在平面α,β外,m∥α,m∥β,n∥α,n∥β,则α∥β;
②若m∥α,m∥β,则α∥β;
③若m∥α,n∥β,m∥n,则α∥β.
其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
B
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.
【专题】空间位置关系与距离.
【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解.
【解答】解:①m,n相交且都在平面α,β外,m∥α,m∥β,n∥α,n∥β,
则由平面与平面平行的判定定理得α∥β,故①正确;
②若m∥α,m∥β,则α与β相交或平行,故②错误;
③若m∥α,n∥β,m∥n,则α与β相交或平行,故③错误.
故选:B.
【点评】本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要注意空间思维能力的培养.
4. 已知函数是偶函数,在(-∞,0)内单调递增,则实数m=( )
A. 2 B. ±2 C. 0 D. -2
参考答案:
D
【分析】
利用偶函数的定义,得,解出,然后把代入函数中,讨论单调性即可求解
【详解】函数是偶函数,得,即
,则
,解得,解得或,
当时,在内单调递减,不符题意,
当时,在内单调递增,符合题意,
答案选D
【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性,属于基础题
5. 设函数,则函数f(x)能取得( )
A.最小值为2 B.最大值为2 C.最小值为﹣2 D.最大值为﹣2
参考答案:
A
【考点】3H:函数的最值及其几何意义.
【分析】由题,结合绝对值的几何意义可知当x对应的点位于﹣b及对应点之间(含端点)时f(x)最小,进而利用基本不等式可得结论.
【解答】解:由题意可知b>0,由绝对值的几何意义可知
f(x)表示数轴上x对应的点与﹣b及对应点的距离之和,
显然f(x)无最大值,但有最小值,
即当x对应的点位于﹣b及对应点之间(含端点)时,f(x)最小,
此时f(x)min=+b≥2=2,当且仅当b=1时取等号,
故选:A.
6. 已知中,,则的值为( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
D
7. 如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上,七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( )
A. 84,4.8 B. 84,1.6 C. 85,4 D. 85,1.6
参考答案:
D
8. 某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75°,距离为12海里,灯塔C在A的北偏西30°,距离为8海里,游轮由A向正北方向航行到D处时再看灯塔B在南偏东60°则C与D的距离为( )
A.20海里 B.8海里 C.23海里 D.24海里
参考答案:
B
【考点】解三角形的实际应用.
【专题】应用题;转化思想;数形结合法;解三角形.
【分析】利用方位角求出B的大小,利用正弦定理直接求解AD的距离,直接利用余弦定理求出CD的距离即可.
【解答】解:如图,在△ABD中,因为在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°的方向上,距离为海里,
货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在南偏东60°方向上,
所以B=180°﹣75°﹣60°=45°,
由正弦定理,
所以AD===24海里;
在△ACD中,AD=24,AC=8,∠CAD=30°,
由余弦定理可得:CD2=AD2+AC2﹣2?AD?ACcos30°=242+(8)2﹣2×24×8×=192,
所以CD=8海里;
故选:B.
【点评】本题考查正弦定理与余弦定理的应用,注意方位角的应用,考查计算能力.属于中档题.
9. 设,,若,则的最小值为( )
A. 4 B. C. 5 D.
参考答案:
B
由均值不等式结论:
,
当且仅当 时等号成立.
本题选择B选项.
点睛:在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正——各项均为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现错误.
10. 抛物线上的点到直线的距离的最小值为( )
A. B. C. D.3
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若正三棱柱的棱长均相等,则与侧面所成角的正切值为___.
参考答案:
12. 函数f(x)=(ln2)log2x-5xlog5e(其中e为自然对数的底数)的导函数为_______
参考答案:
-5x
13. 已知随机变量X服从正态分布,则 .
参考答案:
0.28
略
14. 已知各项不为0的等差数列{an}满足2a2-a+2a12=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b3b11等于 .
参考答案:
略
15. 已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是_________.
参考答案:
16. 同时抛掷两个骰子(各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6),则向上的数之积为偶数的概率是 .
参考答案:
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.
【分析】先求出向上的数之积为奇数的概率,根据对立事件的性质能求出向上的数之积为偶数的概率.
【解答】解:每掷1个骰子都有6种情况,所以同时掷两个骰子总的结果数为6×6=36.
向上的数之积为偶数的情况比较多,可以先考虑其对立事件,即向上的数之积为奇数.
向上的数之积为奇数的基本事件有:
(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5),共9个,
故向上的数之积为奇数的概率为P(B)=.
根据对立事件的性质知,向上的数之积为偶数的概率为P(C)=1﹣P(B)=1﹣.
故答案为:.
17. 已知函数,若,则的取值范围是__ ▲ _.
参考答案:
【知识点】分段函数、一元二次不等式
【答案解析】解析:解:当a>0时,由得,解得0<a≤2;当a≤0时,由得,解得-2≤a≤0,综上得-2≤a≤2.
【思路点拨】对于分段函数解不等式,可对a分情况讨论,分别代入函数解析式解不等式.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,给出定点A(, 0) (>0)和直线: x = –1 . B是直线l上的动点,DBOA的角平分线交AB于点C. 求点C的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与值的关系.(14分)
参考答案:
解析:设B(-1,b),:y=0, :y=-bx,设C(x,y),则有
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