河北省张家口市育华中学2022年高二数学理测试题含解析

河北省张家口市育华中学2022年高二数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 计算机是将信息转化为二进制数处理的，二进制即“逢二进一”如1101（2）表示二进制数，将它转化为十进制数为1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么二进制数转化为十进制数为（　　） A．22017﹣1 B．22016﹣1 C．22015﹣1 D．22014﹣1 参考答案： B 【考点】进位制． 【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；算法和程序框图． 【分析】根据二进制与十进制的换算关系，把二进制数转化为十进制数，再用等比数列求和得出结果． 【解答】解：根据题意，二进制数转化为十进制数为 1×22015+1×22014+…+1×22+1×21+1×20 =22015+22014+…+22+2+1 = =22016﹣1． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二进制、等比数列的前n项和公式的应用问题，二进制转换为十进制方法：按权重相加法，即将二进制每位上的数乘以权（即该数位上的1表示2的多少次方），然后相加之和即是十进制数． 2. 如图，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e＝（    ） A． B． C． D． 参考答案： A 3. 在△ABC中，A:B:C=1:2:3，则a:b:c等于（   ） A．1:2:3        B．3:2:1        C．1::2     D．2::1 参考答案： C 4. 已知函数，，若关于的方程有四个不相等的实根，则实数    （  ）                                               参考答案： B 法1：画图讨论；法2：根据选择支特点，分别取、验证淘汰. 5. 已知直线与圆相交于、两点，且，则（    ）     A．             B．           C．           D． 参考答案： B 6. 等差数列的前m项的和是30，前2m项的和是100，则它的前3m项的和是(      ) A．130        B．170        C．210        D．260 参考答案： C 略 7. 设点P是函数图象上任意一点，点Q坐标为，当取得最小值时圆上至多有2个点到直线的距离为1，则实数r的取值范围为 A．    B．     C．     D． 参考答案： C 8. 在下列叙述中，正确的是                                 ①为真命题是为真命题的充分不必要条件 ②为假命题是为真命题的充分不必要条件 ③为真命题是为假命题的必要不充分条件 ④为真命题是为假命题的必要不充分条件 A. ①②      B. ①③    C. ②④    D. ③④ 参考答案： B 9. 已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是                                     参考答案： B 10. 在三棱柱中，设M、N分别为的中点，则等于        （   ）  A．             B．    C．             D． 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 不相等的正实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，则a:b:c=             。 参考答案： 2:(-1):4 12. 给出下列五个命题：① 过点(–1, 2)的直线方程一定可以表示为y–2=k(x+1)；② 过点(–1, 2)且在x轴、y轴截距相等的的直线方程是x+y–1=0； ③ 过点M(–1, 2)且与直线l: Ax+By+C=0(AB≠0)垂直的直线方程是B(x+1)+A(y–2)=0；④ 设点M(–1, 2)不在直线l: Ax+By+C=0(AB≠0)上，则过点M且与l平行的直线方程是A(x+1)+B(y–2)=0; ⑤点P(–1, 2)到直线ax+y+a2+a=0的距离不小于2.  以上命题中，正确的序号是                  . 参考答案： ④⑤. 13. 某市某种类型的出租车，规定3千米内起步价8元（即行程不超过3千米，一律收费8元），若超过3千米，除起步价外，超过部分再按1.5元／千米计价收费，若乘客与司机约定按四舍五入以元计费不找零，下车后乘客付了16元，则乘车里程的范围是            ． 参考答案： 解析：付款16元，肯定超出了3千米，设行程x千米，则应该付款8＋1,5(x-3)∵四舍五入∴15.5≤8＋1.5(x-3)<16.5解得8≤x<8。 14. 已知曲线在点（1,1）处的切线与曲线相切,则a=        ． 参考答案： 8 试题分析：函数在处的导数为，所以切线方程为；曲线的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得. 考点：导函数的运用. 【方法点睛】求曲线在某一点切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数． 15. 把一个长方体切割成个四面体，则的最小值是        . 参考答案： ；解析：据等价性，只须考虑单位正方体的切割情况，先说明个不够，若为个，因四面体的面皆为三角形，且互不平行，则正方体的上底至少要切割成两个三角形，下底也至少要切割成两个三角形，每个三角形的面积，且这四个三角形要属于四个不同的四面体，以这种三角形为底的四面体，其高，故四个不同的四面体的体积之和，不合； 所以，另一方面，可将单位正方体切割成个四面体； 例如从正方体 中间挖出一个四面体，剩下四个角上的四面体， 合计个四面体. 16. 某渔船要对下月是否出海做出决策，如出海后遇到好天气，可得收益6000元，如出海后天气变坏将损失8000元，若不出海，无论天气如何都将承担1000元损失费，据气象部门的预测下月好天的概率为0．6，天气变坏的概率为0．4，则该渔船应选择_____________（填“出海”或“不出海”）． 参考答案： 出海 17. 若，则          . 参考答案：   本题主要考查简单的三角函数的运算.属于基础知识、基本运算的考查. 由已知，在第三象限，∴，∴应填. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 据统计，某种汽车的最高车速为120千米／时，在匀速行驶时，每小时的耗油量y（升）与行驶速度x（千米／时）之间有如下函数关系：y=。已知甲、乙两地相距100千米。 （1）若汽车以40千米／时的速度匀速行驶，则从甲地到乙地需耗油多少升? （2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升? 参考答案： （1）17.5,（2）当汽车以80千米∕时的速度行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为升 本试题主要考查了函数在实际问题中的运用。利用已知条件，表示函数关系式，然后借助于函数的性质得到最值。 （1）当时，汽车从甲地到乙地行驶了（小时）， 需蚝油（升）。 （2）当汽车的行驶速度为千米∕时时，从甲地到乙地需行驶小时.设耗油量为升，依题意，得 其中， 借助于导数的思想求解最值。 （1）当时，汽车从甲地到乙地行驶了（小时）， 需蚝油（升）。 所以，汽车以40千米∕时的速度匀速行驶，从甲地到乙地需耗油升…4分. （2）当汽车的行驶速度为千米∕时时，从甲地到乙地需行驶小时.设耗油量为升，依题意，得 其中，.………………………………………………………… 7分 . 令，得. 因为当时，，是减函数；当时，，是增函数，所以当时，取得最小值. 所以当汽车以千米∕时的速度行驶时，从甲地到乙地耗油最少， 最少为升。……………………………………………………………… 12分 19. （本题12分）已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=12，且2a1，a2，a3+1成等比数列. (1)求{an}的通项公式; (2)记bn=的前n项和为Tn,求Tn. ks5u 参考答案： (1)设等差数列{an}的公差为d, ∵2a1,a2,a3+1成等比数列,∴=2a1·(a3+1),————————2分 ∴(a1+d)2=2a1(a1+2d+1). 则有,————————4分 解得a1=1,d=3或a1=8,d=-4(舍去),————————5分 ∴an=a1+(n-1)d=1+(n-1)3=3n-2.————————6分 (2)bn==(3n-2)·,   ∴Tn=1×+4×+7×+…+(3n-2)×.①———————7分 ①×得,Tn=1×+4×+7×+…+(3n-5)×+(3n-2)×,②————8分 ①-②,得Tn=+3×+3×+3×+…+3×-(3n-2)×——————9分   =+3×-(3n-2)×=--(3n-2)×.——10分 ∴Tn= =.————————12分 20. （12分）如图：在直棱柱中，,, ,是的中点，点在棱上运动. 当时，求三棱锥的体积. 参考答案： . 21. 求实数的取值组成的集合，使当时，“”为真，“”为假． 其中方程有两个不相等的负根；方程无实数根． 参考答案： 即…………………10 分 ①                       ②                      …………………13分 综上所述：    …………………14分 考点：1.含连接词的复合命题.2.二次方程的根的分布. 3.集合的概念.   略 22. 从两块玉米地里各抽取10株玉米苗，分别测得它们的株高如下（单位：cm ）： 甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40 根据以上数据回答下面的问题：并用数据说明下列问题． （1）哪种玉米苗长得高？ （2）哪种玉米苗长得齐？ 参考答案： 【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数． 【专题】概率与统计． 【分析】（1）求出甲、乙的平均数，比较即可得出结论． （2）求出甲、乙的方差，比较即可得出结论． 【解答】解：看哪种玉米苗长得高，只要比较甲乙两种玉米苗的平均高度即可； 要比较哪种玉米苗长得齐，只要比较哪种玉米苗高的方差即可， 方差越小，越整齐，因为方差反映的是一组数据的稳定程度 （1）甲的平均数是=， 乙的平均数是=； ∴，即乙种玉米的苗长得高； （2）甲的方差是= [（25﹣30）2+（41﹣30）2+（40﹣30）2+…+（42﹣30）2]=104.2（cm2）， 乙的方差是=128.8（cm2）； ∴，甲种玉米的苗长得更整齐些． 【点评】本题考查计算平均数与方差的问题，要求熟练掌握相应的平均数和方差的公式，考查学生的计算能力．