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湖南省岳阳市市第十五中学高二数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 以椭圆的焦点为顶点,以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程是
A、 B、 C、 D、
参考答案:
C
略
2. 一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2﹣8x+12=0都外切,则动圆圆心轨迹为( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线
参考答案:
C
【考点】双曲线的定义.
【专题】计算题.
【分析】设动圆P的半径为r,然后根据⊙P与⊙O:x2+y2=1,⊙F:x2+y2﹣8x+12=0都外切得|PF|=2+r、|PO|=1+r,再两式相减消去参数r,则满足双曲线的定义,问题解决.
【解答】解:设动圆的圆心为P,半径为r,
而圆x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径为1;
圆x2+y2﹣8x+12=0的圆心为F(4,0),半径为2.
依题意得|PF|=2+r|,|PO|=1+r,
则|PF|﹣|PO|=(2+r)﹣(1+r)=1<|FO|,
所以点P的轨迹是双曲线的一支.
故选C.
【点评】本题主要考查双曲线的定义.
3. 若是定义在上的函数,且对任意实数,都有≤,
≥,且,,则的值是
A. 2014 B. 2015 C. 2016 D. 2017
参考答案:
C
4. 已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的左焦点为F(﹣c,0),M、N在双曲线C上,O是坐标原点,若四边形OFMN为平行四边形,且四边形OFMN的面积为cb,则双曲线C的离心率为( )
A. B.2 C.2 D.2
参考答案:
D
【考点】KC:双曲线的简单性质.
【分析】设M(x0,y0),y0>0,由四边形OFMN为平行四边形,四边形OFMN的面积为cb,由x0=﹣,丨y0丨=b,代入双曲线方程,由离心率公式,即可求得双曲线C的离心率.
【解答】解:双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)焦点在x轴上,
设M(x0,y0),y0>0,由四边形OFMN为平行四边形,
∴x0=﹣,
四边形OFMN的面积为cb,
∴丨y0丨c=cb,即丨y0丨=b,
∴M(﹣, b),
代入双曲线可得:﹣=1,整理得:,
由e=,
∴e2=12,由e>1,解得:e=2,
故选D.
5. 下列各组关于最大公约数的说法中不正确的是( )
A.16和12的最大公约数是4 B.78和36的最大公约数是6
C.85和357的最大公约数是34 D.105和315的最大公约数是105
参考答案:
C
略
6. 曲线在横坐标为-l的点处的切线为l,则直线l的方程为
A.x+y+2=0 B.x-y=0
C.x-y-2=0 D.x+y-2=0
参考答案:
A
略
7. 在数列{an}中,已知a1=1,a2=5,an+2=an+1-an,则a2007等于( )
A.-4 B.-5
C.4 D.5
参考答案:
C
8. (5分)(2015?安庆三模)已知圆上有均匀分布的8个点,从中任取三个,能够成锐角三角形的个数为( )
A.8B.24C.36D.12
参考答案:
A
【分析】只有三角形的一条边过圆心,能组成直角三角形,在圆周上有8个等分点共有4条直径,每条直径可以和除去本身的两个定点外的点组成直角三角形,可做8﹣2个直角三角形,可得直角三角形的数目,用所有的三角形减去直角三角形、钝角三角形的个数得到结果.
【解答】解:由题意知,只有三角形的一条边过圆心,才能组成直角三角形,
∵圆周上有8个等分点
∴共有4条直径,
每条直径可以和除去本身的两个定点外的点组成直角三角形,
∴可做4×6=24个直角三角形,
从8个点中任取三个点可以构成三角形,共有C83=56个,
∴锐角三角形或钝角三角形的个数是56﹣24=32,
按照一条直径为分界线,直径的一个端点与同侧三点中的任意两个及同侧直径外的同侧三个点可构成钝角三角形,钝角三角形的个数是24个,
∴锐角三角形的个数是32﹣24=8,
故选:A.
【点评】本题考查分步计数原理,考查圆的有关问题,是一个综合题,解题的关键是对于圆上的点,怎样能组成直角三角形.
9. 甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则
A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
C.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
参考答案:
B
略
10. 某医疗研究所为了检验新开发的流感疫苗对甲型H1N1流感的预防作用,把1000名注射了疫苗的人与另外1000名未注射疫苗的人的半年的感冒记录作比较,提出假设H0:“这种疫苗不能起到预防甲型H1N1流感的作用”,并计算出P(Χ2≥6.635)≈0.01,则下列说法正确的是( )
A.这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的有效率为1%
B.若某人未使用该疫苗,则他在半年中有99%的可能性得甲型H1N1
C.有1%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”
D.有99%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”
参考答案:
D
【考点】独立性检验.
【分析】根据计算出的临界值,同临界值表进行比较,得到假设不合理的程度约为99%,即这种疫苗不能起到预防甲型H1N1流感的作用不合理的程度约为99%,得到正确答案.
【解答】解:∵并计算出P(Χ2≥6.635)≈0.01,
这说明假设不合理的程度约为99%,
即这种疫苗不能起到预防甲型H1N1流感的作用不合理的程度约为99%,
∴有99%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”
故选D.
【点评】本题是一个独立性检验,我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设,若值较大就拒绝假设,即拒绝两个事件无关.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知数列为等差数列,首项,公差,若成等比数列,且,,,则 .
参考答案:
14
12. 已知,且//(),则k=______.
参考答案:
略
13. 三点在同一条直线上,则k的值等于
参考答案:
略
14. 给出下列命题:
①若ab>0,a>b,则<;
②若a>|b|,则a2>b2;
③若a>b,c>d,则a﹣c>b﹣d;
④对于正数a,b,m,若a<b,则
其中真命题的序号是: .
参考答案:
①②④
【考点】2K:命题的真假判断与应用.
【分析】根据不等式的基本性质,判断题目中命题的真假性即可.
【解答】解:对于①,若ab>0,则>0
又a>b,
∴>,∴<,∴①正确;
对于②,若a>|b|≥0,则a2>b2,∴②正确;
对于③,若a>b,c>d,则﹣c<﹣d,
∴﹣d>﹣c,∴a﹣d>b﹣c,
∴a﹣c>b﹣d不成立,③错误;
对于④,对于正数a,b,m,
若a<b,则成立,
即a(b+m)<b(a+m)
∴am<bm,
∴a<b,④正确;
综上,正确的命题序号是①②④.
故答案为:①②④.
15. 如图所示,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,A,B分别为椭圆的右顶点和上顶点,当时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”,类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于 .
参考答案:
“黄金椭圆”的性质是,可得“黄金双曲线”也满足这个性质.
如图,设“黄金双曲线”的方程为,
则,
,
∵,
∴,
∴,
∴,
解得或(舍去),
∴黄金双曲线”的离心率e等于.
16. 点P是曲线y=﹣x2上任意一点,则点P到直线y=x+2的最小距离为 .
参考答案:
略
17. 若函数在在[1,2]上单调递增,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
[16,+∞)
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装千件并全部销售完,每千件的销售收入为万元,且
(1)写出年利润(万元)关于年产量(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大.(注:年利润=年销售收入-年总成本)
参考答案:
略
19. 某种商品原来每件售价为25元,年销售量8万件.
(Ⅰ)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2000件,要使销售的总收人不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?
(Ⅱ)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到x元.公司拟投入(x2﹣600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入x万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.
参考答案:
【考点】函数模型的选择与应用.
【分析】(Ⅰ)设每件定价为x元,则提高价格后的销售量为,根据销售的总收人不低于原收入,建立不等式,解不等式可得每件最高定价;
(Ⅱ)依题意,x>25时,不等式有解,等价于x>25时,有解,利用基本不等式,我们可以求得结论.
【解答】解:(Ⅰ)设每件定价为x元,则提高价格后的销售量为,根据销售的总收人不低于原收入,有,
整理得x2﹣65x+1000≤0,
解得25≤x≤40.
∴要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.
(Ⅱ)依题意,x>25时,
不等式有解,
等价于x>25时,有解,
∵(当且仅当x=30时,等号成立),
∴a≥10.2.此时该商品的每件定价为30元
∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.
20. 已知数列的首项为=3,通项与前n项和之间满足2=·(n≥2)。
(1)求证:是等差数列,并求公差;
(2)求数列的通项公式。
参考答案:
解析: (1)证明:(n2),2()=
(n2)∴是以-为公差的等差数列
(2) .
, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
21. 求曲线y=x2+3x+1求过点(2,5)的切线的方程.
参考答案:
解:∵y=x2+3x+1,
∴f'(x)=2x+3,
当x=2时,f'(2)=7得切线的斜率为7,所以k=7;
所以曲线在点(2,5)处的切线方程为:y﹣5=7×(x﹣2),即7x﹣y+8=0.
故切线方程为:7x﹣y+8=0.
略
22. (本小题满分12分)
在中,且是方程的两根,
(1)求角C的度数;
(2)求AB的长;
(3)求的面积
参考答案:
略
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