湖南省株洲市实验学校2022-2023学年高二数学理期末试卷含解析

湖南省株洲市实验学校2022-2023学年高二数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在中，是的中点，,点在上且满足, 则等于                                          （     ） (A)                ( B)                 (C)           (D) 参考答案： D 略 2. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 参考答案： B 【考点】程序框图． 【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S，k的值，可得当k=3时不满足条件k＜3，退出循环，输出S的值为8，从而得解． 【解答】解：模拟程序的运行，可得 k=0，S=1 满足条件k＜3，执行循环体，S=1，k=1 满足条件k＜3，执行循环体，S=2，k=2 满足条件k＜3，执行循环体，S=8，k=3 不满足条件k＜3，退出循环，输出S的值为8． 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是循环结构，当循环次数不多时，多采用模拟循环的方法，本题属于基础题． 3. 双曲线的渐近线方程是 A．         B．        C．        D． 参考答案： B 略 4. 函数y=x2cosx的导数为 （   ）                                         A.  y′=2xcosx－x2sinx                B.   y′=2xcosx+x2sinx C.   y′=x2cosx－2xsinx            D. y′=xcosx－x2sinx 参考答案： A 略 5. 下列各函数的导数：①；②（ax）′=a2lnx；③（sin2x）′=cos2x；④（）′=．其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 参考答案： B 【考点】导数的运算． 【分析】根据题意，依次对4个函数求导，比较即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次对4个函数求导： 对于①、y==，其导数y′=，正确； 对于②、y=ax，其导数y′=axlna，计算错误； 对于③、y=sin2x，其导数y′=2cos2x，计算错误； 对于④、y==（x+1）﹣1，其导数y′=﹣，计算错误； 只有①的计算是正确的； 故选：B． 6. 已知为实数，且，则“”是“”的 (  )    A．充分非必要条件                   B．必要非充分条件    C．充要条件                         D．非充分非必要条件 参考答案： B 略 7. 两个等差数列，它们前项和之比为，则两个数列的第9项之比是（    ）             A．      B．      C．       D． 参考答案： C 8. 设p: ，q: 使得p是q的必要但不充分条件的实数的取值范围是   （ ） A. B.      C.    D. 参考答案： A 略 9. 过抛物线焦点F做直线，交抛物线于，两点，若线段AB中点横坐标为3，则                                              （    ） A．6             B.8           C.10            D.12 参考答案： B 10. 如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是　(　　) A.   B.        C. D. 参考答案： A = ==== .   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 极坐标方程分别为与的两个圆的圆心距为_____________. 参考答案： 略 12. 对于实数，若，，则的最大值           ． 参考答案： 6 13. 某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从女学生中抽取的人数为80人，则n=          . 参考答案： 192 14. 已知f(x)＝x＋ －2(x＜0)，则f(x)有(　　) A．最大值为0  B．最小值为0   C．最大值为－4  D．最小值为－4 参考答案： C 略 15. 已知圆柱M的底面圆的半径与球O的半径相同，若圆柱M与球O的体积相等，则它们的表面积之比______.（用数值作答） 参考答案： 【分析】 由已知中圆柱M与球O的体积相等，可以求出圆柱的高与圆柱底面半径的关系，进而求出圆柱和球的表面积后，即可得到S圆柱：S球的值． 【详解】∵设圆柱M的底面圆的半径与球O的半径均为R，M的高为h 则球的表面积S球＝4πR2 又∵圆柱M与球O的体积相等 即 解得h＝， 4πR2＝2πR2+2πR?h 则S圆柱＝2πR2+2πR?h=，S球， ∴S圆柱：S球， 故答案为：. 【点睛】本题考查的知识点是球的体积和表面积，圆柱的体积和表面积，其中根据已知求出圆柱的高，是解答本题的关键． 16. 设双曲线b>0)的虚轴长为2,焦距为则双曲线的渐近线方程为                参考答案： 17. 给出下列命题： ①直线l的方向向量为=（1，﹣1，2），直线m的方向向量=（2，1，﹣），则l与m垂直； ②直线l的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），则l⊥α； ③平面α、β的法向量分别为=（0，1，3），=（1，0，2），则α∥β； ④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1． 其中真命题的是　　．（把你认为正确命题的序号都填上） 参考答案： ①④ 【考点】平面的法向量． 【分析】①根据直线l、m的方向向量与垂直，得出l⊥m； ②根据直线l的方向向量与平面α的法向量垂直，不能判断l⊥α； ③根据平面α、β的法向量与不共线，不能得出α∥β； ④求出向量与的坐标表示，再利用平面α的法向量，列出方程组求出u+t的值． 【解答】解：对于①，∵=（1，﹣1，2），=（2，1，﹣）， ∴?=1×2﹣1×1+2×（﹣）=0， ∴⊥， ∴直线l与m垂直，①正确； 对于②， =（0，1，﹣1），=（1，﹣1，﹣1）， ∴?=0×1+1×（﹣1）+（﹣1）×（﹣1）=0， ∴⊥，∴l∥α或l?α，②错误； 对于③，∵=（0，1，3），=（1，0，2）， ∴与不共线， ∴α∥β不成立，③错误； 对于④，∵点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0）， ∴=（﹣1，1，1），=（﹣1，1，0）， 向量=（1，u，t）是平面α的法向量， ∴， 即； 则u+t=1，④正确． 综上，以上真命题的序号是①④． 故答案为：①④． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）已知四棱锥的底面为直角梯形，，， 底面，且，是的中点. ⑴求证：直线平面； ⑵⑵若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值. 参考答案： ⑵由底面，得底面; 则与平面所成的角为;   ∴, ∴和都是边长为正三角形,   取的中点，则，且 .       ∴为二面角的平面角;在中　，，   ∴   ∴二面角的余弦值 19. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角A的大小； （2）若，求△ABC面积的最大值. 参考答案： （1）；（2）. 【分析】 （1）利用正弦定理化简边角关系式，结合两角和差正弦公式和三角形内角和的特点可求得，根据的范围求得结果；（2）利用余弦定理构造等式，利用基本不等式可求得的最大值，代入三角形面积公式即可求得结果. 【详解】（1）由正弦定理得：， 即：，             （2）由（1）知： 由余弦定理得：（当且仅当时等号成立） ∴（当且仅当时等号成立） 的最大值为： 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、两角和差正弦公式的应用、余弦定理和三角形面积公式的应用、利用基本不等式求最值的问题，属于常考题型. 20. 如图，在三棱锥中，直线平面，且，又点，，分别是线段，，的中点，且点是线段上的动点.     (1)证明：直线平面； (2)若=8，且二面角的平面角的余弦值为，试求的长度. 参考答案： 解：(1)连结QM，因为点，，分别是线段，，的中点 所以QM∥PA 且MN∥AC，从而QM∥平面PAC 且MN∥平面PAC 又因为MN∩QM=M,所以平面QMN∥平面PAC   而QK平面QMN 所以QK∥平面PAC                                    (2)方法1：过M作MH⊥AK于H，连QH，则∠QHM即为二面角的平面 角,设，且则，又，且 ，所以， 解得，所以的长度为。                    方法2：以B为原点，以BC、BA所在直线为x轴y轴建空间直角坐标系， 则A（0,8,0），M（0,4,0），N（4,0,0），P(0,8,8)，Q (0,4,4) ， 设K（a,b,0）,则a+b=4, =(0,-4,4)，          记，则   取则， 则，  又平面AKM的一个法向量，设二面角的平面角为 则|cos|=，解得， 所以所以的长度为。 略 21. （本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在处取得极值，对,恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，求证：． 参考答案： （1） 得0 ∴在上递减，在上递增. （2）∵函数在处取得极值，∴，   ∴，    令，可得在上递减，在上递增， ∴，即． （3）证明：， 令，则只要证明在上单调递增， 又∵， 显然函数在上单调递增． ∴，即， ∴在上单调递增，即， ∴当时，有． 22. 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为米,高为米,体积为立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000元(为圆周率). (Ⅰ)将表示成的函数,并求该函数的定义域;zhangwlx (Ⅱ)讨论函数的单调性,并确定和为何值时该蓄水池的体积最大. 参考答案：   略