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河北省张家口市育华中学2022年高二数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 计算机是将信息转化为二进制数处理的,二进制即“逢二进一”如1101(2)表示二进制数,将它转化为十进制数为1×23+1×22+0×21+1×20=13,那么二进制数转化为十进制数为( )
A.22017﹣1 B.22016﹣1 C.22015﹣1 D.22014﹣1
参考答案:
B
【考点】进位制.
【专题】转化思想;转化法;等差数列与等比数列;算法和程序框图.
【分析】根据二进制与十进制的换算关系,把二进制数转化为十进制数,再用等比数列求和得出结果.
【解答】解:根据题意,二进制数转化为十进制数为
1×22015+1×22014+…+1×22+1×21+1×20
=22015+22014+…+22+2+1
=
=22016﹣1.
故选:B.
【点评】本题主要考查了二进制、等比数列的前n项和公式的应用问题,二进制转换为十进制方法:按权重相加法,即将二进制每位上的数乘以权(即该数位上的1表示2的多少次方),然后相加之和即是十进制数.
2. 如图,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e=( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
3. 在△ABC中,A:B:C=1:2:3,则a:b:c等于( )
A.1:2:3 B.3:2:1 C.1::2 D.2::1
参考答案:
C
4. 已知函数,,若关于的方程有四个不相等的实根,则实数 ( )
参考答案:
B
法1:画图讨论;法2:根据选择支特点,分别取、验证淘汰.
5. 已知直线与圆相交于、两点,且,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
6. 等差数列的前m项的和是30,前2m项的和是100,则它的前3m项的和是( )
A.130 B.170 C.210 D.260
参考答案:
C
略
7. 设点P是函数图象上任意一点,点Q坐标为,当取得最小值时圆上至多有2个点到直线的距离为1,则实数r的取值范围为
A. B. C. D.
参考答案:
C
8. 在下列叙述中,正确的是
①为真命题是为真命题的充分不必要条件
②为假命题是为真命题的充分不必要条件
③为真命题是为假命题的必要不充分条件
④为真命题是为假命题的必要不充分条件
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
参考答案:
B
9. 已知函数,若存在唯一的零点,且,则的取值范围是
参考答案:
B
10. 在三棱柱中,设M、N分别为的中点,则等于 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 不相等的正实数a、b、c成等差数列,c、a、b成等比数列,则a:b:c= 。
参考答案:
2:(-1):4
12. 给出下列五个命题:① 过点(–1, 2)的直线方程一定可以表示为y–2=k(x+1);② 过点(–1, 2)且在x轴、y轴截距相等的的直线方程是x+y–1=0; ③ 过点M(–1, 2)且与直线l: Ax+By+C=0(AB≠0)垂直的直线方程是B(x+1)+A(y–2)=0;④ 设点M(–1, 2)不在直线l: Ax+By+C=0(AB≠0)上,则过点M且与l平行的直线方程是A(x+1)+B(y–2)=0; ⑤点P(–1, 2)到直线ax+y+a2+a=0的距离不小于2. 以上命题中,正确的序号是 .
参考答案:
④⑤.
13. 某市某种类型的出租车,规定3千米内起步价8元(即行程不超过3千米,一律收费8元),若超过3千米,除起步价外,超过部分再按1.5元/千米计价收费,若乘客与司机约定按四舍五入以元计费不找零,下车后乘客付了16元,则乘车里程的范围是 .
参考答案:
解析:付款16元,肯定超出了3千米,设行程x千米,则应该付款8+1,5(x-3)∵四舍五入∴15.5≤8+1.5(x-3)<16.5解得8≤x<8。
14. 已知曲线在点(1,1)处的切线与曲线相切,则a= .
参考答案:
8
试题分析:函数在处的导数为,所以切线方程为;曲线的导函数的为,因与该曲线相切,可令,当时,曲线为直线,与直线平行,不符合题意;当时,代入曲线方程可求得切点,代入切线方程即可求得.
考点:导函数的运用.
【方法点睛】求曲线在某一点切线,可先求得曲线在该点的导函数值,也即该点切线的斜率值,再由点斜式得到切线的方程,当已知切线方程而求函数中的参数时,可先求得函数的导函数,令导函数的值等于切线的斜率,这样便能确定切点的横坐标,再将横坐标代入曲线(切线)得到纵坐标得到切点坐标,并代入切线(曲线)方程便可求得参数.
15. 把一个长方体切割成个四面体,则的最小值是 .
参考答案:
;解析:据等价性,只须考虑单位正方体的切割情况,先说明个不够,若为个,因四面体的面皆为三角形,且互不平行,则正方体的上底至少要切割成两个三角形,下底也至少要切割成两个三角形,每个三角形的面积,且这四个三角形要属于四个不同的四面体,以这种三角形为底的四面体,其高,故四个不同的四面体的体积之和,不合;
所以,另一方面,可将单位正方体切割成个四面体; 例如从正方体
中间挖出一个四面体,剩下四个角上的四面体,
合计个四面体.
16. 某渔船要对下月是否出海做出决策,如出海后遇到好天气,可得收益6000元,如出海后天气变坏将损失8000元,若不出海,无论天气如何都将承担1000元损失费,据气象部门的预测下月好天的概率为0.6,天气变坏的概率为0.4,则该渔船应选择_____________(填“出海”或“不出海”).
参考答案:
出海
17. 若,则 .
参考答案:
本题主要考查简单的三角函数的运算.属于基础知识、基本运算的考查.
由已知,在第三象限,∴,∴应填.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 据统计,某种汽车的最高车速为120千米/时,在匀速行驶时,每小时的耗油量y(升)与行驶速度x(千米/时)之间有如下函数关系:y=。已知甲、乙两地相距100千米。
(1)若汽车以40千米/时的速度匀速行驶,则从甲地到乙地需耗油多少升?
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?
参考答案:
(1)17.5,(2)当汽车以80千米∕时的速度行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为升
本试题主要考查了函数在实际问题中的运用。利用已知条件,表示函数关系式,然后借助于函数的性质得到最值。
(1)当时,汽车从甲地到乙地行驶了(小时),
需蚝油(升)。
(2)当汽车的行驶速度为千米∕时时,从甲地到乙地需行驶小时.设耗油量为升,依题意,得
其中,
借助于导数的思想求解最值。
(1)当时,汽车从甲地到乙地行驶了(小时),
需蚝油(升)。
所以,汽车以40千米∕时的速度匀速行驶,从甲地到乙地需耗油升…4分.
(2)当汽车的行驶速度为千米∕时时,从甲地到乙地需行驶小时.设耗油量为升,依题意,得
其中,.………………………………………………………… 7分
.
令,得.
因为当时,,是减函数;当时,,是增函数,所以当时,取得最小值.
所以当汽车以千米∕时的速度行驶时,从甲地到乙地耗油最少,
最少为升。……………………………………………………………… 12分
19. (本题12分)已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记bn=的前n项和为Tn,求Tn. ks5u
参考答案:
(1)设等差数列{an}的公差为d,
∵2a1,a2,a3+1成等比数列,∴=2a1·(a3+1),————————2分
∴(a1+d)2=2a1(a1+2d+1).
则有,————————4分
解得a1=1,d=3或a1=8,d=-4(舍去),————————5分
∴an=a1+(n-1)d=1+(n-1)3=3n-2.————————6分
(2)bn==(3n-2)·,
∴Tn=1×+4×+7×+…+(3n-2)×.①———————7分
①×得,Tn=1×+4×+7×+…+(3n-5)×+(3n-2)×,②————8分
①-②,得Tn=+3×+3×+3×+…+3×-(3n-2)×——————9分
=+3×-(3n-2)×=--(3n-2)×.——10分
∴Tn=
=.————————12分
20. (12分)如图:在直棱柱中,,,
,是的中点,点在棱上运动.
当时,求三棱锥的体积.
参考答案:
.
21. 求实数的取值组成的集合,使当时,“”为真,“”为假.
其中方程有两个不相等的负根;方程无实数根.
参考答案:
即…………………10 分
①
② …………………13分
综上所述: …………………14分
考点:1.含连接词的复合命题.2.二次方程的根的分布. 3.集合的概念.
略
22. 从两块玉米地里各抽取10株玉米苗,分别测得它们的株高如下(单位:cm ):
甲:25 41 40 37 22 14 19 39 21 42
乙:27 16 44 27 44 16 40 40 16 40
根据以上数据回答下面的问题:并用数据说明下列问题.
(1)哪种玉米苗长得高?
(2)哪种玉米苗长得齐?
参考答案:
【考点】极差、方差与标准差;众数、中位数、平均数.
【专题】概率与统计.
【分析】(1)求出甲、乙的平均数,比较即可得出结论.
(2)求出甲、乙的方差,比较即可得出结论.
【解答】解:看哪种玉米苗长得高,只要比较甲乙两种玉米苗的平均高度即可;
要比较哪种玉米苗长得齐,只要比较哪种玉米苗高的方差即可,
方差越小,越整齐,因为方差反映的是一组数据的稳定程度
(1)甲的平均数是=,
乙的平均数是=;
∴,即乙种玉米的苗长得高;
(2)甲的方差是= [(25﹣30)2+(41﹣30)2+(40﹣30)2+…+(42﹣30)2]=104.2(cm2),
乙的方差是=128.8(cm2);
∴,甲种玉米的苗长得更整齐些.
【点评】本题考查计算平均数与方差的问题,要求熟练掌握相应的平均数和方差的公式,考查学生的计算能力.
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