湖南省娄底市栗山乡栗山中学高二数学理下学期期末试题含解析

湖南省娄底市栗山乡栗山中学高二数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（　　） 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A．08 B．07 C．02 D．01 参考答案： D 【考点】B2：简单随机抽样． 【分析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论． 【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读， 第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件， 第三个数为08，符合条件， 以下符合条件依次为：08，02，14，07，01， 故第5个数为01． 故选：D． 2. 已知△ABC的面积为则C的度数是（    ） A.30O                B.60O                     C.45O                D.120O 参考答案： C 略 3. 已知随机变量ξ服从二项分布ξ～B(n，P)，且  Eξ=7，Dξ=6，则P等于    （    ）     A．             B．              C．             D． 参考答案： A 略 4. 数（i为虚数单位）的虚部是（   ） A．i             B．－i            C．1           D．－1 参考答案： C 5. 一平面截球得到直径是6的圆面，球心到这个平面的距离为4，则该球的表面积为（     ） A.20        B.50            C. 100               D.206 参考答案： C 略 6. 在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ） A、b = 10，A = 45°，B = 60°        B、a = 60，c = 48，B = 120° C、a = 7，b = 5，A = 75°            D、a = 14，b = 16，A = 45° 参考答案： D 提示：A选择支是“AAS”，B选择支是“SAS”，显然只有一解。 2. 设，则的大小关系是 A.      B.      C.        D. 参考答案： A 略 8. 定积分（  ） A. 0 B. －1 C. D. －2 参考答案： C 【分析】 利用微积分基本定理求出即可。 【详解】.选C. 【点睛】本题关键是求出被积函数的一个原函数。 9. 已知函数的图象如图所示，下面四个图象中的图象大致是 （  ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 根据函数y＝xf′（x）的图象，依次判断f（x）在区间（﹣∞，﹣1），（﹣1，0），（0，1），（1，+∞）上的单调性即可 【详解】由函数y＝xf′（x）的图象可知： 当x＜﹣1时，xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此时f（x）增， 当﹣1＜x＜0时，xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此时f（x）减， 当0＜x＜1时，xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此时f（x）减， 当x＞1时，xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此时f（x）增． 故选：C． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查函数的图象问题．属于基础题． 10. 已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（　　） A．y=±2x B． C． D． 参考答案： C 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】由离心率的值，可设，则得，可得的值，进而得到渐近线方程． 【解答】解：∵， 故可设，则得， ∴渐近线方程为， 故选C． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（ex）=x+ex，则f（x）在点x=1处的切线方程为　　． 参考答案： 2x﹣y﹣1=0 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】求出函数解析式，先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决． 【解答】解：令t=ex，则 ∵f（ex）=ex+x， ∴f（t）=t+lnt， ∴f（x）=x+lnx， ∴f′（x）=1+， ∴f′（1）=2， ∵f（1）=1， ∴f（x）在点M（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣1=0． 故答案为：2x﹣y﹣1=0． 【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题． 12. 已知函数是定义在上的奇函数，，，则不等式的解集是   ▲   ． 参考答案： 略 13. 现有4本不同的漫画书分发给3个同学看，每个人至少看1本，则所有不同的分发种数为_________.（用数字作答） 参考答案： 36 14. 已知函数为奇函数，当时，，则满足不等式的的取值范围是_______． 参考答案： 略 15. 已知函数f（x）=2x2﹣xf′（2），则函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是　   　． 参考答案： 4x﹣y﹣8=0 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；63：导数的运算． 【分析】求导函数，确定切点处的斜率与切点的坐标，即可求得函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程． 【解答】解：∵函数f（x）=2x2﹣xf′（2）， ∴f′（x）=4x﹣f′（2）， ∴f′（2）=8﹣f′（2）， ∴f′（2）=4 ∴f（2）=8﹣2×4=0 ∴函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y﹣0=4（x﹣2） 即4x﹣y﹣8=0 故答案为：4x﹣y﹣8=0 16. 底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水. 四个球心在底面的射影，则ABCD是一个边长为的正方形，所以注水高为1+，故应注水                . 参考答案： cm3.     解析：设四个实心铁球的球心为，其中为下层两球的球心， 分别为四个球心在底面的射影。则ABCD是一个边长为的正方形。所以注水高为. 故应注水＝ 17. 已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________. 参考答案： 解析：f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝±2. ∵f(－3)＝17，f(3)＝－1，f(－2)＝24，f(2)＝－8，∴M－m＝f(－2)－f(2)＝32. 答案：32 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）已知动圆过定点，且与直线相切.  (1) 求动圆的圆心的轨迹方程； (2) 是否存在直线，使过点（0，1），并与轨迹交于不同的两点，且满足以PQ为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 参考答案： 解:（1）如图，设为动圆圆心， ，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：， ……………………2分 即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，  ∴ 动点的轨迹方程为 ………………………………4分 （2）由题可设直线的方程为  由得    ………………………………6分       由，得， w..c.o.m      设，，则，…………8分 由，即 ，，于是，   解得∴ 直线存在，其方程为 . …………………12分                   略 19. （本小题满分12分）如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，PA= PD，，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．（1）求证:平面 （2）若，试求的值． 参考答案： （1）证明：由E是AD的中点， PA=PD，所以AD⊥PE；            又底面ABCD是菱形，∠BAD=60 所以AB=BD，又因为E是AD的中点 ， 所以AD⊥BE，                        又PE∩BE=E　所以AD⊥平面PBE.   ……… 6分 （2）解：设四棱锥P-BCDE，Q-ABCD的高分别为. 所以， ,         又因为，且底面积，     所以.      … …12分 20. 在锐角中,分别为角所对的边,且 (1)试求角的大小;    (2)若,且的面积为,求的值. 参考答案： 解（1）由及正弦定理得，, ,又是锐角三角形， ……………………6分 （2）由面积公式得,即 由余弦定理得,即,即………………………12分   略 21. （本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 曲线C的极坐标方程为，以极点O为原点，极轴Ox为x的非负半轴，保持单位长度不变建立直角坐标系xoy. （Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程； （Ⅱ）直线l的参数方程为 ．.若C与的交点为P，求点P与点A（-2,0）的距离|PA|. 参考答案： 22. 已知函数f（x）=x2﹣alnx，a∈R． （1）若a=2，求函数f（x）的极小值； （2）讨论函数f（x）的单调性； （3）若方程f（x）=0在区间[，e]上有且只有一个解，求实数a的取值范围． 参考答案： 解：（1）a=2时，f（x）=x2﹣2lnx，x＞0， ∴f′（x）=， 令f′（x）＞0，解得：x＞1，x＜﹣1（舍）， 令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1， ∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增， ∴x=1时，f（x）取到极小值f（1）=1， （2）∵f′（x）=，x＞0， ①a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增， ②a＞0时， 令f′（x）＞0，解得：x＞，x＜﹣（舍）， 令f′（x）＜0，解得：0＜x＜， ∴f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增； 综上：a≤0时，f（x）在（0，+∞）递增 a＞0时，f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增； （3）由题意得：方程a=在区间[，e]上有且只有一个解， 令g（x）=，则g′（x）=， 令g′（x）=0，解得：x=， ∴g（x）在（，）上递减，在（，e）递增， 又g（）=＜g（e）=e2， ∴方程a=在区间[，e]上有且只有一个解时， 有＜a≤e2，或a=2e， ∴实数a的取值范围时：{a|＜a≤e2或a=2e}． 略