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湖南省邵阳市金石桥镇中学2022年高一数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 下列函数中,其图像可能为右图是( )
A. f(x)= B. f(x)=
C. f(x)= D. f(x)=
参考答案:
A
2. 已知直线,平面,且,给出下列四个命题:
①若α//β,则; ②若
③若,则; ④若
其中正确命题的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
C
3. 温家宝总理在2010年政府工作报告中提出,今年中央财政拟安排“三农”投入8183亿元.
用科学记数法表示“8183亿元”,并保留两个有效数字为( )
A.元 B. 元 C.元 D.元
参考答案:
C
略
4. (5分)设全集U={1,2,3,4},集合S={l,3},T={4},则(?US)∪T等于()
A. {2,4} B. {4} C. ? D. {1,3,4}
参考答案:
A
考点: 交、并、补集的混合运算.
专题: 集合.
分析: 利用集合的交、并、补集的混合运算求解.
解答: ∵全集U={1,2,3,4},集合S={l,3},T={4},
∴(?US)∪T={2,4}∪{4}={2,4}.
故选:A.
点评: 本题考查集合的交、并、补集的混合运算,是基础题,解题时要认真审题.
5. (5分)函数f(x)=2sinωx在上单调递增,那么ω的取值范围是()
A. (0,] B. (0,2] C. D.
参考答案:
B
考点: 正弦函数的图象.
专题: 计算题;三角函数的图像与性质.
分析: 根据正弦型函数的性质,可得在ω>0时,区间是函数y=2sinωx的一个单调递增区间,结合已知中函数y=2sinωx(ω>0)在上单调递增,推出一个关于ω的不等式组,解不等式组,即可求出实数ω的取值范围.
解答: 由正弦函数的性质,在ω>0时,
当x=﹣,函数取得最小值,x=函数取得最大值,
所以,区间是函数y=2sinωx的一个单调递增区间,
若函数y=2sinωx(ω>0)在上单调递增
则﹣≤﹣且≥
解得0<ω≤2
故选:B.
点评: 本题考查的知识点是正弦型函数的单调性,其中根据正弦型函数的性质,得到ω>0时,区间是函数y=2sinωx的一个单调递增区间,进而结合已知条件构造一个关于ω的不等式组,是解答本题的关键,属于中档题.
6. 对一切实数x,不等式恒成立,则实数a的取值范围是( )
A. (-∞,-2) B. [-2,+∞) C. [-2,2] D. [0,+∞)
参考答案:
B
7. 直角梯形OABC中AB∥OC、AB=1、OC=BC=2,直线l:x=t截该梯形所得位于l左边图形面积为S,则函数S=f(t)的图象大致为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】函数的图象与图象变化;函数模型的选择与应用.
【分析】本题考查的是函数的图象和分段函数的综合类问题.在解答的过程当中,首先应该直线l的运动位置分析面积的表达形式,进而得到分段函数:然后分情况即可获得问题的解答.
【解答】解:由题意可知:当0<t≤1时,,
当1<t≤2 时,;
所以.
结合不同段上函数的性质,可知选项C符合.
故选C.
8. 在正方体中,下列几种说法正确的是
A、 B、
C、与成角 D、与成角
参考答案:
D
略
9. 若实数,满足,则关于的函数的图象形状大致是( )
参考答案:
B
略
10. 圆上的点到直线的距离的最大值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. (5分)已知函数,则函数定义域为 .
参考答案:
[1,+∞)
考点: 函数的定义域及其求法.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 根据函数成立的条件即可求函数的定义域.
解答: 要使函数有意义,则x﹣1≥0,
即x≥1,
故函数的定义域为[1,+∞),
故答案为:[1,+∞)
点评: 本题主要考查函数的定义域的求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件.
12. 在△中,三边所对的角分别为,若,则= ▲
参考答案:
或
13. 已知集合A=,则集合A的子集的个数是________.
参考答案:
8
14. 已知函数的值域为(-1,+∞),则a的取值范围是
参考答案:
当时,
要满足值域为,
则①若时,为单调减函数,不符合题意,故舍去
②若时,,舍去
③若时,为单调增函数,则有,
即,
,
综上所述,则的取值范围是
15. 直线与圆交于、两点,且、关于直线对称,则弦的长为
参考答案:
4
16. 已知定义在上的奇函数满足,且在区间上是增函数.若方程在区间上有四个不同的根,则______
参考答案:
17. 关于 (x∈R),有下列命题: (1)由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2是π的整数倍;(2)y=f(x)的表达式可改写成; (3)y=f(x)图象关于对称;(4)y=f(x)图象关于对称.其中正确命题的序号为___________________
参考答案:
(2)(3)
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (1) 计算:.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2) 解方程
参考答案:
解析: (1) .
(2)方程两边同时乘以,
, ,
经检验:是方程的解
19. 函数f(x)=x+.
(1)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论.
(2)用函数单调性的定义证明函数f(x)在[,+∞)内是增函数.
参考答案:
【考点】函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明.
【专题】证明题;函数思想;定义法;函数的性质及应用.
【分析】(1)先确定函数的定义域,再根据奇偶性的定义作出判断;
(2)直接用定义证明函数的单调性.
【解答】解:(1)f(x)的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞),
∵f(﹣x)=﹣x+=﹣(x+)=﹣f(x),
∴f(x)是奇函数;
(2)任取x1,x2∈[,+∞),且x1<x2,
则f(x1)﹣f(x2)=x1+﹣(x2+)
=(x1﹣x2)+(﹣)
=(x1﹣x2)(),
因为≤x1<x2,所以x1﹣x2<0且x1x2>2,
因此,f(x1)﹣f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2),
故f(x)在[,+∞)内是增函数.
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断和单调性的证明,考查了奇偶性的定义和单调性的定义,属于基础题.
20. (本题满分10分) 已知圆的半径为3, 圆心在轴正半轴上,直线与圆相切
(I)求圆的标准方程
(II)过点的直线与圆交于不同的两点,而且满足 ,求直线的方程
参考答案:
(I)设圆心为,
因为,所以,所以圆的方程为:
(II)当直线L的斜率不存在时,直线L:,与圆M交于
此时,满足,所以符合题意
当直线L的斜率存在时,设直线L:
消去y,得
整理得:
所以
由已知得:
整理得:
把k值代入到方程(1)中的判别式中,
判别式的值都为正数,所以,所以直线L为:,
即
综上:直线L为:,
21. 已知圆心为(3,4)的圆N被直线x=1截得的弦长为2.
(1)求圆N的方程;
(2)点B(3,﹣2)与点C关于直线x=﹣1对称,求以C为圆心且与圆N外切的圆的方程.
参考答案:
【考点】J9:直线与圆的位置关系;J1:圆的标准方程.
【分析】(1)由已知求出圆心N到直线x=1的距离,由垂径定理求得圆的半径,则圆的方程可求;
(2)求出B关于直线x=﹣1的对称点,由圆心距与半径的关系求出圆C的半径,则圆C的方程可求.
【解答】解:(1)由题意得圆心N(3,4)到直线x=1的距离等于3﹣1=2.
∵圆N被直线x=1截得的弦长为2,
∴圆N的半径r=.
∴圆N的方程为(x﹣3)2+(y﹣4)2=9;
(2)∵点B(3,﹣2)与点C关于直线x=﹣1对称,
∴点C的坐标为(﹣5,﹣2),
设所求圆的方程为(x+5)2+(y+2)2=r2(r>0),
∵圆C与圆N外切,
∴r+3=,得r=7.
∴圆C的方程为(x+5)2+(y+2)2=49.
22. 求下列各式的值.
(1).
(2).
(3)设,求的值.
参考答案:
见解析.
解:(1),
,
,
,
,
.
(2),
,
,
,
.
(3)设,则,,,
∴,
,
.
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