湖北省荆门市金龙泉学校2022-2023学年高二数学理上学期期末试题含解析

湖北省荆门市金龙泉学校2022-2023学年高二数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，三行三列的方阵中有9个数aij（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】古典概型及其概率计算公式． 【专题】计算题；概率与统计． 【分析】利用间接法，先求从9个数中任取3个数的取法，再求三个数分别位于三行或三列的情况，即可求得结论． 【解答】解：从9个数中任取3个数共有C93=84种取法，三个数分别位于三行或三列的情况有6种； ∴所求的概率为= 故选D． 【点评】本题考查计数原理和组合数公式的应用，考查概率的计算公式，直接解法较复杂，采用间接解法比较简单． 2. 由不等式组确定的平面区域记为，不等式组确定的平面区域记为，在中随机抽取一点，则该点恰好在内的概率为（   ） A．     B．     C．     D． 参考答案： D 3. 用1，2，3，4，5这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数的有（     ）    A.24         B.30          C.40           D.60 参考答案： A 4. 在空间直角坐标系中，点M的坐标是（4，7，6），则点M关于y轴的对称点坐标为(     ) A．（4，0，6） B．（﹣4，7，﹣6） C．（﹣4，0，﹣6） D．（﹣4，7，0） 参考答案： B 【考点】空间中的点的坐标． 【专题】计算题；函数思想；空间位置关系与距离． 【分析】先根据空间直角坐标系对称点的特征，点（x，y，z）关于y轴的对称点的坐标为只须将横坐标、竖坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标． 【解答】解：∵在空间直角坐标系中， 点M（x，y，z）关于y轴的对称点的坐标为：（﹣x，y，﹣z）， ∴点M（4，7，6）关于y轴的对称点的坐标为：Q（﹣4，7，﹣6）． 故选：B． 【点评】本小题主要考查空间直角坐标系、空间直角坐标系中点的坐标特征等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题． 5. 已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为s2，则（   ） A．， B．， C．， D．， 参考答案： C 6. 已知a是常数，函数f（x）=x3+（1﹣a）x2﹣ax+2的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数g（x）=|ax﹣2|的图象可能是（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】指数函数的图象变换． 【分析】求出原函数的导函数，由导函数的图象得到a＞1，然后利用指数函数的图象平移得答案． 【解答】解：∵， ∴f′（x）=x2+（1﹣a）x﹣a， 由函数y=f′（x）的图象可知， ∴a＞1， 则函数g（x）=|ax﹣2|的图象是把函数y=ax向下平移2个单位，然后取绝对值得到，如图． 故可能是D． 故选：D． 7. 若，则（   ）  A．     B．         C．       D． 参考答案： C :试题分析：由题意可知，介绍一个比较简答的方法，有点类似特殊值的方法，我们可以得到，，故选C 考点：三角函数二倍角公式，切弦互化 8. 若向量=（1，1），=（-1,1），=（4，2），则=             （    ） A.  3+        B.  3-     C. +3      D.   +3  参考答案： C 9. 若抛物线y2=x上两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于直线y=x+b对称,且y1y2＝-1,则实数b的值为                  (  　) A.-3　　　　B.3          C.2  D.-2 参考答案： D 10. 集合，，则（     ）  A.        B.         C.          D. 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在极坐标系中，已知两点P(2，)，Q(，)，则线段PQ的长度为    ． 参考答案： 4 12. 若不等式ax2﹣bx+2＞0的解集为{x|﹣＜x＜}，则a+b=　　． 参考答案： ﹣10 考点： 一元二次不等式的解法． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 由题意和三个二次的关系可得，解方程组可得． 解答： 解：∵不等式ax2﹣bx+2＞0的解集为{x|﹣＜x＜}， ∴a＜0且，解得， ∴a+b=﹣12+2=﹣10 故答案为：﹣10 点评： 本题考查一元二次不等式的解集，涉及韦达定理，属基础题． 13. 下面是一个算法的流程图，回答下面的问题：当输入的值为3时,输出的结果为          参考答案： 8 14. 不论a为何实数，直线（a+3）x+（2a﹣1）y+7=0恒过定点　　． 参考答案： （﹣2，1） 【考点】恒过定点的直线． 【分析】由直线系的知识化方程为（x+2y）a+3x﹣y+7=0，解方程组可得答案． 【解答】解：直线（a+3）x+（2a﹣1）y+7=0可化为（x+2y）a+3x﹣y+7=0， 由交点直线系可知上述直线过直线x+2y=0和3x﹣y+7=0的交点， 解方程组可得 ∴不论a为何实数，直线（a+3）x+（2a﹣1）y+7=0恒过定点（﹣2，1） 故答案为：（﹣2，1） 15. 曲线在点(0,1)处的切线方程为__________. 参考答案： 分析】 利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程。 【详解】， 当时其值为， 故所求的切线方程为，即。 【点睛】曲线切线方程的求法： (1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f(x)的导数f′(x)； ②求切线的斜率f′(x0)； ③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简． (2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程． 16. 一位同学种了甲、乙两种树苗各1株，分别观察了9次、10次后，得到树苗高度的数据的茎叶图如图 (单位：厘米)，则甲、乙两种树苗高度的数据的中位数之和是________． 参考答案： 52 略 17. 若数列为等比数列，，则        。 参考答案： 21 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分15分)设函数是奇函数，其中是常数，且．     (Ⅰ)求的值；     (Ⅱ)若，求的单调区间； (Ⅲ)求在上的最大值与最小值．(用表示) 参考答案： 解：（Ⅰ）∵为奇函数，  ∴即   …1分 得对任意≠0恒成立   1分 ∴                 ……1分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ∵         ……1分 ∴当时，， ∴当时，在定义域内是减函数        …1分 又∵，当时，在上递增   1分 ∴当时，单调递减，减区间为和  2分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知： 当时，函数在定义域内是减函数 当时，函数在定义域内是增函数    ……1分 ∵，  ……1分 ∴在上有       ………1分 ∴当时，的最大值为，最小值为 当时，的最大值为，最小值为 略 19. 现有一批产品共有件，其中件为正品，件为次品： （1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续次取出的都是正品的概率； （2）如果从中一次取件，求3件都是正品的概率． 参考答案： 解：（1）有放回地抽取次，按抽取顺序记录结果，则都有种可能，所以试验结果有种；设事件为“连续次都取正品”，则包含的基本事件共有种，因此，……………………6分 （2）可以看作不放回抽样次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录，则有种可能，有种可能，有种可能，所以试验的所有结果为种．设事件为“件都是正品”，则事件包含的基本事件总数为, 所以                                 ……………………………12分 略 20. 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. (1)求a与b的夹角； (2)求|a＋b|； (3)若＝a，＝b，求△ABC的面积. 参考答案： (1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61， 得4|a|2－4a·b－3|b|2＝61， ∵|a|＝4，|b|＝3， 代入上式得a·b＝－6， ∴cos θ＝＝＝－． 又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°. (2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13， ∴|a＋b|＝． (3)由(1)知∠BAC＝θ＝120°，＝|a|=4, = |b| =3, ∴=sin∠BAC＝×3×4×sin 120°＝3． 21. 某市教育部门对甲校四年级学生进行体育学科测试，随机抽取15名学生的测试成绩，绘制茎叶图如图： （Ⅰ）依据上述数据，估计甲校此次的体育平均成绩； （Ⅱ）从得分在70～80之间的学生中随机抽取两名学生，记这两名学生的平均成绩为，求|﹣|≤1的概率． 参考答案： 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图． 【分析】（Ⅰ）读取茎叶图数据，求得平均数 （Ⅱ）列举从得分在70～80之间的学生中随机抽取两名学生的基本事件个数，满足|﹣|≤1的结果个数得出结果． 【解答】解：（Ⅰ） ==77．… （Ⅱ）从得分在70～80之间的学生中随机抽取两名学生的基本事件：{75，77}，{75，73}，{75，78}，{75，79}，{77，73}，{77，78}，{77，79}，{73，78}，{73，79}，{78，79}共10个； 其中满足|﹣|≤1的事件：{75，77}，{75，78}，{75，79}，{77，78}，{77，79}，{73，79}共6个． 所以满足|﹣|≤1的概率P==．… 22. 某学校为调查高三年学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取80名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（图（1））和女生身高情况的频率分布直方图（图（2））．已知图（1）中身高在170～175cm的男生人数有16人． （Ⅰ）试问在抽取的学生中，男、女生各有多少人？ （Ⅱ）在上述80名学生中，从身高在170～175cm之间的学生中按男、女性别分层抽样的方法，抽出5人，从这5人中选派3人当旗手，求3人中恰好有一名女生的概率． 参考答案： 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图． 【分析】（Ⅰ）直方图，身高在170～175 cm的男生的频率为0.4，由此能求出男生数和女生数． （Ⅱ）在170～175 cm之间的男生有16人，女生人数有4人．按分层抽样的方法抽出5人，则男生占4人，女生占1人，由此能求出3人中恰好有一名女生的概率． 【解答】解：（Ⅰ）直方图中，因为身高在170～175 cm的男生的频率为0.08×5=0.4，设男生数为n，则，解得n=40， 由男生的人数为40，得女生的人数为80﹣40=40．（6分） （Ⅱ）在170～175 cm之间的男生有16人，女生人数有4人． 按分层抽样的方法抽出5人，则男生占4人，女生占1人．（9分） 设男生为A1，A2，A3，A4，女生为B． 从5人任先两人，有种选法． 3人中恰好有一名女生包含的基本事件个数为=6， ∴3人中恰好有一名女生的